1、 1 2011年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题 说明 :第一试每题 50 分 ,共 150 分 ;第二试每题 15 分 ,共 150 分 . 第一试 1.已知 a 0,并且关于 x 的方程 ax2 bx a+3=0至多有一个解 ,试问 :关于 x 的方程 (b 3)x2+(a2b)x+3a+3=0是否一定有解 ?并证明你的结论 . 2.已知点 D 为等腰 ABC 的底边 BC 的中点 ,P 为 AB 线段内部的任意一点 ,设 BP 的垂直平分线与直线 AD 交于点 E,PC 与 AD 交于点 F.求证 :直线 EP 是 APF 的外接圆的切线 . 3.在 1,2, ,2 007 这 2 00
2、7 个正整数 中 ,最多可以取出多少个数 ,使得所取出的数中的每一个都与 2 007互质 ,并且所取出的数中的任意三个的和都不是 7 的倍数 . 第二试 1.已知在 Rt ABC 中 , C=90 , 261BCAC ,则 ACAB =_ . 2.已知200712007ca1,ba22cb ,则代数式 2 0 0 72 0 0 82 0 0 72 0 0 8 c)-(2007bca 化简的最后结果是 _. 3.代数式 113 3x2 110x 的最小值为 _. 4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的 41 ,那么 ,这个直角三角形中较大的锐角的度数为 _. 5.已知在直角
3、坐标系 xOy 中 , ABC 的三个顶点分别为 A(2 2 , 2 + 6 )、 B( 2 , 2 )、 C(5 2 , 2 ).则 ABC 的边 BC 上的高与 ABC 的平分线的交点的坐标为 _. 6.已知某工厂一月份生产某产品 1 万件 ,二月份生产 1.2 万件 ,三月份生产 1.3 万件 ,n月份生产 abn+c 万件 ,其中 a、 b、 c 都是常数 ,n=1,2, ,12,则该工厂四月份生产 _万件 . 7.方程 3x3+2 2 x2 (17 9 2 )x (6 5 2 )=0 的解为 x1= _,x2=_ ,x3=_ . 8.已知矩形 ABCD的周长的平方与面积的比为 k.则
4、矩形 ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 _. 9.已知正方形纸片 ABCD 的面积为 2 007 cm2.现将该纸片沿一条线段折叠 (如图 1),使点 D 落在边 BC上的点 D 处 ,点 A落在点 A处 ,A D与 AB 交于点 E.则 BD E 的周长等于 _cm. 10.若 x 为整数 ,30, 此时也有解 . 综上所述 ,方程一定有解 . 2.以 E 为圆心、 EB 为半径作圆 ,则点 P、 C 都在该圆的圆周上 .联结 EC.则 PAE=90 ABC=90 21 PEC= EPC. 因此 ,EP 是 APF 的外接圆的切线 . 3.将 1,2, ,2 007 分别用 7
5、 除 ,余数为 1、 2、 3、 4、 5 的各有 286+1=287 个 ;余数为 6、 0 的各有 286个 . 在 1,2, ,2 007 中 , 与 2 007 不互质的数有 3,2 3,3 3, ,669 3 以及 223,2 223,4223,5223,7223,8223. 将这些与 2 007 不互质的数分别用 7 除 ,余数依次为 3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0, ,3,6,2,5 以及6,5,3,2,0,6. 于是 ,在这些与 2 007 不互质的数中 ,余数为 1、 2、 3、 4、 5、 6、 0 的依次有 95、 97、 97、 95、 97、9
6、8、 96 个 . 在 1,2, ,2 007 且与 2 007 互质的数中 ,余数为 1、 2、 3、 4、 5、 6、 0 的依次有 192、 190、 190、 192、190、 188、 190 个 . 要使所取出的数中的任意三个的和都不是 7 的倍数 ,至多取 2 个余数为 0 的数 .由于余数为 (1,3,3)、(3,2,2)、 (2,6,6)、 (6,4,4)、 (4,5,5)、 (5,1,1)以及 (1,2,4)、 (3,6,5)的三数的和都是 7 的倍数 ,因此 ,至多取 2组其余数在图 2 中不相邻的全部数 . 经验证可知 ,取 2 组余数为 1、 4 的全部数 ,再取 2
7、 个余数为 0 的数 ,符合题目的要求 ,且取出的数的个数达到最大值 .故最多可以取出 192+192+2=386 个数 ,使得所 取出的数中的每一个都与 2 007 互质 ,并且所取出的数中的任意三个的和都不是 7 的倍数 . 第二试 1.2 2 3 . 2.007 2007 2 1. 3.3 223 . 令 y=113 3x2 110x,则 y2+220xy=3223x2+31132, 3 223x2 220yx+3 1132 y2=0. 故 =(220y)2 4 3 223(3 1132 y2)=4 1132(y2 32 223) 0. 所以 ,y 3 223 . 当且仅当 x=110/
8、 223 时 ,y 取最小值 3 223 3 4.75. 设较大的锐角为 .由题意易知 sincos=41 sin 2=21 =75 5.(2 2 , 2 + /6 3). 设 ABC 的边 BC 上的高与 ABC 的线交于点 P(2 2 , 2 +h). 则 tan ABC= 6 / 2 ,tan PBC=h/ 2 . 又 ABC=2 PBC,于是 , 由 半角公式得 h= 6 /3. 6.135. 由题设易知 ab+c=1,ab2+c=12,ab3+c=1.3. 则 ab(b 1)=0.2,ab2(b 1)=0.1. 故 b=0.5,a= 0.8,c=1.4. 所以 ,ab4+c=1.35
9、. 7. 2 /3, 2 1,1 2 2 . 令 x= 2 y,代入原方程得 6 2 y3+4 2 y2 17 2 y+18y 6+5 2 =0. 易知 y=1/3 满足条件 .故 x1= 2 /3. 于是 ,3x3+2 2 x2 (17 9 2 )x (6 5 2 )=(x 2 /3)(3x2+3 2 x+9 2 15). =3(x 2 /3)(x 2 +1)(x+2 2 1). 所以 ,x1= 2 /3,x2= 2 1,x3=1 2 2 . 8. )16(818 8 kkk . 设矩形的长、宽分别为 a、 b(a b). 则 4(a+b)2/ab=k,即 4a2+(8 k)ab+4b2=0
10、. 令 t=a/b,则 4t2+(8 k)t+4=0. 解得 t= )16(818 8 kkk . 9.6 223 . 设正方形边长 a= 007 2 , D DC= .则 BD E=2 ,CD =atan ,BD =a(1 tan ). 所以 , BD E 的周长为 a(1 tan)(1+tan 2+sec 2) = 2 c o s 12s in 2 c o sc o s s in-c o s a = cos sin-cos a 2222 c o s 2 sin c o sc o s -sin =2a=6 223 . 10.20 或 119. 设 x2+(x+1)2=v2,则 (2x+1)2=2v2 1.令 u=2x+1,则 u2 2v2= 1.其为佩尔方程 ,其基本解为(u0,v0)=(1,1).其全部正整数解可由 un+vn 2 =(u0+v0 2 )2n+1 得到 .其中 ,(u1,v1)=(7,5),(u2,v2)=(41,29),(u3,v3)=(239,169),u4400. 故 x=20 或 119.
