1、分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一） 、 “裂差”型运算(1)对于分
2、母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ，1ab ab那么有 11()abab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：， 形式的，我们有：()2n()2(3)nn111 1()2(3)()2()2(3)nnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二） 、 “裂和”型运算：常见的裂和
3、型运算主要有以下两种形式：（1） （2）1abab22abba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1) 1234.(1)n(1)()3n(2) 5.22(1)4nn二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数 混循环小数分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的
4、数的差分母 n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0的左侧； ； ； ，0.a0.ab10.90ab0.9abc2、单位分数的拆分：例： = = = = =1211分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n,有：=()()()nnN1AB本题 10 的约数有:1,10,2,5.。例如：选 1 和 2，有：()1200()()3015本题具体的解有： 11264例题精讲模块一、分数裂项【例 1】 111345367890【 解析解析 】 原式 124234589 138906【 巩固巩固 】
5、 .1245781920【 解析解析 】 原式 1 11( . )3234345789208906【例 2】 计算： 5719180【 解析解析 】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，n所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算原式 324161890 1282334910 11132248903 11903311229007146523也可以直接进行通
6、项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以23n，再将每一项的1121nnn与 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相23同【 巩固巩固 】 计算： 5717912345801（ ）【 解析解析 】 本题的重点在于计算括号内的算式： 这个719234580算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知 ， ，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以52374194801 9132539114024351 1 13546809 120318285
7、3所以原式 65【 巩固巩固 】 计算： 341212367034【 解析解析 】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式222 2341153563467034 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式： ， ， 2122534【 解析解析 】 原式234411156704223534563 134412412523563456710231 1111234523112234560234 11112323424347818241758306【
8、例 3】 2 95210 【 解析解析 】 原式 34234 112 113342923490 6287914910【例 4】 210 【 解析解析 】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 ， ， 12()12()3原式 2 109)34011 【 巩固巩固 】 4501()()12)(3)(2(234)(12350) 原式 2360515017（ ）（ ）（ ）（ ）1621725【 巩固巩固 】 40(2)()23)()(3)(9)(120) 【 解析
9、解析 】 ， ，111(12，所以0 1(29)20)90 原式 1504【 巩固巩固 】 2310()12)(1239)(2310) （ ）【 解析解析 】 原式 234101( )651 15【例 5】 . 22222211315793【 解析解析 】 这题是利用平方差公式进行裂项： ，()abab原式 ()()()()468101411)2223()【 巩固巩固 】 计算： 22225715148【 解析解析 】 原式 337222211481864【 巩固巩固 】 计算： 2222235719315【 解析解析 】 原式 222221 179395 974619462 7219679【
10、 巩固巩固 】 计算： 2213505791【 解析解析 】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 ， ， ， ，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分224262子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了原式22221101 24461115035790 142 1150425041632【 巩固巩固 】 68379【 解析解析 】 （法 1）：可先找通项2211()nann原式 ()()()35795121（法 2）：原式 28183250()()()()()1604506543579【例 6
11、】 1192 11()()()3239 【 解析解析 】 1 2()()2()()2nnnn原式 109134590 【 巩固巩固 】 计算： 1227【 解析解析 】 先找通项公式 1()()nann原式 12()3(1)20748 20714【 巩固巩固 】 1135735721 【 解析解析 】 先找通项： ，223nannn 原式 11324569102 1246 112275【例 7】 3135042 【 解析解析 】 找通项(1)(1)22nna原式 ，34563456108 7 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式 28901792 35
12、026【例 8】2222233333331411 【 解析解析 】222233()116()()4nnnna n 原式= =11()()()(27 2523781【 巩固巩固 】 2 2139【 解析解析 】221()()()nnan原式 899(31)(1)()(1)()34598241267005【例 9】 计算：211【 解析解析 】 通项公式： ，2n na原式 234989(1)(1)(1)(1)()(1)() 459836702131 2950【 巩固巩固 】 计算： 2220505【 解析解析 】 本题的通项公式为 ，没办法进行裂项之类的处理注意到分母21n，可以看出如21 10
13、10n nn果把 换成 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独0剩下一个 将项数和为 100 的两项相加，得2502 222211001210 5505nnn n，所以原式 （或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式 ）49 9【例 10】 2222 10110154321 【 解析解析 】 虽然很容易看出 ， 可是再仔细一看，并没有什么效果，因3254为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有 减号前面括号里)12()6122 nn的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“
14、一个对一个”呢？ 2222 01054321 15316 206421412054132 12153 206421 031 1660模块二、换元与公式应用【例 11】 计算： 333357915【解析】 原式 3324241 2318725760481【 巩固巩固 】 32591【解析】 原式 31022222109130756 【 巩固巩固 】 计算： 248910【解析】 原式 222134393 229 4580【例 12】 计算： 23456113【解析】 法一：利用等比数列求和公式。原式71372649法二：错位相减法设 23456113S则 ， ，整理可得 3 61S3641729
15、S法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差 1由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值由题设， ，则运23456S用“借来还去”的方法可得到 ，整理得到 6S64179【例 13】 计算：22222(410)(35)1398【解析】 原式 2)( 0(24)(365)(109)(0)11391002【 巩固巩固 】 _；245964537 _8786【解析】 观察可
16、知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 ，3415926a原式 221aa 原式 23434762876010【 巩固巩固 】 计算： 22 215【解析】 原式 220(7)()(4)(504)(32)16031127158【例 14】 计算：222223401【解析】 原式 2222 221 4500133 12345201920()() 2020041个 相 加【例 15】 78.5.56.3 【解析】 原式 8.201.10.76.32.512【 巩固巩固 】 计算： 534【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差
17、公式能收到更好的效果原式 242254510【 巩固巩固 】 计算： 1981376【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式 2222455490387其中 可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式221进行计算1216nn【 巩固巩固 】 计算： 9839745【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式原式 5040850122212914922504506293417805【 巩固巩固 】 看规律 ， ， ，试求3232332163.36714原式 . .145 2212 0505901280【例 16】 计算： 1()()()()46464
