1、 2011 年全国统一高考数学试卷（新课标卷）（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1、复数 的共轭复数是（ ）2+12A、 B、35 35C、i D、i2、下列函数中，既是偶函数又在（0 ，+）单调递增的函数是（ ）A、y=x 3 B、y=|x|+1C、y= x2+1 D、y=2 |x|3、执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ）A、120 B、720C、1440 D、50404、有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A、 B、13 12C
2、、 D、23 345、已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则cos2=（ ）A、 B、45 35C、 D、35 456、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A、 B、C、 D、7、设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A、 B、2 3C、2 D、38、 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ （ +）（ 21） 5）A、 40 B、 20C、20 D、409、由曲线 y= ，直线
3、y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ）A、 B、4103C、 D、616310、已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题P1：| + |10， ） ；P 2：| + |1 （ ， ；P 3：| |1 0， 23 23 ） ； P4：| |1（ ，；其中的真命题是（ ）3 3A、P 1，P 4 B、P 1，P 3C、P 2，P 3 D、P 2，P 411、设函数 f（x ）=sin （x+ ）+cos （x+） 的最小正周期为（ 0， 2），且 f（x）=f（x） ，则（ ）A、f（x）在 单调递减 B、f（x）在（ ， ）单调递减（ 0， 2） 434C、f （x）在（0，
4、）单调递增 D、f（x）在（ ， ）单调递增2 43412、函数 y= 的图象与函数 y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ 11）A、2 B、4C、6 D、8二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13、若变量 x，y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最小值为 _ 32+96914、在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2 在 x 轴上，离心率为 过22Fl 的直线交于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为 _ 15、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6BC=2 ，则
5、棱锥3OABCD 的体积为 _ 16、在 ABC 中，B=60，AC= ，则 AB+2BC 的最大值为 _ 3三、解答题（共 8 小题，满分 70 分）17、等比数列a n的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a 32=9a2a6，（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列 的前 n 项和118、如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：PABD ；（）若 PD=AD，求二面角 APBC 的余弦值19、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标
6、值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102，106） 106，110频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102，106） 106，110频数 4 12 42 32 10（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系
7、式为y=2， 942， 94 1024， 102从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望 （以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1 ） ，B 点在直线 y=3 上，M 点满足 ， ， = ，M 点的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值21、已知函数 f（x ）= + ，曲线 y=f（x）在点（1，f （1 ） ）处的切线方程为+1x+2y3=0（）求 a、b 的值
8、；（）如果当 x0 ，且 x1 时，f （x ） + ，求 k 的取值范围122、选修 41：几何证明选讲如图，D，E 分别为 ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合已知 AE 的长为m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214x+mn=0 的两个根（）证明：C，B，D，E 四点共圆；（）若A=90，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径23、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）M 是=2=2+2C1 上的动点，P 点满足 =2 ，P 点的轨迹为曲线 C2（）求 C2 的方程（）在以 O 为极点，x 轴的正半轴
9、为极轴的极坐标系中，射线 = 与 C1 的异于极点的3交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|24、选修 45：不等式选讲设函数 f（x）=|x a|+3x，其中 a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x ）3x+2 的解集（）若不等式 f（x）0 的解集为 x|x1，求 a 的值答案与评分标准一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1、复数 的共轭复数是（ ）2+12A、 B、35 35C、i D、i考点：复数代数形式的混合运算。专题：计算题。分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi（a，bR ）的形式，然后求出共轭复数，即可解答：解
10、：复数 = = =i，它的共轭复数为： i2+12（ 2+）（ 1+2）（ 12）（ 1+2） 55故选 C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型2、下列函数中，既是偶函数又在（0 ，+）单调递增的函数是（ ）A、y=x 3 B、y=|x|+1C、y= x2+1 D、y=2 |x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。专题：常规题型。分析：首先由函数的奇偶性排除选项 A，然后根据区间（0，+）上y=|x|+1=x+1、 y=x2+1、y=2 |x|= 的单调性易于选出正确答案（ 12） 解答：解：因为 y=x3 是奇函数， y=|x|+1、y=x 2
11、+1、y=2 |x|均为偶函数，所以选项 A 错误；又因为 y=x2+1、y=2 |x|= 在（0，+）上均为减函数，只有 y=|x|+1 在（ 12） （0 ， +）上为增函数，所以选项 C、D 错误，只有选项 B 正确故选 B点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性3、执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ）A、120 B、720C、1440 D、5040考点：程序框图。专题：图表型。分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果解答：解：经过第一次循环得到 经过第二次循环得到=1=1 =2=2经过第三次循环得到 ； 经过第四次循环得=3
12、=6 =4=24经过第五次循环得 ； 经过第六次循环得=5=120 =6=720此时执行输出 720，故选 B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律4、有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A、 B、13 12C、 D、23 34考点：古典概型及其概率计算公式。专题：计算题。分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 33 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个古典
13、概型，试验发生包含的事件数是 33=9 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到 P= ，39=13故选 A点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目5、已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则cos2=（ ）A、 B、45 35C、 D、35 45考点：二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系。专题：计算题。分析：根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 tan 的值，然后根据同角三
14、角函数间的基本关系求出 cos 的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把 cos 的平方代入即可求出值解答：解：根据题意可知：tan=2，所以 cos2= = = ，12 12+115则 cos2=2cos21=2 1= 15 35故选 B点评：此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题6、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A、 B、C、 D、考点：简单空间图形的三视图。专题：作图题。分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组
15、成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图解答：解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选 D点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，在得到余下的三视图，本题是一个基础题7、设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A、 B、2 3C、2 D、3考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：设双曲线 C： ，焦点 F（c，0 ） ，由题设知 ，2222=1 222
16、2=1，由此能够推导出 C 的离心率=2解答：解：设双曲线 C： ，2222=1焦点 F（ c，0） ，对称轴 y=0，由题设知 ，2222=1，=2 ，22=4b2=2a2，c2a2=2a2，c2=3a2，e= =3故选 B点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用8、 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ （ +）（ 21） 5）A、 40 B、 20C、20 D、40考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：给 x 赋值 1 求出各项系数和，列出方程求出 a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数解答：解：令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 1+a1+a=2a=1 =（ +） （ 21） 5（ +1） （ 21） 5=（ 21） 5+1（ 21） 5展开式中常数项为 的 的系数和（ 21） 51与 展开式的通项为 Tr+1=（1） r25rC5rx52r（ 21） 5令 52r=1 得 r=2；令 52r=1 得 r=3展开式中常数项为 8C524C53=40故选 D点评：本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题9、由曲线 y= ，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ）
