1、12013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题（每题 分）8、若 的每个质因子都是某个正整数等差数列 中的项，则 的最大值是 1203na2013a答案： 47解： ，若 皆是某正整数等差数列中的项，则公差 应是163,1 d与 的公因数，为使 取得最大，则其首项 和公差 都应取尽可13852013a1a能大的数，于是 ，所以 的最大值是 1,2ad2047d、若 ， ，则 的最小值为 2,0bcbcbc答案： 36解：据柯西不等式， 2123232136aac、若 ，则 31!4!()!n nS 2013S答案： 20解：因 ，则(1)1()!()!kk12323(1)1!4!(
2、)!()!nnn 所以， ，故 11()!nSn20134S、如果一个正方体 与一个正四面体 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体4XY积之比 xyV答案： 43解：记表面面积为 （平方单位） ，则正方体每个面的面积为 ，其边长为 ，所1222以2；正四面体每个面的面积为 ，设其边长为 ，则由 ，得 ；32xV3a2341423a于是 ，因此 3124y14xyV、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距5离之和的最小值是 答案： 61解：设椭圆方程为 ， ，椭圆中心 到长、短轴端点距离为 ，21xyab0aO,ab到焦点距离 满足： ，到准线距离 满足： ，由
3、于 组成勾股数，c22d2ac,c满足 的勾股数组有0a,3,456,8109,25,16,205,13,abc以及 ，其中只有 与 ，而 使得8,1572192(,)(,9)abcd的值为最小，这时有 abcd 61abcd、函数 的值域是 6()36fxx答案： 1,2解： 的定义域为 ，故可设 ，()fxx2,32sin(0)x则 ，22()3sin1sisincosi()6f 而 ，这时 ，因此 6()162f、设合数 满足： ，而 的数字和为质数，就称合数 为“山寨质数” ，7k0kkk则这种“山寨质数”的个数是 答案： 个23解：用 表示 的数字和；而 表示山寨为质数 的合数的集合
4、当()S()Mpp时， ，不大于 的质数共有 个，它们是： ，山寨为9k18k72,3571,的合数有2，而 ；()0M(3)2,0,(5)14,0,()6,4,703DyCBAxO， ， ；(1)38,5674,92M(13)49,5876,4M(17)98M共得 个山寨质数2、将集合 中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对,8于其余的每个数 ，在 的左边某个位置上总有一个数与 之差的绝对值为 ，那么，满足nn1条件的排列个数为 答案： （即 个） 1287解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为 ， ，则在其k(18)余 个数中，大于 的 个数 ，必定按递增的顺序排列
5、；而小于 的7k1,2,8k k个数 ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）1k,21事实上，对于任一个大于 的数 ，设 ，如果 排在 的左边，nk1kn则与 相差 的另一数 就必须排在 的左边；同样，与 相n2k 2k差 的另一数 又必须排在 的左边；，那么，该排列的第二个数不可能13k与 相差 ，矛盾！因此 必定排在 的右边1k用类似的说法可得，小于 的 个数 ，必定按递降的顺序排列；,1由于当排在左边的第一个元素 确定后，右边还有 个空位，从中任选 个位置填78k写大于 的数， （其余 个位置则填写小于 的数） ，选法种数为 ；而当位置选定后，k1kk7kC则填数方法随之唯一确定，因此
6、所有排法种数为 87102kj二、解答题、 （20 分）设直线 与抛物线 交于点 ，若 ，91xy2()ypx,BO求抛物线方程以及 的面积OAB解：设交点 ，由12(,)(,)与 ，得 ，2ypxy0py故有 ，2211,以及 22xyp因 ，即 ，所以 ，即OAB0120xy，化简得 ，因此抛物线方程为22(1)()()pp24，从而交点 坐标为： ，2yx,AB351351,22B，22215,OAOxy因此 15BS、 （20 分）如图，四边形 中， 分别是 的中点， 是对角线0ABCD,EF,ADBCP上的一点；直线 分别交 的延长线于 D,EPF,MN证明：线段 被直线 所平分MN
7、证：设 交 于 ，直线 截 ，则 ；为证 是线GP1GEFPG段 的中点，只要证， ，FE直线 截 ，ABPDE得 ，即 ，1M2BMD直线 截 ，则有 ，C1NCP即 ，2NFBD相加得 ，即 ，也即 ，因此结论得证2PEFEPFENM、 （20 分）在非钝角三角形 中，证明： 1ABCsinsin2ABC证一： sinsinsi()A2222(ico)(co)22s1isi1isi()(cos)BABB in()n()cn)(sinco)0A A这里用到，在非钝角三角形 中，任两个内角之和不小于 ，所以由 ，C099得 ，因此 ，同理009,BA0sii(9)cosBics,B而 ， 不能
8、同时为 从而结论得证1sinsi证二： in2ini()2in()2ACB2sicoscoscos22AAC GPNMFE DCBA52sin(coss)2cos(insi)22ABCABC ；4iincon02（这是由于，锐角三角形 中，任两个内角之和大于 ，而任一个半角小于 ；09045）所以 sinsin2ABC证三：令 ，则 ，且ta,t,tanxyz1xyz；222si,si,si111即要证 ，因为 ，222xyz2()xyxz，21(),1()yxy故式即 ，也即 ，42()()xyz()()2zx即 2z而因 ，故 ，所以 ，,(0,24ABC,(0,1xyz()1()0xyz
9、即 1()xyz此式即为 2x由立知式成立（式强于式） ，因此命题得证、 （26 分）试确定，是否存在这样的正整数数列 ，满足： ，且对12 na2013每个 ，皆有 或 ；而其各项 的值恰好构,301k 120ka3,a成 的一个排列？证明你的结论,解：存在由于 ，而 ， （即有 ） ；23136我们注意到， “差”运算具有“平移性” ，即是说，如果 或 ，那么，对任何整数10ka，也有 或 ；c()()2kc13为此，先将集合 中的数排成一个, 1 14 2772033132661932122551831112441730102331629922215288 216圈，使得圈上任何相邻两数
10、之差皆为 或 ，如图所示2013将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列 ，都满足 或23,a 120ka，13为将数列锁定，在前面添加一项 ，使数列 也满足条件，我们可00123,选择与数 相邻的一个间隙剪开；例如从 右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：3； ，013,269,125,8,124,7,6,9,15；84703若从 左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为： ； ；02,74,26,3这两种排列都满足 或 ；12ka记分段数列 ，0(3,69,5,183,10,1,9M，而分段数列9,215,847)2()a， ，32313(, ,)kkkaakk ,26将这些段作如下连接： ，所得到的数列 满足条060,M 01013,a件因为， ；对其中任意两个邻项2013603323aa，若 属于同一个分段，显然有 或 ；若相邻项 属于,k1,k 10ka1,ka两个相邻段与 ，则 是 的首项：即 ，而 是nM1ka1n13()3()knn1k的末项，即 ，这时有3，并且 ，1()ka 10a因此，数列 满足条件2013,a
