1、 1 / 24第二章1.有两种商品，x1 和 x2，价格分别为 p1 和 p2，收入为 m。当 时，政府加数量税 t,画出预算集并写1x出预算线2. 消费者消费两种商品（x1，x2） ，如果花同样多的钱可以买（4，6）或（12，2） ，写出预算线的表达式。3重新描述中国粮价改革（1）假设没有任何市场干预，中国的粮价为每斤 0.4 元，每人收入为 100 元。把粮食消费量计为 x，在其它商品上的开支为 y，写出预算线，并画图。（2）假设每人得到 30 斤粮票，可以凭票以 0.2 元的价格买粮食，再写预算约束，画图。（3）假设取消粮票，补贴每人 6 元钱，写预算约束并画图。1.当 时，加数量税 t
2、,画出预算集并写出预算线1x预算集： ).(12xmp).()( 111txt 2.如果同样多的钱可以买（4，6）或（12，2） ，写出预算线。则有 ，px1 mp2164p21不妨假设 ，则可解得： 。 28,1预算线为812x3(1) 0.4y(2) 210.30.6xifx(3) 04y注 1:第 1 题和第 3 题的第(2)小题都是非线性价格的题目,道理是一样的. 确定各个线段的端点坐标和斜率, 算出直线方程. 检验答案正确与否的一个快捷的方法是看两端方程是不是在临界点相交(这是一个必要条件, 不是充分条件)1、取同样一组人，然后考虑一下“的确比高”这样一种关系。这种关系满足完备性、反
3、身性和传递性假设。2.证两条无差异曲线不能相交3.纸币换五元纸币的边际替代率？4 商品 1 为中型商品，则它对商品 2 的边际替代率？1、取同样一组人，然后考虑一下“的确比高”这样一种关系。这种关系满足完备性、反身性和传递性假设。错误。满足传递性,不满足完备性和反身性。2 / 242.证两条无差异曲线不能相交设两条无差异曲线对应的效用分别为 ，由曲线的单调性假设，若 ，则实为一条曲线。若21,u21u，假设两曲线相交，设交点为 x，则 ，可推出 ，存在矛盾，不可能相交。21u 21)(,)(xu3.一元纸币换五元纸币的边际替代率？-5(把一元纸币放在纵轴上) 或者-1/5( 把一元纸币放在横轴
4、上),4 商品 1 为中型商品，则它对商品 2 的边际替代率？答案：中性商品是指消费者不关心它的多少有无的商品商品 2 如果也是中性商品那么该题就无所谓无差异曲线,也无所谓边际替代率了.商品 2 如果不是中性商品:边际替代率是 0(把中性商品放在横轴上 )或者 (把中性商品放在纵轴上)两道题是关于边际替代率和中性商品(neutral good)的概念的.边际替代率衡量无差异曲线的斜率, 它的概念来源于消费者愿意以什么样的比率用一种商品换另一种商品.(,the slope of an indifference curve is known as the marginal rate of subs
5、titution. The name comes from the fact that the MRS measures the rate at which the consumer is just willing to substitute one good for the other)替换的方向没有什么追究的意义. ”.MRS.describes.the rate at which the consumer is willing to substitute .good 2 for .good 1”,”.MRS measures the rate at which the consumer
6、is .willing to substitute good 1 for good 2”(课本中的表述，二者皆可。)只要知道 MRS 衡量无差异曲线的斜率就可以了 .(注意,这个斜率是负值 ,除非存在坏商品 bads 时).1 写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并在给定价格（p 1，p 2）和收入（m）的情形下求最优解。（1）x 1=一元纸币，x 2=五元纸币。（2）x 1=一杯咖啡，x 2=一勺糖, 消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。Solution:(1)x1 is indefinitely the substitution of x2, and five units of x1 can
7、 bring the same utility as that one unit of x2 can do. With the most simple form of the utility function, , and assume that the prices of those two goods are p1 and p2 respectively and 125uxthe total wealth of the consumer is m, the problem can be written as12ma,.stpx Because 5p1=p2, any bundle whic
8、h satisfies the budget constraint, is the solution of 12,xsuch problem.(2) A cup of coffee is absolutely the complement of two spoons of sugar. Let x1 and x2 represent these two kinds of goods, then we can write the utility function as 1212,min,uxxThe problem of the consumer is3 / 2412max,.ustpAny s
9、olution should satisfies the rule that , and the budget constraint. So replace x1 12xwith (1/2)(x2) in the budget constraint and we can get , and .12mxp212mxp2 解最优选择（1） 211(,)uxxSolution:(1) Because the preference is Cobb-Douglas utility, we can simplify the computation by the formula that the stand
10、ardized parameter of one commodity means its share of total expenditure.So directly, the answer is , .123mxp11、如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯勒茨基替代效应必定是负的。为什么？ 要证明替代效应总是负的，就是要证明价格下降后的 x1必定落在 x1的右边。可以根据显示偏好弱公理来证明（证明过程略） 。1、如果闲暇是一种低档商品，劳动供给曲线的斜率为正。为什么？如果闲暇是低档商品，如果工资率上升，劳动供给的符号如下式：即当闲暇是低档商品时，如果工资率上升，对闲暇的需
11、求必定下降，对劳动的供给必上升。1. 某消费者效用函数为 ,消费者最初禀赋为（50，0） 。如果商品 x 的初始价格 Px=2，现在变5(,)uxy为 Px=1。请计算斯勒茨基方程中相应的替代效应、普通收入效应和禀赋收入效应。实际利率既名义利率减同期的通货膨胀率，即如果名义利率是 20%，通货膨胀率是 15%，那么实际利率就是 5%。错误。假设名义利率为 R，实际利率 r ,通货膨胀为 ，则满足 ，只有在近似120%14.35Rr计算时，才有 。rmwpRwpRmps ),()(),),(4 / 241 两期的价格都是 p=1，利息率 r=10%。12122(,),0,10,ucm1） 求 ，
12、有无储蓄？c2） 当 时，求 。%0r21,c2一个人只消费粮食，第一期他得到 1000 斤，第二期得到 150 斤，第一期的粮食存到第二期将有 25%的损耗。他的效用函数为： 1212(,)uc1） 如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费 ?,21c2） 如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是 p=1，利息率 r=10%，问最佳消费?,21c3有一个永久债券（consol）, 每年支付 5 万，永久支付，利率为 r，它在市场出售时价格应是多少？1 两期的价格都是 p=1，利息率 r=10%。12122(),0,10,ucm3） 求 ，有无储蓄？4） 当 时，求 。%0r21,cSolut
13、ion:(1)1221max. ucmstrr221211()cLc. ,for,12145.60,20145.ccsmc(2)Similarly, we can get12.7,2一个人只消费粮食，第一期他得到 1000 斤，第二期得到 150 斤，第一期的粮食存到第二期将有 25%的损耗。他的效用函数为： 1212(,)uc3） 如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费 ?,21c4） 如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是 p=1，利息率 r=10%，问最佳消费?,21cSolution:5 / 24(1) max1221.ucmstrr221211()cLc. ,focr1260,4
14、5c(2) 1221max.ucmstrr221211()cLc. ,for.12568.5c3有一个永久债券（consol）, 每年支付 5 万，永久支付，利率为 r，它在市场出售时价格应是多少？Solution：First, the interest rate here should be taken as net interest rate. We assume that the 50 thousands yuan is going to be paid at the end of each year from now on。According to the definition of
15、present value：15PresntValuiir(End)1、考虑汽车保险。某消费者的一辆汽车，在没有遇上小偷时的价值为 100000 元；如遇上小偷，车子有损失，汽车的价值会下降至 80000 元。设遇上小偷的概率为 25%，车主的效用形式为 。wln（1）该消费者是喜爱风险还是厌恶风险的？（2）在公平保险条件下，该消费者买多少数额的保险是最优的 ？（3）在公平保险条件下，该消费者投保与不投保的效用水平会发生怎样的变化，说明了什么问题？（本题保留 4 位小数）（1） ， ，所以该消费者是厌恶风险的。01lnw01ln2w（2）根据公平保险条件下的最优条件： ，ancKK8，即完全保
16、险。0K（3）如果没有购买保险，其期望效用水平为： 4571.0ln25.1ln75. 如果购买保险，其期望财富是 95000 元，其期望效用水平是：6 / 24。461.950ln2121,min,xxf说明购买保险可以改善他的生活状况。Homework 8, October 11, 20041 一人具有期望效用函数，其对财富的效用为 。他的初始财富为 35,000 元，假如发生()uc火灾则损失 10,000 元，失火的概率为 1%， 火险的保费率为 1.1%。问他买多少钱的保险（K=?） ，在两种状态下的财富各为多少？答：已知最优条件 ，和预算约束 。可得11naancMUc1naamL
17、cc，代入预算约束，解出 ，2naacc 22183.06amLA。22134957.81namLA2一人具有期望效用函数，其对财富的效用为 。他的初始财富为 10，000 元，有人邀请他参加赌()uc博，输赢的概率各为 1/2。问以下情况下他是否同意参加？赢时净挣多少时愿意参加？（1）赢时净挣 10,000，输时丢 10,000（2）赢时净挣 20,000，输时丢 10,000答：（1）参加赌博的预期效用是： ，不参加赌博的效用是1/201/20/2EU100，较大。所以，此时不参加赌博。（2）参加赌博的预期效用是： ，不参加赌博的效用是 100，较1/3/3/大。所以仍不参加赌博。设 ，得
18、到 。所以，赢时净挣 30000 时愿意1/0/200EUxU0x参加？2、某消费者的效用函数为 ，x 和 y 的价格都是 1 元，他的收入为 2000 元。当 x 的价格涨至21),(yu2 元时，计算消费者剩余的变化、补偿变化和等价变化。2、 （1）首先求出需求函数【1 分】：，可以得出： mxpstu2121.,a（2）计算消费者剩余的变化【3 分】： 15.693ln210ln021 tdtCS21pmx7 / 24（3）计算补偿变化【3 分】：设在新的价格下消费者保持效用水平不变的收入是 m: ，求解， m=2828，则补偿变化为 2828-2000=828。212104m（4）计算
19、等价变化【3 分】：设在新的价格下消费者保持效用水平不变的收入是 m: ，求解， m=1414，则补偿变化为 2000-1414=586。212105m1. “等价变化”是用货币测度“效用变化”的方法，请文字说明其含义，并将其作图表示出来。1 某消费者的效用函数为 ，x 和 y 的价格都是 1，他的收入为 200。当 x 的价格涨(,)uxy至 2 元时，计算消费者剩余的变化、补偿变换和等价变换。solution:Cohb-Douglas 效用函数下 x，y 的需求函数是：(,)xyxmpp(,)2ympx， y 价格是 1，收入为 200 时：， ，20(,) 0(1,)1消费者的效用 0(
20、,)ux 的价格涨至 2 时：， (,1)5420(,1)1y消费者的效用 1(0,)ux 的价格从 1 涨至 2 时，消费者剩余的变化（The lost consumer surplus）是：2211(,)0ln269.3CSpdp用 C 表示补偿变化（Compensating variation）有：0(2,),()01,42()8.uxmCyuor01px51px8 / 24用 E 表示等价变化（Equivalent variation）有：1(1,20),(120)5,()8.6uxEyuor注意：赵老师在课上定义的 就是消费者剩余的损失（见课件第 14 章第 38 页） ，这样定义也
21、许是为了同CS补偿变化和等价变化具有可比性。2 证明当效用函数为拟线形时，消费者剩余的变化、补偿变换、等价变换都相等。Proof： 拟线性的效用可以表示成： (,)(uxyv在预算约束 （把 y 的价格标准化为 1）下，假设内点解，x 的反需求函数是： ，由此xpm ()xpv可见，x 的需求与收入无关，在 y 的价格不变时有： ，(,)(xxpmy 的需求等于： ()xyp这时消费者的效用水平： ()xxuv设 x 的价格从 变化到 ，则消费者剩余变化（The lost consumer surplus）是：xpx() ()0 0 ()()()() xp px xx xxCSvdvdpmmu
22、设补偿变化为 C 有： (,1),(1,)( xxxxpypCuorvump设等价变化为 E 有：(,1),(1,)(xxxxpEypuorv对比可见对于拟线性的效用函数 CS1消费者对商品 x 和在其它商品上的开支 y 的效用函数为yyxu21),(1） 市场上有完全同样的消费者 100 人，写出市场需求函数。2） 该如何定价使销售收入最大？此时价格弹性是多少？首先求解单个消费者的最优化问题：9 / 24(其他商品上的开支设它是用货币度量的,所以价格标准化为 1)21max.ystp解联立方程组 得： 1xxyxMUp 21xpym1) x 的市场需求函数是单个需求函数的横向加总：0()xX
23、p2销售收入用 R 表示，最大化销售收入就是：max1()xp10202xxxdpp这时需求弹性是： (0)10(xxdX2.证明所有消费品的收入弹性的加权平均为 1，权重为每个消费品的开支比例。(证明两种商品不可能同时为奢侈品)Proof： 无论任何价格，收入下，我们都有预算约束式 成立，对预算约束是两边对收入 m 求导得：1nipxm1 (1)niixpm 而： （2）iiiiiixpxmsAA其中， ， 分别表示商品 I 的开支比例和收入弹性。isi所以把（2）代入（1）有： ，即得证。1nis（北大 1997）下面哪些生产函数具有规模报酬不变的特性： 21212121()min,;()
24、;(3);(4);yxyxyxyx3 （1） 具有规模报酬不变特征,inff (2) 不具有规模报酬不变特征。212121, xx(3) 不具有规模报酬不变特征(4) 不具有规模报酬不变特征（北大 1998）10 / 24三 1 非齐次函数2 一次齐次函数，规模报酬不变3 齐次函数，规模报酬递减。(北大 1996)4 正确如果生产函数具有规模报酬不变的特征，那么必然有 1,(,.).(1)Tnftxfx对（1）式两边关于 求偏导，可得(1,2.)ixn ,2.2i ii设 ，则在产量 上的边际替代率为1(,.)nQfQ().(3)iiijjjfxMPRTSx设 ，则 ，故在产量 上的边际替代率
25、为：2t211(,.)(,.)nntfxftx2Q().4iiijjjMPRTStxftf将（2）式代入（4）式，可得 ()()ijijRTStxM即生产函数的边际替代率不变（2001 上财）四、计算题假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本（单位：万元）的变化率即边际成本是产量（单位：万台）的函数 C=4+Q/4，总收益的变化率也是产量的函数 R=9Q，试求：.产量由 1 万台增加到 5 万台时，总成本与总收入各增加多少？.产量为多少时利润极大？.已知固定成本 FC=1（万元） ，产量为 18 时总收益为零，则总成本和总利润函数如何？最大利润为多少？四、计算题【解析】1MC=4+Q/4 TC=4Q+Q2/8+c（c 为常数） TC=19MR=9-Q TR=9QQ 2/2+d（d 为常数） TR=242因为：利润最大时 MR=MC所以有：9-Q=4+Q/4 Q=4（万台）
