1、巧用“等时圆”解物理问题“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于考试杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用” ，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004 年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环
2、（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t 2、t 3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得， magcos再由几何关系，细杆长度 cos2RL设下滑时间为 ，则 t1t由以上三式得， 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，gt所以 D 正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从
3、最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为 t2 (如图甲所示)Rg(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止图 2图 1下滑，到达圆周低端时间相等为 t2 (如图乙所示)Rg象这样的竖直圆我们简称为“等时圆” 。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运
4、动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（ ）自由落体的时间，d即（式中 R 为圆的半径。）gRgdt2420三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 （如右图） 。根d据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为 ，所以运动时间为singasindgt 2i20即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律 AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A 、B 、C、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高点，D 点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 A 处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长
5、度和倾角大小都无关.推导设圆环沿细杆 AB 滑下，过 B 点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为 ，如图 2 所图 a 图 b示，连接 BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsin，由几何关系有AB=x=2Rsin ，由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明 1 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为 ，由运动学公式有2Rsin=12（gsingcos）t2 ，解得t=2Rsingsingcos=2Rggcot， 增大，时间 t 减小，规律不成立 .二、 “等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题对于涉及竖
6、直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解1、 可直接观察出的“等时圆”例 1：如图 3，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正确。【变式训练 1】如图所示，AB 和 CD 是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为 R 和 r 的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点 P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从 A 滑到 B 和从 C 滑到D
7、，所用的时间分别等于 t1 和 t2，则 t1 和 t2 之比为( )A21 B11 C.31 D12例 4：圆 O1 和圆 O2 相切于点 P，O 1、O 2 的连线为一竖直线，如图 8 所示。过点 P 有两条光滑的轨道 AB、 CD，两个小物体由静止开始分别沿 AB、CD 下滑，下滑时间分别为 t1、t 2，则 t1、t 2 的关系是（）A.t1t2 B.t1=t2 C.t1 gR4ta ； c 做 自 由 落 体 运 动 tc= ； 而 d 球 滚 下 是 一 个 单 摆 模 型 ， 摆 长g2为 R， td= = ， 所 以 C 正 确 。 tbt atdt c.4T2解【析】 如图所
8、示，令圆环 半径为 R，则 c 球由 C 点自由下落到 M 点用时满足 R gt ，所以 tc 12 2c；对于 a 球令 AM 与水平面成 角，则 a 球下滑到 M 用时满足 2Rsin gsin t ，即 ta22Rg AM 12 2a；同理 b 球从 B 点下滑到 M 点用时也满足 tb2 (r 为过 B、M 且与水平面相切于 M 点的竖直圆Rg rg的半径，rR)综上所述可得 tbt at c.三个相同小球从 a 点沿 ab、ac、ad 三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？解析：设斜面侧边长为 ，倾角为 ，则物体沿光滑斜面下滑时加速l度为 ，物体的位移为 。singasin
9、lx物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得，2si1sitlABCDM图 4得 ， 、 一定，所以 越大时，下滑所用时间越短 2singltg奇妙的等时圆2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004 年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点， d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t 2、t 3 依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t1t2t3 C.t
10、3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 2，由牛顿第二定律得， 由几何关系，细杆长度 magcos cosRL设下滑时间为 ，则 t21tL由以上三式得， 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以 D 正确。gRt若将图 1 倒置成图 3 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论： 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。例 1：如
11、图 4 所示，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解：由“等时圆” 可知，同一时刻这些小物体应在同一“ 等时圆 ”上，所以 A 正确。例 2：两光滑斜面的高度都为 h，甲、乙两斜面的总长度都为 l，只是乙斜面由两部分组成，如图 5 所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：构想一辅助圆如图 6 所示：在 AF 上取一点 O，使 OA=OC，以 O 点为圆心，以图 1图 3图
12、4图 2图 5图 6OA 为半径画圆，此圆交 AD 于 E 点。由“等时圆” 可知， ，由机械能守恒定律可AECt知： ， ，所以 。又因为两斜面的总长度相等，所以 ，ECvDBDBCv DEBCs根据 得， ，所以有 ，即乙球先到达斜面底端。tsECt乙甲 t2.在离坡底 B 为 10cm 的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高 OA 也是 10cm。杆的上端 A 到坡底 B 之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图 11）从 A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s 2 ）答案：如图 12，把 AO 延长到 C，使 OC=OA=10cm，则点 O到 A、B 、C
13、三点的距离相等。以 O 为圆心，OA 为半径作圆，则B、C 一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从 A 到 B 的时间与从 A 到 C 的时间相等，即s。210/2gt【例 1】倾角为 30的长斜坡上有 C、O、B 三点，CO = OB = 10m，在 C 点竖直地固定一长 10 m 的直杆 AO。A 端与 C 点间和坡底 B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点） ，将两球从 A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图 1 所示，则小球在钢绳上滑行的时间 tAC 和 tAB 分别为（取 g = 10m/s2）A2s 和 2s B 和 2s s2C 和 4s D4s 和s
14、2解析：由于 CO = OB =OA ，故 A、B、C 三点共圆，O 为圆心。又因直杆 AO 竖直，A 点是该圆的最高点，如图 2 所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB 和 AC 与竖直方向夹角分别为 1、 2，该圆半径为 r，则对钢球均有 2cos1cs2tgr解得： , 钢球滑到斜坡时间 t 跟钢绳与竖直方向夹角 rt4无关，且都等于由 A 到 D 的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项 A 正确。AOBC30 图 1图 2AOBC30 1 2D图 11 图 122、运 用 等 效 、类 比 自 建 “等 时 圆 ”例 3： 如 图 5所 示 ， 在 同
15、 一 竖 直 线 上 有 A、 B两 点 ， 相 距 为 h， B点 离 地 高 度 为 H， 现 在 要在 地 面 上 寻 找 一 点 P， 使 得 从 A、 B两 点 分 别 向 点 P安 放 的 光 滑 木 板 ， 满 足 物 体 从 静 止 开始 分 别 由 A和 B沿 木 板 下 滑 到 P点 的 时 间 相 等 ， 求 O、 P两 点 之 间 的 距 离 。OP解析：由“等时圆”特征可知，当 A、B 处于等时圆周上，且 P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：12hROPH所以 ()()h例 2：如图 2，在斜坡上有一根旗杆长为 L，现有一个小
16、环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从 A 滑到 B 的时间。【解析】：可以以 O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从 A 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的时间，所以有 ggdtAB242例 2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆 AB，如图所示，BD 为水平地面，ABD 三点在同一竖直平面内，且连线 AC=BC=0.1m 一小球套在杆上自 A 端滑到 B 端的时间为：（ B ）ABPHhO图 5 图 6ABPHhOO1OABLLD图 2A 0.1s B 0.2s C D s1022解析：以 C 为圆心作一个参考园。由结论知
17、，小球自 A 到 B 运动的时间与自 A 到 B 自由落体运动的时间相等。即 AE=2R=0.2mAE= gt t=0.2s214、如图 4 所示，在离坡底 15m 的山坡上竖直固定一长 15m 的直杆AO，A 端与坡底 B 间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从 A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间 t。.图4例 5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分 AE 滑行的时间技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图AC 是滑道的竖直高度， D 点是 AC 竖直线上的一点，且有 ADDE10 m，滑道 AE 可视为光滑，滑行者从坡顶 A 点由静止开始沿滑道 A
18、E 向下做直线滑动，g 取 10 m/s2，则滑行者在滑道 AE 上滑行的时间为( )A. s B2 sC. s D2 s【解析】 AE 两点在以 D 为圆 心、半径为 R10 m 的圆上，在 AE 上的滑行时间与沿 AD 所在的直径自由下落的时间相同， t 2 s， 选 B.4Rg例 4、如图所示，圆弧 AB 是半径为 R 的 圆弧，在 AB 上放置一光滑木板 BD，一质量为 m 的小物体在 BD14板的 D 端由静止下滑，然后冲向水平面 BC，在 BC 上滑行 L 后停下不计小物体在 B 点的能量损失，已知小物体与水平面 BC 间的动摩擦因数为 .求：小物体在 BD 上下滑过程中重力做功的
19、平均功率【解析】 由动能定理可知小物体从 D 到 C 有 WGmgL0，所以 WGmgL由等时圆知识可知小物体从 D 到 B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到 B 点的时间，即为 t ，所4Rg以小物体在木板 BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率为 P .WGt mgL2 gR例 3：如图 7，一质点自倾角为 的斜面上方的定点 O 沿光滑斜槽 OP 从静止开始下滑，为使质点从 O 点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角 应为多大？解：如图 7，作以 OP 为弦的辅助圆，使圆心 O/与 O 的连线在竖直线上，且与斜面相切于 P 点。由“等时圆”可知，唯有在 O 点与切点 P 点架设的斜
20、槽满足题设条件，质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知， ，又A为等腰三角形，所以 。O 2例 4：如图 7， AB 是一倾角为 的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在 P 与 AB 输送带间建立一管道（假使光滑） ，使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？AB图 7P PAB图 8CO图 7解析：借助“等时圆” ，可以过 P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带 AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着 PC 弦建立管道，原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从
21、P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着 PC 建立管道。由几何关系可得： PC 与竖直方向间的夹角等于/ 2。【例 4】如图 7 所示，在同一竖直平面内，从定点 P 到固定斜面(倾角为 ) 搭建一条光滑轨道 PM，使物体从 P 点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角 为多少？解析：先用解析法求解。从定点 P 向斜面作垂线，垂足为 D，如图 8 所示，设 P 到斜面距离为 h，则轨道长度为)cos(hM物体沿轨道下滑的加速度 cosga由于 21tP联立解得： )cos(ght令根式中分母 ，利用积化和差得：y， 一定，当 时，分母 y 取得最大值，物体沿轨道下)2cs(o
22、21y 2滑的时间 t 最小。再用“等时圆”作图求解。以定点 P 为“等时圆”最高点，作出系列半径 r 不同（动态的） “等时圆” ，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图 9 中甲所示，则轨道长度均可表示为 cos2RPM物体沿轨道下滑的加速度 ga由于 ，故得： ，21trt4欲 t 最小，则须“等时圆”的半径 r 最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于 M2 点，如图 9 中乙所示。再根据几何关系可知： 。在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆” ，避免了用解析法求解的复杂计算。例 4：如图 5 所示，在倾角为 的传送带的正上图 5MP图 7MP图 8Dh图 9P 1M1M2 2 PM2甲 乙PHL图 10
