1、 高考在考什么 【考题回放】1.已知 abcd，成等比数列，且曲线 23yx的顶点是 ()bc，则 等于（ B ）3 2 1 2.已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 12，则2581a73. 在等比数列 n中, 12,前 项和为 n,若数列 1na也是等比数列,则 nS等于A 12 B.3 C. 2 D.31n【解析】因数列 na为等比，则 1naq，因数列 na也是等比数列，则 221212221()()0nnnnnna aq即 n，所以 nS，故选择答案 C。4.设集合 123456M， ， ， ， ， ， 12kS， ， ， 都是 M的含两个元素的子集，且满足：对任意的 iiab，
2、 ， jjab， （ ij，123ijk、 ， ， ， ，） ，都有 mininji， ，（minxy，表示两个数 xy， 中的较小者） ，则 k的最大值是（ B ）A10 B11 C12 D135. 已知正项数列a n，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项 an 解析：解: 10 Sn=an2+5an+6， 10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或a1=3 又 10Sn1 =an1 2+5an1 +6(n2)， 由得 10 an=(an2 an1 2)+6(an an1 )，即( an+an1 )(an an
3、1 5)=0 an+an1 0 ， an an1 =5 (n2) 当 a1=3 时， a3=13， a15=73 a1， a3， a15不成等比数列 a13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3数列综合专题6.已知公比为 (01)q的无穷等比数列 na各项的和为 9，无穷等比数列 2na各项的和为 85.(I)求数列 n的首项 1a和公比 q；(II)对给定的 (,23,)kn ，设 ()kT是首项为 ka，公差为 21ka的等差数列，求 (2)T的前 10 项之和；解: ()依题意可知, 3258192qa()由()知, 3n
4、n,所以数列 )2(T的的首项为 21at,公差 12ad, 159010S,即数列 )2(的前 10 项之和为 155.高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中小题主要考查 1()adq、 、 naS、 、 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题
5、的综合性，注意分类讨论高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力（2）给出 Sn与 an的关 系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列突破重难点【范例 1】已知数列 na， b满足 12a， 1b，且134nnabb（ ）（I）令 nnca，求数列 nc的通项公
6、式；（II）求数列 的通项公式及前 项和公式 nS解：（）由题设得 1()2()nnba ，即 12nc（2n）易知 c是首项为 13，公差为的等差数列，通项公式为n（II）解：由题设得 1()(22nnab ，令 nndab，则1()2nd易知 是首项为 1，公 比为 的等比数列，通项公式为12nd 由 12nnab， 解得na， 求和得21nSn【变式】在等差数列 a中， 1，前 项和 S满足条件24,2,1nS， （）求数列 n的通项公式；（）记 (0)abp，求数列 nb的前 项和 nT。解：（）设等差数列 n的公差为 d,由 241nS得：123a，所以 2a，即 21a，又12 1
7、()4nndSd 2(1)na，所以 na。（）由 nanbp，得 nbp。所以231()nnTpp ，当 1时， nT；当 时， 2341()nnppp，21 1()(1) npPT 即 1,(1),nnpp。（理）已知二次函数 ()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为()62fx，数列 na的前 n 项和为 nS，点 (,)nN均在函数 y的图像上。（） 、求数列 na的通项公式；（） 、设 1nb， nT是数列 nb的前 n 项和，求使得 20nmT对所有 nN都成立的最小正整数 m；解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x
8、 2,得 a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x2 2x.又因为点 (,)nSN均在函数 ()yfx的图像上，所以 nS 3n2 2n.当 n2 时 ， an Sn Sn 1（ 3n2 2n） )(2)13（ 6n 5.当 n 1 时， a1 S1 312 2 61 5， 所以， an 6n 5 （N）（）由（）得知 13nab 5)1(6(3n)165(21n，故Tn ib1 2 )165(.)137()( n 2（116n）.因此，要使 2（ 1 6n） a；（3）记 lnab（n=1,2,） ，求数列b n的前 n 项和 Sn。解析：（1） 2()1fx， ,是方程 f(x)=0
9、的两个根 ()，55,2；（2） ()1fx，2115(2)()4nnnn aaa =514()421nna， 1a，有基本不等式可知2510a（当且仅当 152a时 取等号） ， 2510a同，样3， ， n（n=1,2,） ，（3） 1()(1)212nnna aa ，而 1，即 ， 21()1nna，同理21()1nna， 1nb，又135lll2b2()ln2nS已知函数 1fx， 、 是方程 ()0fx的两个根( )，()f是的导数 设 1a， 1()nnaf， 1,2 .(1)求 、 的值；(2)已知对任意的正整数 n有 a,记 lnab,(1,2) .求数列 nb的前 项和 nS
10、解、(1)由 210x 得 152x 152 152(2) f 1nnnaa 222 21153512nnnnn nnaaaa 12nb 又 1351lnl4ln2ab数列 n是一个首项为 4l2,公比为 2 的等比数列 ;15l 15ln2nnS【变式】对任意函数 f（ x） ， x D，可按图示 32 构造一个数列发 生器，其工作原理如下：输入数据 x0 D，经数列发生器输出 x1 f（ x0） ；若 x1D，则数列发生器结束工作；若 x1 D，则将 x1反馈回输入端，再输出 x2 f（ x1） ，并依此规律继续下去现定义 f（ x）= 4（）若输入 x0 659，则由数列发生器产生数列
11、xn 请写出数列 xn的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（） （理）若输入 x0时，产生的无穷数列 xn满足：对任意正整数 n,均有 xn xn1 ，求 x0的取 值范围解：（） f（ x）的定义域 D（ 1）（1，）数列 xn只有三项 x1 9， x2 5， x31（） f（ x） 4 x 即 x23 x20， x1 或 x2即 x01 或 2 时， xn1 n xn，故当 x01 时， x01；当x02 时， xn2（ nN）（）解不等式 x 124，得 x1 或 1 x2，要使 x1 x2，则 x21 或 1 x12对于函数 f（ x） 164
12、x。若 x11，则x2 f（ x1）4， x3 f（ x2） x2当 1 x12 时， x2 f（ x） x1且 1 x22 依次类推可得数列 xn的所有项均满足 xn1 xn（ nN）综上所述， x1（1，2） ，由 x1 f（ x0） ，得 x0（1，2）【范例 3】已知 ()nAab， （ *）是曲线 ye上的点， 1a，nS是数列 的前 项和，且满足 2213nnSa， n，234， ， ，（I）证明：数列 2nb（ ）是常数数列；（II）确定 a的取值集合 M，使 a时，数列 na是单调递增数列；（III）证明：当 时，弦 1nA（ N*）的斜率随 单调递增解：（I）当 2n 时，由
13、已知得 2213nnSa因为 10aS，所以 于是 213()n 由得 6n 于是 219na 由得 n， 所以226nnaanbee，即数列 2()nb 是 常数数列（II）由有 21S，所以 21a由有 3215a，43a，所以 3a， 48而 表明：数列2k和 21k分别是以 2， 3为首项，6 为公差的等差数列，所以 6()， 1()k，24kaN*，数列 n是单调递增数列 12a且 212kka对任意的kN*成立12a且 346(1)6(1)6(1)kakak34 952824a即所求 a的取值集合是 954Ma（III）解法一：弦 1nA的斜率为11nnanbek任取 0x，设函数
14、0()xef，则002()()xxf记 00()xxge，则 0)(xe，当 0x时， (， )g在 )x， 上为增函数，当 时， )0x， (在 0， 上为减函数，所以 0时， ()，从而 ()fx，所以 ()fx在()x，和 ， 上都是增函数由（II）知， aM时，数列 na单调递增，取 0nx，因为 12nn，所以1nnaek2nnae取 02na，因为 12nna，所以12nnek2ne所以 1n，即弦 1()AN*的斜率随 n单调递增解法二：设函数 1()naxef，同解法一得， ()fx在 1)na， 和1()na，上都是增函数，所以1111limn nnnaaxaeek，2111
15、11linnnnnaxaa故 1nk，即弦 ()AN*的斜率随 单调递增【文】设 nS是数列 n（ ）的前 n项和， 1a，且2213nnSa， 0n， 234， ， ， （I）证明：数列2（ ）是常数数列；（II）试找出一个奇数 a，使以 18 为首项，7 为公比的等比数列 nb（nN*）中的所有项都是数列 n中的项，并指出 n是数列 a中的第几项解：（I）当 2 时，由已知得 2213nnSa因为 10nnaS，所以 于是 213()n 由得： 163na于是 219n 由得：26na即数列 na（ 2 ）是常数数列（II）由有 21S，所以 21a由有 15，所以 3，而表明：数列 2k
16、a和 21k分别是以 2， 3为首项，6 为公差的等差数列所以 2()6k a，1323ak， kN*由题设知， 187nnb当 为奇数时， 21k为奇数，而 nb为偶数，所以 不是数列 21ka中的项， nb只可能是数列 ka中的项若 1是数列 中的第 项，由 86得 036，取 03k，得 ，此时 2k，由 2nk，得 187nk，17nN*，从而 nb是数列 a中的第 1n项（注：考生取满足 36ak， N*的任一奇数，说明 nb是数列na中的第 12673na项即可）【变式】 （文）已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1）
17、证明数列lg(1+ an)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；（3） 记 bn= n，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+12nT=1.解：（）由已知 2nna， 21()nna11，两边取对数得1lg()2lg()nnaa，即 1lg()2naln是公比为 2 的等比数列.（）由（）知 11lg()lg()n1122lg3nn123na（*）12()nTan(+a)01223n-13213-1+= 2-由（*）式得 123n（） 210nna1()na 11()2nnaa1nn又 12nnba1()nnba12nS+1231( )naa+1()na12213,3n na213nnS又 21nTnST
