1、1教学目标理解常量、变量以及函数概念，了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法，掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。了解幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基本特征和简单性质。了解极限、无穷小（大）量的有关概念，掌握求极限的常用方法。了解函数连续性概念，会求函数的间断点。理解导数概念，会求曲线的切线方程，熟练掌握导数基本公式和求导数的常用方法，会求简单的隐函数的导数。知道微分概念，会求微分。会求二阶导数。重难点函数概念、导数概念和导数的计算教学内容第一编 微分学第 1 章 函数一、试着回答下列问题：问题 1：在某过程中由两个变量，其中一个量 x 变，另一个量 y
2、也变，那么变量 y 是变量x 的函数，此话对吗？问题 2：一个函数可以由哪些要素唯一确定？问题 3：函数的定义域、对应关系和值域中的任意两个因素，是否可将函数唯一确定呢？问题 4：如果 y 是 x 的函数 y=f(x)，是否 y 与 x 之间的关系只能用一个解析式子表示？答：问题 1：不对。根据函数定义，变量 x 变，变量 y 也变，并没有说明 y 是如何随 x 的变化而变化，也没有说明每给 x 一个值，就有唯一的 y 值与之对应，因此还不能说 y 是 x的函数。问题 2：任一函数，都可由其定义域 D 和对应关系 f 这两个要素确定。有的教材讲，确定函数有三个要素：定义域、对应关系和值域，实际
3、上，只要定义域和对应关系确定了，值域也就随之确定了。问题 3：不一定。例如 y=sinx 与 y=cosx，它们的定义域相同，值域也相同，但对应关系不同，它们不是同一个函数。问题 4：不一定。表示函数的方法有：公式法、图示法和列表法。即使对于公式法，也不一定必须用一个解析式表示，如分段函数：包含了两个式子，但分段函数仍是一个函数。二、主要内容归纳：（一） 、函数概念1、 常量与变量在所研究的问题中，保持同一确定数值的量，称为常量。而能取不同数值的量，称为变量。注意：常量与变量是相对的，条件改变时，可以相互转化。2、函数定义： y=f(x)其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的变域 D 称
4、为函数的定义域。用图示说明如下：Y D（ y 的变化范围） （x 的变化范围）函数的实质是两个变量（x 与 y）及其对应规则 f( )（二） 、初等函数4x2 ,91xyx) f(法 则一 一 对 应2微积分研究的对象主要是初等函数，但初等函数是由基本初等函数构成的。1、 基本初等函数常数函数 y=C (C 是常数)幂函数 y=x a （a 为实数）指数函数 y=a x (a0,a1)对数函数 y=log a x (a0,a1)三角函数 y=sinx , y=cosxy=tanx , y=ctgx2、 复合函数y=f(u),u=(x)且 u=(x)的值域是 y=f(u)的定义域的子集，则 y
5、是 x 的复合函数：y=f(x).其各量的关系图示如下：3、 初等函数初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌漏层。4、 常见函数的定义域的基本求法求一元函数 y=f(x)的定义域 D，即是求使函数有意义的自变量 x 的变化范围。常见解析式的定义域求法有：（1） 、分母不能为零；（2） 、偶次根号下非负；（3） 、对数式中的真数恒为正；（4） 、分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集。5、 对应规则 f( )从以上分析，对应规则 f( )往往表现为各种运算，已知 f( ) 求 f
6、( a)，只须用 a 取代 x，代入对应规则运算即成。但应注意分段函数不同区间有不同的对应规则。（三） 、函数的奇、偶性判断函数 y=f(x)的奇、偶性常见有以下方法：（1） 、定义法：即在对称区间上若满足 f(-x)=f(x) ，则 y=f(x)为偶函数，若满足 f(-x) = -f(x) ，则 y=f(x)为奇函数，否则 y=f(x)为非奇非偶函数。(x)u y u)f( y ()fyux则 ：y3（2） 、符合法：记偶为，记奇为，则有：，即“同号”相乘除为， “异号” 相乘除为。记住这些常见函数的奇、偶性，用符合法可以判断很多函数的奇、偶性。（3） 、图象法：奇函数关于原点对称 偶函数关
7、于 y 轴对称图象法即利用奇函数关于原点对称、偶函数关于 y 轴对称来判断函数的奇、偶性。（四） 、经济中常用的函数1、需求函数：q d =q(p), qd需求量，p价格2、供给函数：q s=q(p), qs需求量，p价格3、总成本函数：C(x)=C 1+C2(x), q产量C1为固定成本，C 2(x)为变动成本4、收入函数：R(q)=q.p(q), q销售量，p价格6、 利润函数：L（q）=R(q) C(q) 三、重点、难点：重点：1、函数 y=f(x)的两要素；2、 函数的奇偶性；3、 基本初等函数；4、 经济中常用的函数。难点：经济中常用的函数。四、实例分析：例 1、 求下列函数定义域（
8、1） 、分析：应同时要求分母0，偶次根号下非负，于是为 奇 函 数 。为 偶 函 数 ；注 意 ： 如 tan,si,1, co 32 xyxyxyayxo xoC)(）（平 均 成 本 函 数 ： R）（平 均 收 入 函 数 ：qL)(）（平 均 利 润 函 数 ： )2lg(1)2( 14)(2 xfxxf 、4解：要使函数有意义，必须使：（2） 、分析：要求分母0 且对数真数0、偶次根号下非负，于是解：要使函数有意义，必须使：对照练习 1、求下列函数定义域：例 2、求分段函数的定义域：分析：分段函数的定义域应是各段定义域的并集对照练习 2、求分段函数的定义域：例 3、 函数 f(x)的
9、定义域是1，2，求函数 f(x+1)的定义域。分析：已知 f(x)的定义域为1，2， 有 f(x+1)的定义域要求 1x+12,即 0x1,即 f(x+1)的定义域为 D=0，1对照练习 3、函数 f(x)的定义域是2，3，求函数 f(x+1)的定义域。例 4、 设 g（t）=t 36,求 g（t 2）, g（t） 2分析：函数关系为 g( )=( )36， （1）用 t2代 t，即求出 g（t 2） ；（2）求g（t） 2即是求该函数的平方。解：g（t 2）(t 2 )36t 66,2,1 140422Dxx定 义 域 ,1 1221lg)2l(0)2lg(Dxxxx定 义 域 )4ln()
10、(2 9)(2 xxfxxf 、 53 ,)1ln()2xxf 5,3,3, 5,3,212 1Dxx定 义 域解 ： 由 10 ,8 )(2xxef5g（t） 2=（ t 36） 2对照练习 4、设 f(x)= x2+5,求 f(1/x)，ff(x)求 f(0) ，f(2) ，f(4)分析：求分段函数的函数值应将自白变量的取值代入所在区间对应的表达式中。解：f(0)= 0 2+1=1f(2) 无意义 （2 不在 f(x)的定义域内）f(4)=94 2=7对照练习 5、在上例中，求 f(1) ，f(5)例 6、下列函数对中， （ ）表示相同函数分析：两个函数相同是当且仅当其定义域和对应规则分别
11、相同。解：选择 A，因为 f(x)与 g(x)的定义域均为（-，+） ，对应规则也相同（sin 2x+cos2x=1）对照练习 6、下列函数对中， （ ）表示相同函数例 7、找出下列函数的奇函数对照练习 7、找出下列函数的偶函数4 ,9 21-)(52xf、 设例 1ln2l)()(sico(222xyxuDyCtBxgxxfA，、 ，、 ，（、 ，、 232lnl)()cossi1(xyuDCtBxgxxf，、 ，、 ，（、 ，、 1)a0( sin)12 co22 且、 、 xayDxyCBA 22为 奇 函 数 为 偶 函 数为 奇 函 数 ，解 ： 选 择 为 奇 函 数分 析 ： 由
12、 符 号 法 可 知 ：xxa6例 8、某厂生产一种元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变成本为 10 元。（1） 、试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数；（2） 、若每件售价 14 元，试写出总收入函数；（3） 、试写出利润函数。解：设总成本函数为 C（q）,平均成本函数为 A(q),总收入函数为 R(q),利润函数为 L（q）其中：q 为生产量（销售量） ，则有：（1） 、C（q）=固定成本+变动成本=150+10q， （0q100）A(q)= C（q）q=150q 10（2） 、R(q)=14q（3） 、L（q）= R(q)C（q）=14
13、q(150 10q)=4q150对照练习 8、已知某产品固定成本为 2000 元，每生产一件产品，成本增加 50 元，则生产q 件产品的平均成本为何函数？五、问题解答：对照练习答案第 2 章 一元函数微分学第一部分 极限与连续一、试着回答下列问题：问题 1：什么是函数的极限过程？函数的极限过程是用什么指标来衡量的？为什么说函数极限存在与否取决于函数极限过程？问题 2：设有函数 yf(x)3x2，当 x2 时，f(x)3x24，而 f(2)4，即 f(x)1)a0( sin)12 co22 且、 、 xayDxyCBAxCBAff xxfx205 876)5( ,)1( 301 ,/42 302
14、 3 1242、 均 为 偶 函 数、 是 相 同 函 数、 无 意 义、 ，、 ，、 ，） 、（，） 、 （75)2(4)(lim4)( , ,523 2 gxgxg， 但 却 有即仍 然 有 时趋 于当再 看在 x2 的函数值 f(2)4，这两件事有什么不同？问题 3：怎样直观描述函数的极限？问题 4：能否直接称 是无穷大量或无穷小量呢？xfy21)(答：问题 1：因为微积分研究的是变量间的变化关系，也就是函数关系，而在极限中往往用自变量 x 的变化去刻画变化过程，去研究相应的函数 f(x)的变化趋势，所以函数的极限过程是指：函数的自变量 x 的变化过程。而自变量 x 的变化过程有各种情形
15、：xx 0, xx 0 , xx 0 , x, x, x 等等。显然，函数 yf(x)的变化趋势，或存在极限或不存在极限都与极限过程有关，也就是与自变量 x 的各种变化过程有关，同一函数 yf(x)对不同极限过程就有不同的变化趋势。例如：yf(x) 1x，当 x1 时，f(x) 1；当 x12 时，f(x) 2 等等。问题 2：当 x2 时，yf(x)3x2 的值如下表：x 19 199 1999 19999 20001 2001 201 213x2 37 397 3997 39997 40003 4003 403 43由此可以看出：当 x2 时， （包括小于 2 和大于 2 的值） ，yf(
16、x)3x24。在讨论 x 趋于 2 时，yf(x)3x2 的极限过程中，并未提及 yf(2)4 这一事实，其原因在于 yf(2)描写的是 x 2 时 yf(x)的值，而我们所研究的却是当 x 趋于 2 时yf(x)的变化，这是两码事。即在本例中，两种不同的概念得到是相同的值，注意这是不应混淆的两件不同的事。这表明这两种不同的概念有时产生不同的结果。问题 3：由上述两个问题我们有：定义如果当 x 取值趋近于 时，f(x)趋近于一个单一的值 A 或在 A 值上保持不变，则称 A 是当 x 趋近于 时函数 yf(x)的极限，这时可写成 等 。，其 中 ),( )( 0li xxfx 问题 4：显然不
17、然。比如：若 x时，则 即是无穷小量；又若21)(xfx0 时，则 即是无穷大量。可见，极限过程不相同，那么函数极限一般xf21)(也不同，因此，所谓的无穷大量或无穷小量是相对某一极限过程而言。8极限过程：即x无限接近极限值：即在所给极限过程中，f(x) 无限接近 A某函数极限符号：即无限接近二、主要内容归纳：（一） 、函数极限1、 描述性定义：Axfx)(lim注意：、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可；、弄懂定义的关键是联系函数图像，看懂在同一变化过程中自变量与因变量两个无限变化趋势；、极限过程 x是指：xx 0, xx 0 , xx 0 , x, x, x中的一种。2、 极限存在
18、的充要条件 AxxfAxf 0lim)(0li)(0lim3、 穷小量与无穷大量以零我极限的变量称为无穷小量；绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系是：（即关系互倒）)(10li)(0li xfxffx无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量。4、 极限的四则运算对某一极限过程 x，若 limuA，limvB，则有：1、 lim(uv) limulimvAB；2、 lim(uv) limulimvAB若 vc (c 是常量)，有 lim(cu) climucA；、 ） 。， （ 0limli Bvu推论：、limu n(limu) n A n， （n 为自然数）、l
19、im ， （n 为自然数）li、limCC， （C 是常数）95、 两个重要极限、 ”型 ）属 “0( 1sinlm0、 型 ）属 ( )(ie或 10)(l注：这里教材中相应公式原来 x 的位置，统统被“”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学生提供了想象空间，不具体给出函数形式。（二） 、连续与间断1、 点连续 )(0lim0xffx在点连续的这一定义中，一下三个条件要同时满足：、f(x)在点 x0的某一邻域有定义；、f(x)在点 x0有极限；、f(x)在点 x0的极限等于函数值。2、 间断点函数的不连续点称为间断点；3、 初等函数在其定义区间内是连续的4、
20、 利用连续性求极限：)()0limli00 xffxfxx 三、重点、难点：重点：1、函数极限（特别是“ ”、 “ ”型）03、 两个重要极限的计算；4、 无穷大、无穷小的概念、性质和关系。难点：点连续及间断点的判断。四、实例分析：理解并掌握下列极限的计算方法： 极限的四则运算法则； 两个重要极限 ；e)1(lime,)1(li,sinlm00 xxxx10 函数的连续性。具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算出现错误。例 1 求下列极限（1） （2）150)3(limxx xx2sin1lm0（3） （4）24li24x x)1(li解（1）当 时分式的分子、分母的极限都不存
21、在，不能用极限的除法法则，由教材中公式（2.2.4）可直接得到结果，即 5150150 32)(3)3(limxx(2) 当 时分式的分子、分母的极限都为 0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化，即有 )1(2sinlm)1(2sin1l2sin1l 000 xxxxx= 412lil)(ilm000 xxx（3）当 时分式的分子、分母的极限都为 0，且分式的分子、分母均为 的二次多项4 x式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则。即7341)(lim)4(31li1245li24 xxxxx（4）先进行恒等变形，在利用第 2 个重要极限。即 21)(lim)1(li)1(limexxxxx对照练习 1、求下列极限（1） （2）1082)3(lix xx123li（3） （4）xx6lim23 1)(limx五、问题解答：对照练习 1、答案、 、 、 、e 29)3(84753第二部分 导数及导数应用
