1、1第 26 课 三角变换(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修4P131复习题16改编)若sin - 3cos=m ，则实数 m的最小值为 .【答案】 -2【解析】由sin - 3cos = 2sin=m -2，得实数 m的最小值为 -2.2.(必修4P128练习3改编)已知cos =13，且 (0，)，那么sin= .【答案】【解析】由 (0，)，得02，所以sin 2=1-cos=3.3.(必修4P130习题5改编)若tan =13，tan( + )=12，则tan = .【答案】17【解析】tan = tan(+ )- =tan()-t1a=1-23= 7.4.(必修4
2、P117习题1改编)化简：00tan95-3t= .2【答案】 3【解析】因为tan(95 -35)=00tan95-t31= ，所以原式 =03(1tan953)= .5.(必修4P131复习题13改编)若sin =m ，cos =n ，则tan 2= .(用 m， n 表示)【答案】1-1mn或 写 成1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将正切化为正弦或余弦 .2.要注意对“1”的代换，如1 =sin2+ cos2 =tan 4；还有 1+cos = 2cos2，1 -cos = 2sin2
3、.3.对于 sin cos 与sin cos 同时存在的试题，可通过换元完成 .如设 t=sin cos ，则sin cos =2-1t.4.常见的“变角”方法有：2 = (+ )+(- )； = (+ )-= (- )+ .【要点导学】3要点导学 各个击破倍角公式的拓展例1 求sin 50(1 + 3tan 10)的值 .【解答】sin 50(1 + tan 10)=sin 500sin1co=sin 500032sin12co=0cos4in1=0i8s=0=1.变式 计算：tan 70cos10( 3tan 20-1).【解答】原式 =0sin7cocos 100sin2co=00031
4、cos12i-2cs7=0-cos1in7=0-si2co7=-1.角的变换例2 已知cos-4x=210， x34，.(1)求sin x的值；4(2)求sin23x的值 .【思维引导】(1) x= 4+；(2)利用两角和的正弦公式求值 .【解答】(1)方法一：因为 x32，所以 x-42，故sin-x=21cos-4x=210=7.sin x=sin-=sin-4xcos +cos-4xsin=7210 + 2= 5.方法二：由题设得 cos x+ sin x=210，即sin x+cos x=15.又因为sin 2x+cos2x=1，所以25sin 2x-5sin x-12=0，解得sin
5、 x=45或sin x=-3，因为 x2，所以sin x=45.(2)因为 x34，所以cos x=-21-sinx=-5，5所以sin 2 x=2sin xcos x=-245，cos 2x=2cos2x-1=-7，所以sin3x=sin 2xcos3+cos 2xsin3=-4750.【精要点评】角的变换非常灵活，如 =- =+， = (+ )- ， =2+-等，需要在平时的训练中细心体会 .变式 已知cos4x=35，且1720，cos B=5130，得0 A2，0 B ，从而sin A=35，sin B=12，所以cos C=cos -(A+B)=-cos(A+B)=sin Asin
6、B-cos Acos B=513-45=16.4.计算：0cos2incos 10+ 3sin 10tan70-2cos 40= .【答案】2【解析】原式 =0cs1i2+0sin7co-2cos 40=00cos23ni-2cos 40=000(1s)i-2cos 40=0002cosn3i1cos3)si2-2cos 40=000i4-4=2.95.如图，已知 OA=6， AB=3， AB AO， xOA= ， 02，.(1)用 表示点 B的纵坐标 y；(2)求 y的最大值 .(第5题)【解答】(1)分别过点 A， B作 x轴的垂线，垂足分别为 C， D，过 A作 AE BD于点 E，则
7、ABE= xOA= ，且 y=BE+ED=BE+AC=3cos + 6sin ，其中 02，.(2)由(1)知 y=6sin + 3cos = 3 5sin(+ )，其中 为锐角且tan =1，故 y的最大值为3 5.1.已知cos 2 =14，那么sin 2= .【答案】38【解析】因为cos 2 = 1-2sin2= 4，所以sin 2=38.2.已知sin =35， 是第二象限角，且 tan(+ )=1，则tan 2 = .【答案】 -7410【解析】由sin =35且 是第二象限角，得 tan =-34，因为( + )-= ，所以tan = tan(+ )- =tan()-t1a=7，
8、所以tan 2 =2tan1-=-74.3.(2015四川卷)已知sin + 2cos = 0，则2sin cos - cos2 的值为 .【答案】 -1【解析】由已知可得sin =- 2cos ，即tan =- 2.2sin cos - cos2=22sinco-s= 2tan-1=4=-1.4.(2015宿迁一模)若cos-3=1，则sin-6的值是 .【答案】 -79【解析】令 =-3，则cos =13， =+，从而2 - 6=2+ ，所以sin-=sin2=cos 2 =2cos2 -1=29-1=-7.5.(2015广东卷)已知tan = 2.(1)求tan4的值；(2)求 2sinico-s21的值 .【解答】(1)tan4=tan4-=ta1-=2-=-3.(2) 2sinico-s21
