1、唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究1 / 7唯 思 达 教 育培 优 教 案（ 讲 义 教 师 版 ）初 二 年 级数学讲 师 ： 刘 亚 峰2010 秋 季唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究2 / 7专题一 全等三角形全攻略基础知识1、 三角形全等的判断 角边角（SAS）边角边（ASA） 边边边（SSS）2、 三角形全等的性质 对应边相等，对应角相等 对应的中线、高线、角平分线相等3、 垂直平分线（中垂线） 中垂线上一点到改线段的两个端点距离相等4、 角平分线定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等一、判断题解惑【1】 （希望杯 试题）有下列四个命题：两边和其中一边上的高
2、对应相等的两个三角形是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形两边和其中一边所对应的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形其中正确的是（）A、， B C D解析A B D B C命题正确：在 ABC 和 ABC中，BD=BC,AB 为公共边，两个三角形的高均为 AD,但是这两个三角形显然不是全等的。命题不正确 如果均是锐角三角形，那么必然全等命题不正确 在 ABC 和 ABC中，AB=AB ，AC 为公共边，高均为 AD，但是不全等命题正确二、利用角相等构造全等1、角平分线法【2】 （北京中考）如图，在 ABC
3、中，BAC=90 。 ，B=2C，D 在 BC 上，AD 平分BAC，若 AB=1,则 BD 的长为（ ）A 解析：在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE。AE=AB, BAD=BAC ,AD=AD ABD AED BD=DE , ABD=AED,AB=AE BAC=90 。 , B=2C, B=60 。 ,B D C C=30 。 EDC=30 。 =C ED=EC BD=AC-AE= -13【3】 (衡水 09 年中考)如图，在 ABC 中，AD 是A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 点的任意一点，设 PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则 m+n 与 b+c 的大小关系是
4、E解析：在 BA 的延长线上取点 E，使 AE=AC,连接 EPAE=AC,EAD=CAD,AP=AP ACP AEP A CP=EP P 在 BPE 中 BP+EPBE PB+PCAB+AC 即 m+nb+c唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究3 / 7B C D【4】(“希望杯”培训典型题)如图，ABC 中，A 的平分线交 BC 于 D，AB=AC+CD,B=40,那么C 的大小解析：在 AB 上取点 E,使得 AE=AC,连接 DE.AE=AC, BAD=CAD,AD=AD ACD AED C=AED,CD=DE AB=AC+CD,AE=AC CD=BE=DE EBD=EDB=4
5、0 。 , C=AED=80 。【5】 （唐山市 05 年考题）如图，ABC 中，ABAC,D、E 分别在 AB、AC 上，且满足条件BD=CE, BCD=CBE,若 BE、CD 相交于 O，则BOC+A=解析： 延长 CD 至 F,使得 CF=BE,连接 BFBCD=CBE,BC=BC,BE=CF BCF CBEBF=CE, BEC=BFCBD=CEBF=BDBFC=BDFBDF=ABE+BOD, BEC=ABE+ABOD=ABOC+A=BOC+BOD=180 。练习（2007 年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边
6、四边形（1） 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称（2） 如图，在 ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，设 CD、BE 相交于 O，若A=60,DEC=EBC=1/2A,请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;（3） 在 ABC 中，如果 A 是不等于 60 的锐角，点 D、E 分别在 AB、AC 上且 DCB=EBC=1/2A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解析：（1）平行四边形、等腰梯形等（2）BOD 或 COD 四边形 DBCE 是等对边四边形（3）此时存在等对边四边形 证法同上三、倍长线段（
7、中线）构造全等【6】 （历年中考典型题）如图，ABC 中,AB=4,AC=7,M 是 BC 的中点，AD 平方BAC,过 M作 MF/AD,交 AC 于 F,则 FC 的长等于解析：延长 FM 至 K，使得 FM=MK,连接 BK,延长 MF 与 BA 的延长线交于点 EBMK=CMF,BM=CM,FM=MK BMK CMF FC=BK, BKM=CFMMF/AD, BAD=CADBKM=BEM=AFEBE=BK=AB+AF=FCAB+AC=AB+AF+FC=2FCAB=4,AC=7 FC=5.5练习：（希望杯联赛题）如图 ABC 中，AD 平分 BAC，M 是 BC 的中点，ME/AD 交
8、AB 于 F，交 CA 延长线于 E，ABAC，求证：BF=CEACB DDABFOECACEDBFMKFEAD CB唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究4 / 7解析：同上【7】(天津市 08 年中考题)如图，在 ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，D 是 BC 的中点，DEDF，试比较 BE+CF 与 EF 的大小。解析：延长 FD 至 M,使得 DM=DF,连接 BM、EM.易证 DCF DBM,故 DM=DF,BM=CF,又 DEDF,故 ME=EF,在 BEM 中，BE+BMEM.即BE+CFEF拓展题：如图，直角 ABC 中，ABAC，E、F 分别在 AB、AC 上
9、，D 是 BC 的中点，DEDF，试证明：EF 2=BE2+CF2解析：辅助线、证明方法均与例题相似。不再给出四、补形法【8】 （邯郸市 05 年中考题）如图，已知 ABC 中，BAC=90 。 ，AB=AC，BE 平分B，CEBD。求证：BD=2CE解析：延长 BA、CE 交于点 M。BECE，CBE=MBE,BE 为公共边， CBE MBE ME=CEBECE,ABAC MCA=MBEAB=AC ABD ACM BE=CM=2CE点评;本题将已知图形补成一个完整的三角形，使得问题迅速解决。思考题 1：（山东省数学竞赛试题）如图，在四边形 ABCD 中，A=C=90 。 ,AB=AD,若这个
10、四边形的面积为 16，则 BC+CD=解析：答案 8思考题 2：（武汉市数学发散题）如图，在凸五边形 ABCDE 中，B=E, C=D,BC=DE,M 是 CD 的中点，求证：AMCDMB D CAE FMB D CAE FMADECBFB CADEBAE唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究5 / 7五、探索型试题例 9(06 北京课改 )如图（1）所示，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：（1 ） 如图（2） ，在ABC 中，ACB 是直角，B=60,AD,CE 分别是BAC,BCA的平分线
11、，AD,CE 相交于点 F.请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系（2 ） 如图（3） ，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（ 1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由。解析：（1）FE=FD. 证明：在 AC 上取点 M,使得 AM=AE，连接 FM。易证AEFAMF, MCFDCF,故 EF=FM=FD.（2 ）在 AC 上取点 M,使得 AM=AE,连接 FM。BAD= CAD,AF=AF,AE=AMAEFAMFEF=FM,AFE=AFMBAD= CAD,BCE=ACE, B=60AFC=120，AFE=60C D
12、MOMNP(1)BCDAE(2)BDCAE F(3)FBCDAE(2) MBDCAE F(3)唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究6 / 7MFC=60 =DFCBCE=ACE,CF=CFMFCDFCDF=FM=EF例 5 （2007 年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；(2) 如图在ABC 中，点 D,E 分别在 AB,AC 上，设 CD,BE 相交于 O，若A=60,DCB=EBC= A,请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想哪个
13、四边形是等对边21四边形；(3) 在ABC 中，如果A 是不等于 60的锐角，点 D,E 分别在 AB,AC 上，且DCB=EBC=A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。21解析：（1）平行四边形，等腰梯形等等；（2）与A 相等的角是BOD(或COE),四边形 DBCE 是等对边四边形；（3）此时存在等对边四边形 DBCE.如图，作 CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 的延长线于 F 点。DCB=EBC= A,BC 为公共边21BCGCBF BF=CGBDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+AGEC=ABE+AAECBDOAECBDOF G唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究7 / 7BDF=GEC,BDFCEGBD=CE 故四边形 BCED 为等对边四边形
