三角形中的最值问题.doc

1、1第 42 课 三角形中的最值问题考点提要1 掌 握 三 角 形 的 概 念 与 基 本 性 质 2 能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题基础自测1 （1）ABC 中， ，则 A 的值为 30 或 90 ；cos3sinA（ 2） ABC 中，当 A= 时， 取得最大值 co2sBC322在 ABC 中， ，则 的取值范围是 mCB:)1(:si:sin 1m解 由 ，cba2:)(:i:i 令 ，由 ，得 kmbka2,)1(,bcab,213锐角三角形 ABC 中，若 A=2B，则 B 的取值范围是 30B45 4设 R，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径

2、，则 的最大值rR为 215在 ABC 中，内角 A， B， C 所 对边的边长分别是 ，若 ，则 B 的,abc23ac取值范围是 0B 120 6在ABC 中，若 AB，则下列不等式中，正确的为 ； ； B ，故正确；abRin2sB，故正确（或由余弦函Aco)()i(数在 上的单调性知正确） ；(0,)由 AB，故2csB21sinA2siBAinBs正确知识梳理1直角 ABC 中，内角 A， B， C 所 对边的边长分别是 ，C =90， 若 内切圆的,abc半径为 r，则 2abc22在 三 角 形 中 ， 勾 股 定 理 、 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 是 基 础 ， 起

3、到 工 具 性 的 作 用 它 们 在 处理 三 角 形 中 的 三 角 函 数 的 求 值 、 化 简 、 证 明 、 判 定 三 角 形 的 形 状 及 解 三 角 形 等 问 题 中有 着 广 泛 的 应 用 例题解析例 1 已知直角三角形的周长为 1，求其面积的最大值点评 例 2 已 知 ABC 中 ， 1,ab3（ 1） 求 最 小 内 角 的 最 大 值 ； （ 2） 若 ABC 是 锐 角 三 角 形 ， 求 第 三 边 c 的 取 值 范 围 解 （1）由三角形三边关系得第 三 边 c 满 足 解 得 ， 故 最 小 内 角 为12c,3A又 （ 当 且 仅 当22313cos

4、 244bcacc()时 等 号 成 立 ） ， 所 以 A 30， 即 最 小 内 角 的 最 大 值 为 303（ 2） 因 为 ABC 是 锐 角 三 角 形 ，即 A，B ，C 三个角均为锐角，又因为 ab，所以AB，故只需说明 B，C 为锐角即可由 B，C 为锐角得 即 解得 0cos1,2401c,35c点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件另外要注意变形的等价性，如“内角 A 为锐角 ”01cosA例 3 （2008 江苏）求满足条件 的 ABC 的面积的最大值CB2,解 设 BC ，则 AC x2x根据面积公式得 = ，ACS 21sin1cos

5、x根据余弦定理得 ，224cos xB24代入上式得 = ，ABCS22418()1()6x由三角形三边关系有 解得 ，,2x 2x故当 时 取最大值 21,3xABCS1286点评 4例 4 如图，已知A=3 0， P，Q 分别在A 的两边上，PQ=2当 P，Q 处于什么位置时，APQ 的面积最大？并求出APQ 的最大面积点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数例 5 已知ABC 的周长为 6， 成等比数列，求：|,|BCA（1）ABC 的面积 S 的最大值； （2） 的取值范围解 设 依次为 a，b，

6、c，则 a+b+c=6，b 2 =ac|,|BCA由 得 （当且仅当 a=c 时，等号成立） ，2bac 0又由余弦定理得 （当且仅当2221os 2aca=c 时，等号成立） ，故有 ，3B（1） ，即 （当且仅当221sinsisin32Sb max3Sa=b= c 时，等号成立） ；（2） 2)(2os 2bcacaBCBA 22(6)3()7bb0,18BAC 5点 评 本 题 运 用 均 值 定 理 进 行 放 缩 ， 再 运 用 不 等 式 的 性 质 求 解 （ 1） 为 不 等 式 问 题 ， （ 2）为 函 数 问 题 方法总结1三 角 形 中 角 的 最 值 （ 范 围 ）

7、 问 题 ， 一 般 运 用 余 弦 定 理 ， 通 过 求 该 角 余 弦 的 范 围 ， 根 据余 弦 函 数 的 单 调 性 处 理 要 注 意 三 角 形 三 边 关 系 和 内 角 范 围 的 隐 含 条 件 ， 尤 其 要 注意 锐 角 三 角 形 的 角 的 关 系 2三 角 形 中 边 的 最 值 （ 范 围 ） 问 题 ， 主 要 由 有 三 角 形 三 边 关 系 决 定 3三 角 形 中 面 积 的 最 值 （ 范 围 ） 问 题 ， 可 以 角 为 自 变 量 ， 也 可 以 边 为 自 变 量 建 立 目 标函 数 ， 要 注 意 自 变 量 的 范 围 练习 42

8、三角形的最值问题班级 姓名 学号 1若直角三角形斜边的长 m（定值） ，则它的周长的最大值是 (2+1)m2 在 锐 角 ABC 中 ， 若 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ， ） 2ACB3解 ，而 ， sinicos46ACB3在ABC 中，若 ，则 A 的取值范围是 0B 45 21b,a4若 2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则 x 的取值范围是 )13,5(5若三角形两边之和为 16 cm，其夹角为 60，则该三角形面积的最大值是 6，周长的最小值是 24 6已知 ABC 中，A = 60，BC = 4，则 AB + AC 的最大值为_ _837钝角三角形的三边为 ，其中最大

9、角不超过 120，则 的取值范围是2,1aa32a解 由题意钝角三角形中， 为最大边且最大角不超过 120，因此得2a， ，)1(22)()1(a6，22211cosa()(a)A由得 ，得 ，得 或 ，故 3a233a8已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 SAOB =9，S COD =16，则四边形面积的最小值是 49 9 （2006 全国）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为 610cm2解 由题意可围成以下几种三角形图（1）中， ， ；15cosin4,41S图

10、（2）中， ， ；2020i7AD, 6图（3）中， ， 比较13cosin,1S7上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为 cm2610点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，610在ABC 中，已知 223cosCAab（1）求证：a、b、c 成等差数列； （2）求角 B 的取值范围解 11如图，正方形 ABCD 的边长为 a，E、F 分别是边 BC、CD 上的动点， EAF=30，求AEF 面积的最小值解 设AEF 的面积为 S，BAE= （15 45） ，则由EAF=30得DAF= 60正方形 AB

11、CD 的边长为 a，在 RtBAE 中， ；cosABE在 Rt DAF 中， ，(60)cos(60)DaF8 1sin2SAEF2si30co(6)4cos(60)aa 2 213incs4s(sin)2 2cos3i1(cosin)1aa2 2csin3(csi)222si(30)1si(0)1aaa 12 （2008 四川延考）在 ABC 中，内角 A， B， C 对边的边长分别是 ，已知,abc22acb（1）若 ，且 A 为钝角，求内角 A 与 C 的大小；4（2）若 ，求 ABC 面积的最大值解 （1）由题设及正弦定理，有 222sinisin1B故 因 A 为钝角，所以 22s

12、incocoA由 ，可得 ，C= ，A= ()4ii()485（2）由余弦定理及条件 ，有 ，故221()bac2saBc cosB1由于 ABC 面积 ，又 ， ，1sin2acBc21()4asinB329当 时，两个不等式中等号同时成立，所以 ABC 面积的最大值为ac1342备用题1直角 ABC 的斜边 AB=2，内切圆的半径为 r，则 r 的最大值为 212在 ABC 中，已知 sin2A + sin2B = 5sin2C，求证： 3sin5解 等式 sin2A + sin2B = 5sin2C 立即联想正弦定理，有 a2+b2=5c2而 a2+b2=5c2 与余弦定理连起来也无可非

13、议c2= a2+b22abcosC ，5c2= c2+2abcosC， 4c2=2abcosC于是可知 cosC0，C 为锐角，而 5c2= a2+b22 ab，故 4c2=2abcosC5c 2cosCcosC ， sinC 3点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中3 已 知 ABC 的 内 角 满 足 )cos(sinisnCBACB（ 1） 求 A； （ 2） 若 ABC 的 面 积 为 4， 求 ABC 周 长 的 最 小 值 4如图，边长为 的正 ABC 的中心为 O，过 O 任意作直线交 AB、AC 于 M、N ，a求 的最大值和最小值21ONM答案 最大值 、最小值 82155如图A = 90，B = ，AH = h， ，h 为常数，AHBC 于H，AHE=AHD = x，问当 x 取何值时， DEH 的面积最大？并求出最大面10积