1、初中数学二次函数知识点总结i.定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax +bx+c(a ，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。ii.二次函数的三种表达式一般式：y=ax +bx+c(a，b，c 为常数，a0)顶点式：y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 p(h，k)交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与 x 轴有交点 a(x ，0)和 b(x，0)的抛物线注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x,x=(-bb -4ac)/
2、2aiii.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。iv.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 p。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)2.抛物线有一个顶点 p，坐标为：p ( -b/2a ，(4ac-b )/4a )当-b/2a=0 时，p 在 y 轴上;当 = b -4ac=0 时，p 在 x 轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口; 当 a 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决
3、定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时( 即 ab0)，对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时( 即 ab 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于(0， c)6.抛物线与 x 轴交点个数= b -4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b -4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。= b -4ac v.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数 )y=ax +bx+c，当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程( 以下称方程) ，即 ax +bx+c=0此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为
4、方程的根。1.二次函数 y=ax ，y=a(x-h) ，y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各式中，a0) 的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：当 h0 时，y=a(x-h) 的图象可由抛物线 y=ax 向右平行移动 h 个单位得到，当 h 当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h) +k 的图象;当 h0,k 当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h) +k 的图象;当 h 因此，研究抛物线 y=ax +bx+c(a0)的图象，通过配方
5、，将一般式化为y=a(x-h) +k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线 y=ax +bx+c(a0)的图象：当 a0 时，开口向上，当 a 3.抛物线y=ax +bx+c(a0)，若 a0，当 x -b/2a 时，y 随 x 的增大而减小;当 x -b/2a 时，y 随 x 的增大而增大.若 a 4.抛物线 y=ax +bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c);(2)当=b -4ac0 ，图象与 x 轴交于两点 a(x，0)和 b(x，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx
6、+c=0(a0)的两根.这两点间的距离 ab=|x-x|当=0.图象与 x 轴只有一个交点;当0 时，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有 y0;当 a 5.抛物线y=ax +bx+c 的最值：如果 a0(a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax +bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) +k(a0).(3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x)(x-x)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
