1、轴心压杆大挠度弹性屈曲分析摘要 以大挠度理论为基础，对压杆的稳定性进行了分析，推导得出了压杆屈曲后的挠度与荷载关系的数表达式. 通过ANSYS算例，说明利用该公式不仅能描述压杆屈曲后挠度曲线的形状，而且还能给出压杆屈曲后挠度值的大小，从而为精确分析压杆的极限承载力，提供了一种理论分析的方法。关键词：屈曲理论；大挠度；ANSYS分析。1 引言小挠度理论只能说明直线状态是不稳定的，却不能给出荷载与挠度的具体关系式。随着压杆不断向轻型组合结构的方向发展，在其稳定性的分析中，考虑剪切变形的影响已十分必要. 吕烈武曾指出，在实际工程中，有许多根据屈曲理论分析得到的屈曲荷载，并不与压杆的极限承载力相关，且
2、认为产生这种不一致的原因，是由压杆屈曲后的平衡状态所决定的. 所以，有必要应用大挠度理论对压杆屈曲后的变形特性进行研究. 作者在大挠度理论的基础上，考虑压杆剪切变形的影响，推导得出了压杆的挠度与荷载关系的函数表达式，可以给出组合压杆屈曲后的荷载与挠度的一一对应关系，并且可以确定屈曲后挠度值的大小，从而在理论上为分析压杆的极限承载力提供了参考.2 大挠度理论按照小变形理论对两端铰接的轴心受压构件剪力线性微分方程求解，得到构件的屈曲荷载和变形曲线。剪力平衡方程时用 代替构件变形时的曲率 。为了阐明构件屈曲后y的性能，必须用曲率的精确值 ，这样一来，就得到了大挠度方程 23)(10)(123PyEI
3、（1）（1）式可简化，因为曲率 是曲线的倾角 对弧长 的变化率，即 ，这样sds可以简化为0PydsEI（2）在（2）式中含有 三个变量，为了便于计算，对式（2）再微分一次，而且利用,，以减少为两个变量。令 ，式（2）变为sindy EIPk/20i2k（3）上式利用椭圆积分求解，先得到构件的长度 与构件屈曲后两端的倾角 和 的积l o分式ool dkds)2/(sin)/(si2120（4）这是一个有现成的积分表可查的椭圆积分式。引入符号 和 。其中pK)/sin(0p（5）)642531()()21( 24ppK（6）kl/（7）因为 ， ,这样上式可写成EIP/22lI24/K（8）这是
4、大挠度理论关于轴心受压构件屈曲后荷载 和变形的端角 之间的关系式。Po对于构件屈曲后的变形，还需要知道构件中点的挠度 和端角 之间的关系式。由v00 cos2insinov kddy（9）可得 Kplv/（10）给定 后由式（8）和（10）即可得到 和 。oEP/lv/3 ANSYS实例验证轴心受压构件大挠度分析理论理论解计算步骤：（1）通过给定的端角 先求得参数o)2/sin(0p（2）求得系数 )64531)21( 24pK（3）通过 求得荷载/4/PEP（4）通过 求得中点水平位移plvv计算结果如下表表1 基于大挠度的理论解端角 （度） p=sin(/2) K P/Pe 理论解v/l
5、理论解0 0 1.5708 1 0.022610 0.0872 1.5738 1.0038 0.099320 0.1736 1.5828 1.0153 0.129230 0.2588 1.5981 1.0351 0.170840 0.342 1.62 1.0636 0.215250 0.4226 1.649 1.1021 0.258660 0.5 1.6858 1.1518 0.297670 0.5736 1.7312 1.2147 0.331580 0.6428 1.7868 1.2939 0.359590 0.7071 1.8541 1.3932 0.3809100 0.766 1.935
6、6 1.5184 0.3951110 0.8192 2.0347 1.6779 0.4017120 0.866 2.1565 1.8848 0.4006130 0.9063 2.3088 2.1604 0.3915140 0.9397 2.5046 2.5424 0.374150 0.9659 2.7681 3.1054 0.348160 0.9848 3.1534 4.0301 0.3113170 0.9962 3.8317 5.9504 0.2591ANSYS分析采用beam3单元，单元长度为压杆长度的5%。用ANSYS作几何非线性分析时，受限要打开大位移选项，并根据问题类型设置求解控制选
7、项；其次是引入缺陷“激起”非线性分析，对大多数实际问题分析中，需要引入缺陷以进行非线性分析，但对如拱一类的结构则不必引入缺陷而直接进行非线性分析。就本例，必须给出一定的初始缺陷（初弯曲）才能进行非线性分析，初始缺陷的大小对屈曲荷载附近影响较大，而后影响逐渐减少，本例采用千分之一的压杆长度为初始缺陷。在求解策略上，本例没有使用弧长法，当荷载位移曲线变化比较剧烈时，调正荷载子步大小即可收效。命令流如下：finish$/clear$/filname,colu$/prep7aa=100.0ai=10000/12.0l0=1000em=2e5pcr=acos(-1)*acos(-1)*em*ai/l0/
8、l0et,1,3mp,ex,1,emr,1,aa,ai,10k,1,0k,2,0,l0/2k,3,0,l0l,1,2l,2,3lesize,all,20lmesh,allnode1=node(0,l0,0)finish/soludk,1,ux,uydk,3,uxfk,3,fy,-pcrpstres,onsolvefinish/soluantype,1bucopt,lanb,1mxpand,1,1solvefinish/prep7upgeom,1,colu,rstfinish/soluantype,0nlgeom,1outres,all,lastnsubst,100*dim,hzxs,22hzx
9、s(1)=1.0000,1.0038,1.0153,1.0351,1.0636,1.1021hzxs(7)=1.1518,1.2147,1.2939,1.3932,1.5184,1.6779hzxs(13)=1.8848,2.1604,2.5424,2.7,2.9,3.1054hzxs(19)=3.4,3.8,4.0301,5.9504*do,i,1,22fk,3,fy,-pcr*hzxs(i)lswrite,i*enddolssolve,1,22/post26nsol,2,2,u,x,dduznsol,3,node1,u,yvput,hzxs,4prod,5,2,1/l0prod,6,3,1
10、/l0/color,wbak,15/color,axes,0/color,axnum,0/color,axlab,0/color,grid,0/color,curve,0/axlab,x,v/L/axlab,y,P/Pexvar,5plvar,4/axlab,x,lo/L/axlab,y,P/Pexvar,6plvar,4prvar,5,6得到荷载位移曲线如下图：图1 中点挠度荷载位移曲线图2 顶点纵向荷载位移曲线* ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 1.0000 0.226386E-01 -0.145777E-022.
11、0000 0.992758E-01 -0.252743E-013.0000 0.129184 -0.430294E-014.0000 0.170829 -0.765500E-015.0000 0.215201 -0.125130 6.0000 0.258224 -0.187829 7.0000 0.297343 -0.262681 8.0000 0.331314 -0.348097 9.0000 0.359374 -0.442780 10.000 0.380764 -0.544766 11.000 0.395008 -0.652394 12.000 0.401732 -0.763897 13.
12、000 0.400670 -0.877725 14.000 0.391592 -0.992535 15.000 0.374211 -1.10749 16.000 0.366708 -1.14479 17.000 0.357310 -1.18602 18.000 0.347975 -1.22261 19.000 0.335315 -1.26717 20.000 0.319611 -1.31651 * ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 21.000 0.311334 -1.34049 22.000 0.259042 -1.4
13、7148 注：变量5为 ，变量6为lv/l/表2 理论解和计算解之间比较端角 （度） p=sin(/2) K P/Pe 理论解v/l 理论解v/l 计算解误差（%）0 0 1.5708 1 0.0226 0 10010 0.0872 1.5738 1.0038 0.0993 0.0554 79.320 0.1736 1.5828 1.0153 0.1292 0.1097 17.830 0.2588 1.5981 1.0351 0.1708 0.162 5.540 0.342 1.62 1.0636 0.2152 0.2111 1.950 0.4226 1.649 1.1021 0.2586 0
14、.2563 0.960 0.5 1.6858 1.1518 0.2976 0.2966 0.370 0.5736 1.7312 1.2147 0.3315 0.3313 0.180 0.6428 1.7868 1.2939 0.3595 0.3597 -0.190 0.7071 1.8541 1.3932 0.3809 0.3814 -0.1100 0.766 1.9356 1.5184 0.3951 0.3958 -0.2110 0.8192 2.0347 1.6779 0.4017 0.4026 -0.2120 0.866 2.1565 1.8848 0.4006 0.4016 -0.21
15、30 0.9063 2.3088 2.1604 0.3915 0.3925 -0.3140 0.9397 2.5046 2.5424 0.374 0.3752 -0.3150 0.9659 2.7681 3.1054 0.348 0.3489 -0.3160 0.9848 3.1534 4.0301 0.3113 0.3123 -0.3170 0.9962 3.8317 5.9504 0.2591 0.26 -0.4分析结果：当 时， ,除 外没有其他解，即直线平衡是唯一的形式，也就是2/kEP0o此时直线平衡是稳定的平衡状态。当 时， ，此时柱子有两种平衡状态，即除不稳定的直线平衡形式外，/
16、E还存在稳定的弯曲平衡形式。此荷载位移曲线被称为后屈曲平衡路径或第二平衡路径，它与原始平衡路径的交点成为分支点。4 结束语（1）小挠度和大挠度弹性理论分析都指出，对于两端铰接的轴心受压构件，当作用于端部的荷载 小于欧拉荷载 时，构件处于直线的稳定平衡状态。当 等于 时将出现PE PE分岔点，小挠度理论只能指出构件处于平衡状态，可以给出分岔点水平线和构件初始屈曲后变形曲线的形状，但是不能确定挠度值；当 大于 以后小挠度理论只能说明直线状PE态是不稳定的，而大挠度理论不仅能说明构件屈曲以后仍处在稳定平衡状态，而且还能给出荷载与挠度的关系式，这是一一对应的确定的数值。（2）大挠度理论分析得到的屈曲后的荷载虽然略高于屈曲荷载，但是当 超过 的PE千分之一时，挠度将达到构件长度的3%，从而使构件的中央截面产生较大的弯曲应力。即使对于较细长的构件，这是也是早进入了弹塑性状态，因而在中点挠度荷载位移曲线中出现曲线的下降段，导致构件提前失稳。所以，轴心受压构件的屈曲后强度是不能被利用的。（3）也说明了按小挠度假定所作的线性理论分析所得结果是合理的，这样构件的屈曲荷载才是实际意义。参考文献1吕烈武,沈世钊,沈祖炎,等.钢结构稳定理论M.北京：科学技术出版社，1983 .2陈骥.钢结构稳定理论与设计M.北京：科学出版社，2008.3王新敏.ANSYS工程结构数值分析.北京：人民交通出版社，2007.
