1、全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全 的两个图形就是全等图形。2.全等图形的性质：全等多边形的 、 分别相等。3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“ ” ） 。（2）两
2、边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“ ”)。（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ ”)。（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“ ”)。2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“ ”)注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积
3、相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系） ；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题） 。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例
4、 1. 如图， 四点共线， ， ， ， 。求证：,AFEBACEBDFAEBCD。CD例 2. 如图，在 中， 是ABC 的平分线， ，垂足为 。求证：ABCEADBE。21例 3. 如图，在 中， ， 。 为 延长线上一点，点 在ABC90ABCFABE上， ，连接 和 。求证： 。BCEF,EFE例 4. 如图， / ， / ，求证： 。ABCDBACD例 5. 如图， 分别是 外角 和 的平分线，它们交于点 。求证：,APCABMCNAP为 的平分线。BPMN例 6. 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是DABCCDABADE的中线。求证： 。ABD2E例 7. 如图，在 中， ，
5、， 为 上任意一点。求证：ABCA12PAD。ABCP同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一 的是( )ABCA. ， ， B. ， ，3AB4843BC0AC. ， ， D. ，60C5 9063. 如图，已知 ， ，增加下列条件： ； ；12DEBCD； 。其中能使 的条件有( )DEEA. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个4. 如图， ， ， 交于 点，下列不正确的是( )12CD,ABEA. B. DAEBCDC. 不全等于 D. 是等腰
6、三角形AB5. 如图，已知 ， ， ，则 等于( )ABCDA23BDA. B. C. D. 无法确定6746 二、填空题：6. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，且ABC90ABCDAC， ，则点 到 的距离等于 _ ；:2:3CDA10cmDcm7. 如图，已知 ， ， 是 上的两点，且 ，若ABCB,EFBEF， ，则 _；10AEB308. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠， 为折痕，则 的大小为,BCDCB_；9. 如图，在等腰 中， ， ， 平分 交 于 ，RtABC90ACBDBACD于 ，若 ，则 的周长等于_；DE10DE10. 如图，点 在同一条直线上， / ， /
7、 ，且 ，若,DEFBABCDEFAC， ，则 _；10B2三、解答题：11. 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且 ， 与ABC,MN,BCAMCNA交于 点。求 的度数。BNQN12. 如图， ， ， 为 上一点， ， ，交90ACBBCDAECDBF延长线于 点。求证： 。DFE答案例 1. 思路分析：从结论 入手，全等条件只有 ；由 两边ACFBDEACBDEF同时减去 得到 ，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是EF，也可以是 。CD由条件 ， 可得 ，再加上 ，A90F，可以证明 ，从而得到 。B解答过程： ，CEBDF90F在 与 中RtAtEB (HL)tCtDA
8、F，即EBAFBE在 与 中ACD(SAS)FBE解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2. 思路分析：直接证明 比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，21C 证明 且 。也可以看成将 “转移 ”到 。212那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 延长交 于 ，则构造了FBD，ADBCF可以通过证明三角形全等来证
9、明2=DFB ，可以由三角形外角定理得 DFB=1+C。解答过程：延长 交 于ADBF在 与 中BF(ASA 90B2FB又 。1DC21C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段 为边的 绕点 顺时针旋转 到 的位置，而线段 正好是AEB90CBFCF的边，故只要证明它们全等即可。CBF解答过程： ， 为 延长线上一点90ABCFAB在 与 中EBF(SAS)AC。E解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角
10、形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例 4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接 AC/ ， /BDB，1234在 与 中43AC(ASA)BD。解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5. 思路分析：要证明“ 为 的平分线” ，可以利用点 到 的距离相BPMNP,BMN等来证明，故应过点 向 作垂线；另一方面，为了利用已知条件 “ 分别, ACP是 和 的平分线 ”，也需
11、要作出点 到两外角两边的距离。MACN解答过程：过 作 于 ， 于 ， 于PDBMPEACPFBN平分 ， 于 ， 于ACE平分 ， 于 ， 于NAFBF，PPD，且 于 ， 于BMDN为 的平分线。BN解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例 6. 思路分析：要证明“ ”，不妨构造出一条等于 的线段，然后证其等2ACE2AE于 。因此，延长 至 ，使 。ACF解答过程：延长 至点 ，使 ，连接EDF在 与 中BD(SAS)AEFBD，ADCB又 C，AF在 与 中DCF(SAS)A又 2E。C解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例 7. 思路分析：欲证 ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证ABCP明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 。而ABC构造 可以采用“截长 ”和“补短”两种方法。ABC解答过程：法一：在 上截取 ，连接NN在 与 中P12A(SAS)NCP在 中，BPBN，即 ABACPBPC。法二：延长 至 ，使 ，连接ACMABPM在 与 中BP12(SAS)APBM在 中， CPC。
