1、小学六年级奥数 第 - 1 - 页 共 17 页第八讲牛吃草问题牛 吃 草 问 题 概 念 及 公 式牛 吃 草 问 题 又 称 为 消 长 问 题 或 牛 顿 牧 场 ， 牛吃草问题的历史起源是 17 世 纪 英 国 伟 大 的 科 学 家牛 顿 16421727)提 出 来 的 。 典 型 牛 吃 草 问 题 的 条 件 是 假 设 草 的 生 长 速 度 固 定 不 变 ， 不 同 头 数 的牛 吃 光 同 一 片 草 地 所 需 的 天 数 各 不 相 同 ， 求 若 干 头 牛 吃 这 片 草 地 可 以 吃 多 少 天 。 由 于 吃 的 天 数不 同 ， 草 又 是 天 天 在
2、生 长 的 ， 所 以 草 的 存 量 随 牛 吃 的 天 数 不 断 地 变 化 。 解 决 牛 吃 草 问 题 常 用 到四 个 基 本 公 式 ， 分 别 是 五大基本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的生长速度草量差时间差；3）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；4）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度） ；5)牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为“1“，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型
3、之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点求天数 例 1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。问：这片牧草可供 25 头牛吃多少天？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5 份1020=200 份=原草量+20 天的生长量 原草量：200-205=100 份 或1510=150 份=原草量+10 天的生长量 原草量：150-105=100 份 100（25-5）=5 天答：这片牧草可供 25
4、头牛吃 5 天？ 小学六年级奥数 第 - 2 - 页 共 17 页练习 1（求时间）11.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天，供 15 头牛吃 20 天。可供25 头牛吃天。 （ ）A. 10 B. 5 C. 20答案：A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份。每天新生的草量为：(1040-1520)（40-20）=5（份） 。那么愿草量为：1040-405=200（份） ，安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供 25 头牛吃：200（25-5）=10（天） 。2 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽
5、，同样一片牧场，23 头牛 9 天把草吃尽。如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？3有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天，或 6 供头牛吃 30 天。如果 4 头牛吃了 30 天后，又增加 2 头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？4牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10天，如果要供 18 头牛吃，可吃几天？5由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供 30 头牛吃 8 天，可供 25 头牛吃 9 天，那么可供 21 头牛吃几天？ 6 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不
6、仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供 25头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天，那么可供 10 头牛吃多少天？7一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天，那么可供 18 头牛吃几天？8有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天；15 头牛吃 10 天；则它可供 25 头牛吃多少天 ？9牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。可供 25 头牛吃几天？10.有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？ A.3 B.4
7、C.5 D.6 【牛老师答案】C 【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃 Y 天 根据核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5( 天） 【牛老师例 5】A.16 B.20 C.24 D.28 【牛老师答案】C 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果有 33 只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周 【牛老师答案】C 一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供
8、20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃多少天？小学六年级奥数 第 - 3 - 页 共 17 页8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16 头牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？8 天 （1）按牛的吃草量来计算，80 只羊相当于 804=20（头）牛。（2）设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-2012）（20-12）=10（份）（4）
9、再求出草地上原有的草量：1620-1020120（份）（5）最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（10+604-10）=8（天）1、牧场上有一片牧草，可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长，可供 21 头牛吃几周？求牛的数量例 2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量：（100-90）（6-5）=10 份205=100 份原草量-5
10、天的减少量 原草量：100+510=150 或156=90 份原草量-6 天的减少量 原草量：90+610=150 份（150-1010）10=5 头 答：可供 5 头牛吃 10 天？总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。练习 2（求牛数）1) 有一片草地，可供 8 只羊吃 20 天，或供 14 只羊吃 10 天假设草的每天生长速度不变现有羊若干只，吃了 4 天后又增加了 6 只，这样又吃了 2 天便将草吃完，问有羊多少只？2) 有一牧场长满草
11、，每天牧草匀速生长。12 头牛 4 周吃完 6 公顷的牧草，20 头牛 6 周吃完 12 公顷的牧草假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变问多少头牛 8 周吃完 16 公顷的牧草？3) 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天。现有牛若干头在吃草，6 天后，杀了 4 头牛，余下的牛吃了 2 天将草吃完。问原来有牛多少头？小学六年级奥数 第 - 4 - 页 共 17 页4) 有 3 个牧场长满草，第一牧场 33 公亩，可供牛 22 头吃 54 天；第二牧场 28 公亩，可供 17 头牛吃 84 天，第三牧场 40 公亩，可供多少头牛吃
12、 24 天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）5) 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛吃了 2 天将草吃完，问原来有牛多少头？6) 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天，那么它可供几头牛吃 20 天？7) 一片匀速生长的草地，可以供 18 投牛吃 40 天，或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，如果 1 头牛每天的吃草两相当于 3 只羊每天的吃草量。请问：这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃，刚好 16 天吃完？
13、8) 有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水 吊水，如果每分吊 4 桶，则15 分钟能吊干，如果每分钟吊 8 桶，则 7 分吊干。现在需要 5 分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？9) 有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派 19 人去割草，则24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？10) 有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，4 天可喝完；如果由 4 人喝，5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？11) 一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水
14、机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？12) 有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天；15 头牛吃 10 天；则它可供多少头牛吃 4 天 ？22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天可以吃尽； 17 头牛吃 28 公亩牧场的草，84 天可以吃尽； 多少头牛吃40 公亩牧场的草，24 天可以吃尽？ 有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【牛老师答案】C 【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天， 根据核心公式代入 (
15、2010-1510)=5 1020-520=100 1004+5=30(头）如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天后可以吃尽，17 头牛吃 28 公亩牧场的草，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【牛老师答案】D 小学六年级奥数 第 - 5 - 页 共 17 页【牛老师解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 X 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧草量为 Y ， 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 Z 头牛 根据核心公式： ，代入 ，因此 ，选择 D 【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每
16、天长出的草量不再是常量。 下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。 、一块草地上的草以均匀的速度生长，如果 20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14 只羊则要 10 天吃光。那么想用 4 天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 （ ）A. 22 B. 23 C. 24假设 1 只羊 1 天吃草的量为 1 份。每天新生草量是：（1410-205）（10-5）=8（份）原草量是：205-8560（份）安排 8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：604+823（只）练习：因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。
17、已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，可供 24 头牛吃 6 天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天?13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供 9 头牛吃 12 天，可供 8 头牛吃 16 天，现在开始只有 4 头牛吃，从第 7 天开始，又增加了若干头牛，再用 6 天吃光所有的草，问增加了几头牛？有一片匀速生长的牧草，可供 17 头牛吃 30 天，或可供 19 头牛吃 24 天。原来有若干头牛在草地上吃草，吃 6 天后卖了 4 头，余下的牛再吃 2 天便将草吃完，问原来有牛多少头？3、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派 19 人去割
18、草，则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？牛的数量变化例 3：一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天，现有一群牛吃了 4 天后卖掉 2 头，余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多少头？解：设每头牛每天的吃草量为 1 份。每天新生的草量为：（239-276）（20-10 ）=15 份，原有的草量为（27-15）6=72 份。如两头牛不卖掉，这群牛在 4+4=8 天内吃草量72+158+24=200 份。所以这群牛原来有 2008=25 头小学六年级奥数 第 - 6 - 页 共 17 页草地大小变化例 4：有
19、三块草地，面积分别是 5，15，24 亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供多少头牛吃 80 天？ 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。 因为第一块草地 5 亩面积原有草量5 亩面积 30 天长的草1030300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300560 份 因为第二块草地 15 亩面积原有草量15 亩面积 45 天长的草28451260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 12601584 份 所以 453015
20、天，每亩面积长 846024 份 所以，每亩面积每天长 24151.6 份 所以，每亩原有草量 60301.612 份 第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.62438.4 份，原有草就有 2412288 份 新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此288803.6 头牛 所以，一共需要 38.43.642 头牛来吃。 解法一： 设每头牛每天的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10*30/5=60；每亩 45 天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草
21、量为 60-1.6*30=12，那么 24 亩原有草量为 12*24=288， 24 亩 80 天新长草量为 24*1.6*80=3072，24 亩 80 天共有草量 3072+288=3360，所以 3360/80=42(头) 解法二：根据 10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头牛 45 天吃 15 亩，可以推出 15 亩每天新长草量 (2845-3030)/(45-30)=24；15 亩原有草量：2845-2445=180；15 亩 80 天所需牛 180/80+24(头)小学六年级奥数 第 - 7 - 页 共 17 页24 亩需牛：(180
22、/80+24)*(24/15)=42 头练习：有三块草地，面积分别为 5 公顷，6 公顷和 8 公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。第三块草地可供 19 头牛吃多少天？有三片草地，面积分别为 4 公顷，8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一片草地上的草可供 24 头牛吃 6周，第二片草地上的草可供 36 头牛吃 12 周问：第三片草地上的草可供 50 头牛吃几天？ 求最大量例 5：经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或 可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成
23、的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。 70 解：设 1 亿人 1 年所消耗的资源为 1 份那么地球上每年新生成的资源量为：（80300-100100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：701=70（亿人）练习 3（求最多）1) 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等） ，如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？
24、假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年，或可供90 亿人生活 210 年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？有一片牧场，24 头牛 6 天可以将草吃完，或 21 头牛 8 天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？新型牛吃草检票口吃人小学六年级奥数 第 - 8 - 页 共 17 页例 1：旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放 2 个检票口时,只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了 求增加人数的速度还有原来的人数 解：设一个检票口
25、一分钟一个人 1 个检票口 30 分钟 30 个人 2 个检票口 10 分钟 20 个人 (30-20)(30-10)=0.5 个人 原有 130-300.5=15 人 或 210-100.5=15 人 练习：一游乐场在开门前有 100 人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入 10名游客，如果开放 2 个入口处 20 分钟就没人排队，现开放 4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，问如果当时
26、开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？ DA.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6 小时 D.0.8 小时 画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是 8 点分。 （ ）A. 10 B. 12 C. 15C 假设每个人口每分钟进入的观众量是 1 份。每分钟来的观众人数为（39-55）（9-5）=0.5（份）到 9 时止，已来的观众人数为：39-0.5922.5（份）第一个观众来到时比 9 时提前了：22.50.545（分）所以第一个观众到达的时间是 9
27、时-45 分=8 时 15 分。禁毒图片展 8 点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，8 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，8 点 5 分就没有人排队。第一个观众到达时距离 8 点还有多少分钟？画展 9 点开门，但早就有人排队入场。以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，则 9 分钟后就不再有人排队；如果开 5 个入场口，则 5 分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？小学六年级奥数 第 - 9 - 页 共 17 页电梯吃人例 1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两
28、位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 解析：男孩：205 =100（级） 自动扶梯的级数-5 分钟减少的级数女孩;156=90（级） 自动扶梯的级数-6 分钟减少的级数每分钟减少的级数= (205-156) (6-5)=10(级)自动扶梯的级数= 205+510=150（级）例 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级阶梯，女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？310
29、0=300 自动扶梯级数+100 秒新增的级数2300=600 自动扶梯级数+300 秒新增的级数每秒新增的级数：（2300-3100）（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数= 3100-1001.5=150（级）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走 25 级台阶，小丽每分钟走20 级台阶，结果小明用了 5 分钟，小丽用了 6 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走 1 级台阶，女孩每 3 秒向上走 2 级台阶，结果男孩用 50 秒到达搂上，女孩用了
30、60 秒到达搂上。问商场的自动滚梯共有多少级？ 水管抽水例 1、水库原有存水量一定，河水每天入库。5 台抽水机连续 20 天抽干，6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干，若要 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？分析：5 台 20 天 原有水+20 天入库量6 台 15 天 原有水+15 天入库量？台 6 天 -原有水+6 天入库量小学六年级奥数 第 - 10 - 页 共 17 页解答：设 1 台 1 天抽水量为“1“，第一次总量为 520=100，第二次总量为 615=90每天入库量(100-90)(20-15)=220 天入库 220=40，原有水 100-40=606 天的总水量 60+2
31、6=72726=12（台）练习：一个水池，池底有水流均匀涌出若将满池水抽干，用 10 台水泵需 2 小时，用 5 台同样的水泵需 7 小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？设每台水泵每小时抽水量为一份（1）水流每小时的流入量：（57-102）（7-2）=3（份）（2）水池原有水量：57-37=14（份）或 102-32=14（份）（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：（14+30.5）0.5=31（台）练习：有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用 3 架抽水机来抽水，36 分钟可以抽完，如果使用 5 架抽水机来抽水，20 分钟可抽完。现在 12 分钟内要
32、抽完井水，需要抽水机多少架？有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用 2 台抽水机排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用 16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？ 【牛老师答案】BA.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在要想在 2 小时舀完，需要多少人？例：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用 10 台抽水机需抽 8 小时；如用 8 台
33、抽水机需抽 12 小时。那么，如果用 6 台抽水机，需抽多少小时？解答：设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（2010-1510）(20-10)=5 份，池内原有的水是：（10-5）20=100 份.所以,用 25 部抽水机需要:100(25-5)=5 小时练习：一个水池，池底有泉水不断涌出，用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 10 小时可把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8 小时，8 台抽水机需抽 12 小时，如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？
