1、0一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两
2、个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点 4：三角形的外接圆：1锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。考点 5点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外 dr；点在圆上 d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例 1 在 ABC 中， ACB=90,AC=2,BC=4， CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，以为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与 C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。5例 2已知，如图，CD 是直
3、径， ，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度84EOD数。例 3 O 平面内一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5 如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm, ，30CEA求 CD 的长A BDCOEMAB CD OEBAC2ACBD例 6.已知：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为 ，求 的度数3,2BAC例 7.如图，已知在 中， ，AB=3cm，AC=4cm，以点 A
4、 为圆心，AC 长为ABC90半径画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB16cm，拱高 CD4cm，那么拱形的半径是m。.思考题如图所示,已知O 的半径为 10cm，P 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值.二垂径定理及其推论【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤CBDAA BDCEPFO3弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所
5、对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 CNMA求证：AB=CD例 2 已知，不过圆心的直线 交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AE 于 E，BFl l于 F。求证：CE=DFl l问 题 一 图 1 OH FE DCBA l问 题 一 图 2 OH FE DCBAl问 题 一 图 3 OH
6、 FE DC BA例 3 如图所示， O 的直径 AB15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合） ，且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 AB 于F。AB DCONM4（1）求证：AEBF（2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例 4 如图，在O 内，弦 CD 与直径 AB 交成 角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P，且045O 半径为 1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理2PDC由.例 5.如图所示，在O 中
7、，弦 ABAC，弦 BDBA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证：ME=NF.OABC DEFmOAB DCEFMNA BCDPO。.5例 6.（思考题）如图， 与 交于点 A，B，过 A 的直线分别交 ， 于1o2 1o2M,N，C 为 MN 的中点，P 为 的中点，求证：PA=PC.O三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由1OAB2M NCP6
8、考点 2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。13.如图，已知 A、B、C、D 是O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点 E，连接CD、AD （1）求证：DB 平分ADC； （2）若 BE3，ED 6，求 AB 的长 14.如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接AC、OC、BC（1）求证： ACO= BCD （2）若 EB=8cm，CD= 24c，求O 的直径EDBAOC715.如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接
9、DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。16.已知：如图等边 内接于 O，点 是劣弧 上的一点（端点除外） ，延长ABC PBC至 ，使 ，连结 BPDPD（1）若 过圆心 ，如图，请你判断 是什么三角形？并说明理由（2）若 不过圆心 ，如图， 又是什么三角形？为什么？四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等AC BDEAOCDPB图AOCDPB图8推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都
10、分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点 O 是EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D，求证：AB=CD 例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。ABEFOOPOCO1O2ODO9例 3如图所示，在 中， A= ，O 截 的三条边长所得的三条弦等长，ABC72ABC求BOC.例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE求证：AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB，ABC= ，ODAB 于 D，OEBC 于 E120求证： 是等边三角形ODE例 6.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点D、E。OAB COCAEBDOA D EBC
