1、九年级 第 8 讲 专题精讲 1专题八 折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形 ABCD 中，将ABF 沿 BE 折叠至FBE,可得何结论？（1）基本图形练习：如图，将
2、三角形纸片 ABC 沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 上，折痕为 AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和 D 点重合，折痕为 EF,展开纸片后得到AEF,则AEF 是等腰三角形，对吗？（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使得 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（图 1）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 边上的点 D，折痕为 EG（图 2）,再展开纸片，求图（3）中角 a 的大小。第结论：（1）全等；（ 2）垂直。九年级 第 8 讲 专题精讲 2（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为 6cm 的正方形 ABCD 折
3、叠，使点 D 落在 AB 边中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则EBG 的周长是多少？模块精讲例 1.（2014 扬州）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证： OCPPDA；若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；（2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求 OAB 的度数；（3 ）如图 2， ，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、
4、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。九年级 第 8 讲 专题精讲 3例 2.（2013 苏州）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 折叠后得到AFE，且点 F 在矩形 ABCD 内部将 AF 延长交边 BC 于点 G若 = ，则 = 用含 k 的
5、代数式表示）例 3、（2013苏州）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G 分别从 A、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF 关于直线EF 的对称图形是EBF设点 E、F、G 运动的时间为 t（单位：s）（1）当 t= s 时，四边形 EBFB为正方形；（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似
6、，求 t 的值；（3）是否存在实数 t，使得点 B与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由九年级 第 8 讲 专题精讲 4例 4、如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC 的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长例 5、已知 ADBC ，AB AD，点 E，点 F 分别在射线
7、 AD，射线 BC 上若点 E 与点 B 关于 AC 对称，点 E 与点F 关于 BD 对称， AC 与 BD 相交于点 G，则（ ）A1+tanADB= 2 B2BC=5CFCAEB+22=DEF D4cosAGB= 6九年级 第 8 讲 专题精讲 5课堂练习1、2、（2014 连云港）如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N，则 tanANE= _ 图 3 图 43、（2014 徐州）如图 3，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC ，
8、A=50，折叠该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则CBE= _ 4、（2014 扬州）如图 4，ABC 的中位线 DE=5cm，把 ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 F 处，若A、F 两点间的距离是 8cm，则 ABC 的面积为 _ cm 25、（2013 扬州）如图 1，在梯形 ABCD 中，AB CD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于 E设 BP=x，CE=y（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E
9、总在线段 CD 上，求 m 的取值范围；（3）如图 2，若 m=4，将PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置， BAG=90，求 BP 长九年级 第 8 讲 专题精讲 6课后巩固习题 1、（2014 淮安）如图，在三角形纸片 ABC 中，AD 平分 BAC，将ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，展开后折痕分别交 AB、AC 于点 E、F ，连接 DE、DF求证：四边形 AEDF 是菱形2、（2013 宿迁）如图，在梯形 ABCD 中，AB DC，B=90，且 AB=10，BC=6，CD=2点 E 从点 B 出发沿 BC 方向运动，过点 E 作 EFAD 交边 AB 于点 F将 BEF 沿
10、EF 所在的直线折叠得到GEF，直线 FG、EG 分别交 AD 于点 M、N，当 EG 过点 D 时，点 E 即停止运动设 BE=x，GEF 与梯形 ABCD 的重叠部分的面积为 y（1）证明AMF 是等腰三角形；（2）当 EG 过点 D 时（如图（3），求 x 的值；（3）将 y 表示成 x 的函数，并求 y 的最大值九年级 第 8 讲 专题精讲 73、如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,把BCD 沿着对角线 BD 折叠,使点 C 落在 C处,BC 交 AD 于点 G,E,F,分别是 CD和 BD 上的点,线段 EF 交 AD 于点 H,把FDE 沿着 EF 折叠,使点 D 落在 D处,点 D恰好与点 A 重合.（1）求证:三角形 ABGCDG（2）求 tanABG 的值； （3）求 EF 的长。3、
