1、宁波市 2017 学年第二学期九校联考高二数学试题 一、 选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1.已知集合 = | 1| 2A x x， 1, 0,1, 2,3B ， 则集合 AB （ ） A 1,0,1,2 B 1,0,1,2,3 C 0,1,2 D 1,2,3 2.下列函数中，在定义域上为增函数的是（ ） A 1y x B lnyx C 3xy D |yx 3.已知函数 ()f x x ，则下列选项错误的是（ ） A ( 1) ( ) 1f x f x B (3 ) 3 ( )f x f x C ( ( )f f x x D 11()()f x f x4.函数 3( ) ln 1f x
2、 x x的零点所在的大致区间是 （ ） A (1,2) B (2,3) C.(3,4) D (4,5) 5.小明、小红、小泽、小丹去电影院看红海行动，四人座位是同一排且相邻的，若小明、小红不坐一起，则不同的坐法种数为（ ） A 24 B 10 C.8 D 12 6.已知函数 ()fx， ()gx分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 ， 且 ( ) ( ) 2xf x g x， 则 (2) (2)fg（ ） A 14 B 4 C.0 D 12 7.已知 a ， b ， 0c 且132 loga a，131( ) log2 b b，31( ) log2 c c， 则 （ ） A abc B b c
3、 a C. c b a D a c b 8.已知 ()fx是函数 ()fx的导函数 ， 且函数 (2 ) ( )y x f x 的图像如图所示 ， 则 ()fx的图像可能是 （ ） A B C. D 9.已知方程 112 2 ( | 1 | 2 ) 0xx tx 有 三个解 ， 则 t （ ） A 12 B 1 C. 56 D 1 10.已知直线 y kx b的图像恒在曲线 ln( 3)yx的图像上方 ， 则 bk 的取值范围是 （ ） A (1, ) B (2, ) C.(0, ) D 1, ) 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11.已
4、知复数 2(3 )zi ， 其中 i 为虚数单位 ， 则 |z ；若 ()z a i是纯虚数 （其中 aR ），则 a 12.若 3 24a ， 2log 3 1b ， 则 23ab ； 1ab 13.在 62()2x的展开式中 ， 常数项为 ；二项式系数最大的项为 14.已知函数 2 3 , 0()( 2) , 0xxfx f x x ， 则 (2018)f ；不等式 ( ( ) 1f f x 的解集为 15.甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共 6 门科目考试 .按照规定，甲、乙、丙
5、3 位老师每人监考 2 门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有 种 16.已知函数 ( ) ln ( )( 0 )f x ax x a ， 若对任意的 1x ，2 13 , 22x ， 都有12 1211| ( ) ( ) | 2 | |f x f x xx ，则 a 的最大值为 17.已知函数 2211( ) 2 | | 3f x x b x cxx 有零点 ， 则 22bc 的取值范围是 三、解答题： 共 74 分 18. （ 1）解不等式 2*2 4 1 2 0 ( )nA n n N （ 2）已知 (3 5)nx 20 1 2( 2 ) ( 2 )a a x a x ( 2
6、)nnax 且 2 135a ， 求 312233 3 3 3 nnaaaa 19. 已知数列 na 的通项公式228( 2 1) ( 2 1)n na nn ， 其前 n 项和为 nS （ 1）求 1S ， 2S ， 3S ， 半猜想 nS 的表达式 ； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 . 20.已知函数 3( ) (si n 1) xf x x e （ 1）求曲线 ()y f x 在 (0, (0)Pf 处的切线方程 ； （ 2）求函数 ()fx在区间 0, 上的取值范围 21. 已知函数 ( ) | 2 |f x x x a bx， aR （ 1）判断函数 ()fx的奇偶性 ； （ 2
7、）若 2b 且 0a ， 求函数 ()fx在区间 0,4 上的最大值 ()Ma 22. 已知函数 (1 )( ) ln ( 1) 1axf x x x （ 1）（）讨论函数 ()fx的极值点个数 ； （）若 0x 是函数 ()fx的极值点 ， 求证 ： 0 100() xf x e x （ 2）若 1x ， 2x 是 ()fx的两个零点 ， 证明 ： 1224x x a 宁波市 2017 学年期末九校联考 高二数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D A C B D B 二、填空题
8、：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分 . 11. 10 ；4312. 6 ； 3 13. 240 ； xx160 14. 1； Z),2,12( kkk 15. 30 16. 9217. ),254 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.解： （ ） 由题意可得,01243)2 ) (,N,22*nnnnn 3 分 所以,0189,N,42*nnnn ，即,0)6)(3(,N,4*nnnn 解得 4n 或 5n 或 6n ， 5 分 所以原不等式的解集为 6,5,4 . 6 分 （ ） nnnn x
9、axaxaaxx )2()2()2()2(31)53( 2210 ， 所以 1 3 52 )1(93 222 nnCa n，解得 6n . 9 分 法一：令 37x ，则66221066 3332)5373( aaaa 11 分 又 100 nCa ，所以 6323330666221 aaaa . 14 分 法二：因为 )6,5,4,3,2,1,0(36 rCa rrr ，所以 rrr Ca 63 ， 11 分 则 261666221 333 CCaaa 6312 666 C. 14 分 19.解： （ ）9831 18 221 S，252453 2898 222 S， 494875 3825
10、2475 38 222223 SS， 3 分 由此猜想 2 *22 1 1 N21n nSnn （ ） 当 1n 时， 21 22 1 18= =9 21S ，等式成立 ， 7 分 假设当 kn= 时，等式成立，即 222 1 121k kS k ， 8 分 则当 1+=kn 时， 2 2+1 8 ( 1 )21 ( 2 3 )kk kSS k k 22 222 1 1 8 ( 1 )+2 1 1 ( 2 3 )2k k kkk 2 2 2 222222 2 1 1 8 ( 1 ) 2 1 8 ( 1 )=2 1 2( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 )( 2 3 ) ( 2 31 )
11、k k kkk kkkk k k 22222( 2 3 )21= ( 2 1 )(1 2 3 )2kkkkk22=( 2 3 ) 1 2 ( 1 ) 1 ) 1( 2 3 ) 2 ( 1 ) 1 kk 所以当 1+=kn 时，等式也成立， 综上，对任意的 *Nn ， 222 1 121nnSn. 15 分 20.解： （ ） xxx xxxxxf 333 e)3s i n3( c o s)1(sine3ecos)( 3 分 则 曲线 )(xfy 在 )0(,0( fP 处的切线斜率为 31)0( f ， 4 分 又 1)0( f , 5 分 则切线方程为 )0)(31()1( xy ， 即 1
12、)31( xy . 7 分 （ ） 由 （ ） 得 xx xxxxf 33 e3)6s i n (2e)3s i n3( c o s)( , 8 分 令 0)( =xf ，得 6=x 或 2=x ，则当 60 xf ， 所以 )(xf 在 60， 和 2 ， 单调递减，在 )26( ， 上单调递增， 12 分 又 1)0( f ，63e21)6( f， 0)2( =f ， 3e)( f ， 则 3min e)( xf ， 0)(max =xf ， 14 分 所以函数 )(xf 在区间 ,0 上的取值范围是 0e 3， . 15 分 21. 解： （ ） 当 0=a 时， |f x x x bx
13、 因为 )(|)( xfbxxxxf ，所以 函数 )(xf 为奇函数 . 3 分 当 0a 时，非奇非偶； 5 分 （ ） axxax axxaxxf 2,)22( 2,)22()(22 1 当 01a时， 有 1 2 1a a a ， y f x 在 0,4 上单调递增， 4 2 4 8M a f a ； 7 分 2 当 12a时， 0 1 1 2 4a a a ， y f x 在 0, 1a 上单调递增，在 1,2aa 上单调递减，在 2,4a 上单调递增， 所以 1 , 4m a xM a f fa ， 2(81 , 2 441)f a fa a ， 而 2 224 81 4 1 10
14、 23f f a a aaa ， 当 1 4 3 5a 时， 4 2 4 8M a f a ； 当 4 3 5 2a 时， 21 ( 1)M a f a a ； 10 分 3 当 23a时， 1 1 4 2a a a ， 所以 y f x 在 0, 1a 上单调递增，在 1,4a 上单调递减， 此时 211M a f a a ； 12 分 4 当 3a 时， 14a ， 所以 y f x 在 0,4 上单调递增， 此时 84 8M a f a ； 14 分 综上所述， 当 0,2x 时，3,883534,)1(5340,824)( 2aaaaaaaM 15 分 22.解： （ ） ()fx的定
15、义域为 ( 1, ) （ ）22 )1( 2)1( 111)( x axxaxxf ， 1 分 当 1a 时， 012 xax ， 所以 )(xf 在 )1( ， 上单调递增，此时无极值点； 2 分 当 1a 时， )21( ax ， 时， 0)( ，令 1( ) e ln( 1)xh x x-= - +， 6 分 1 1( ) e 1xhx x-=-+， 1 1( ) e 1xgx x-=-+， 1 21( ) e 0( 1)xgx x-= + ?+，所以 )()( xgxh = 在 )1( ， 上为增函数， 因为 11(0) (1) ( 1) 0e2gg? - 时，所以 01=x ，要证
16、4221 axx ，即证 02 2xx ， 因为 )(xf 在 ( )0,x +? 上单调递增，故只需证 )2()( 02 xfxf ，即证 0)2( 0 ， 因为 )(xf 在 0x（ -1,） 上单调递减，故只需证 10( ) (2 )f x f x ， 因 为000002 ( 1 )( 2 ) ln ( 2 1 ) 21xxf x x x += + - +，令 02 1 ( 1,1)ux= + ? ， 1( ) ln 22uh u u u= - +， 222 2 21 1 1 2 1 ( 1 )( ) 02 2 2 2u u uhu u u u u- + -= - - = - = - =， 从而 0(2 ) 0fx ，即 4221 axx . 15 分
