1、第3讲空间向量与立体几何,要点知识整合,热点突破探究,如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM平面BCE.,【解】ABE是等腰直角三角形，ABAE，AEAB，平面ABEF平面ABCDAB，AE平面ABCD，AEAD，即AD、AB、AE两两垂直，如图建立空间直角坐标系,PMEF，又EF平面BCE，直线PM平面BCE，故PM平面BCE.,【题后拓展】空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利
2、用空间向量来论证即证直线的方向向量和平面法向量间的关系,解：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系,如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1EDF交A1D1于点F.(1)指出F在A1D1上的位置，并说明理由；(2)求直线A1C与DE所成角的余弦值；(3)求直线AD与平面B1EDF所成角的正弦值,【题后拓展】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系(2)求出相关点的坐标(3)写出向量坐标(4)结合公式进行论证、
3、计算(5)转化为几何结论,2如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到几何体DABCE.(1)求证：BE平面ADE；(2)求BD与平面CDE所成角的正弦值,【题后点评】借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法求解过程中应注意：两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求如下图所示，二面角l的大小是n，m的补角,如下图所示，二面角l的大小才是n，m的大小,3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)若二面角B1
4、DCC1的大小为60，求AD的长,解：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1),(本题满分12分)(2010年高考湖南卷)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论,【思维拓展】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断在解题过程中，往往把“是否存在”问
5、题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题,解：(1)证明：连结AC1，C1B，侧棱AA1底面ABC，AA1AB，又ABAC，ACAA1A，AB平面A1ACC1.又CA1平面A1ACC1，ABCA1.ACAA1，四边形A1ACC1为正方形，AC1CA1.AC1ABA，CA1平面AC1B，又C1P平面AC1B，CA1C1P.,(2)C1A1AA1，C1A1A1B1，AA1A1B1A1，C1A1平面ABB1A1，又VABCA1B1C1AB111，AB2.如图，以A1为原点，建立空间直角坐标系A1xyz，,如图，在棱长为1的正方体ABCD
6、A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点(1)确定F点的位置，使得D1E平面AB1F；(2)当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的余弦值,【方法总结】用向量法来解决立体几何问题时，首先需要观察几何体，通过空间图形来建立适当的空间直角坐标系，在将几何问题转化成向量问题时，需要通过图形来写出相应点的坐标，然后运用向量的坐标运算进行求解,高考动态聚焦,从近几年高考来看，本讲内容高考命题具有以下特点：1空间向量的有关运算是利用空间向量解决空间几何问题的基础，在高考中常以选择或填空的形式单独出现，难度偏低，属容易题,2空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何
7、中的位置关系，空间角问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，分步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角，难度适中，为中档题,1(2010年高考大纲全国卷)与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个,解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，设空间任一点M(x，y，z)，则M到AB、CC1、A1D1的距离为如图中所示ME、MG、MF的长度设正方体棱长为1，则|ME|2(1x)2z2，|MG|2(1y)2x2，|MF|2(1z)2y2.,由|ME|2|MG|2|MF|2，得(1x)2z2(1y)2x2(1z)2y2，化简可得xyz.则M点有无数个，且都在正方体ABCDA1B1C1D1体对角线B1D所在的直线上,2.(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值,解：(1)证明：设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，,
