1、概率论与数理统计习题及答案习题四1.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故 3.设随机变量X的分布律为X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由联立解得4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A=从
2、袋中任取1球为白球，则 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）= fY（y
3、）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 从而(1)(2)11.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X
4、表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元 故 (元).14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i
5、=1，2，n，记，S2=.（1） 验证=， =；（2） 验证S2=；（3） 验证E（S2）=2.【证】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.从而 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时， 当|y|1时，.显然故X
6、和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表18X -101 PY -101 PXY -101 P由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0
7、）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图从而同理而 所以.从而 19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数XY.【解】 从而同理 又 故 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而 故 21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.【证】令显然
8、 可见此关于t的二次式非负，故其判别式0，即 故22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）. 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(),E(X)=5.依题意Y=min(X,2).对于y0,f(y)=PYy=0.对于y2,F(y)=P(Xy)=1.对于0y2,当x0时，在(0,x)内无故障的概率分布为PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知
9、甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为, Z=k0123Pk因此，(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=问：平均直径取何值时，销售
10、一个零件的平均利润最大？ 【解】 故得 两边取对数有解得 (毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）【解】令 则.因为及,所以,从而26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t0时
11、，fT(t)=0;当t0时，利用卷积公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差. 【解】设Z=X -Y，由于且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1=P=0,PX=1,Y= -1=PU -1,U1.故得X与Y的联合概率分布为.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为, .从而 所以31.设随机
12、变量X的概率密度为f(x)=，（ -x+）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？（3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1) (2) 所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -x+中的子区间（0,+）上给出任意点x0，则有所以故由得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY= -1/2，设Z=.（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X与Z的相关系数XZ；（3） 问X与Z是否
13、相互独立，为什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数. 【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,从而有 所以 故= -1.34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求X和Y的相关系数. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YX -101P0.080.720.2所以E（XY）=
14、 -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0从而 =035.对于任意两事件A和B，0P(A)1，0P(B)1,则称=为事件A和B的相关系数.试证：（1） 事件A和B独立的充分必要条件是=0；（2） |1. 【证】（1）由的定义知，=0当且仅当P(AB) -P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即=0是A和B独立的充分必要条件.(2) 引入随机变量X与Y为 由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36. 设随机变量X的概率密度为fX(x)=令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函数为.当y0时， ，；当0y1时，；当1y4时， ；当y4时，.故Y的概率密度为(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .
