1、概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 （1） （2）（3）（4）3概率满足的三条公理及性质：（1） （2）（3）对互不相容的事件，有 （可以取）（4） （5） （6），若，则，（7）（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若，则（2） 乘法公式：若为完备事件组，则有（3） 全概率公式： （4） Bayes公式： 7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1 （3）对任意，2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；（2）；（3）对任意，3 几个
2、常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布，二项式分布，Poisson分布几何分布均匀分布，指数分布正态分布4 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量，； （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则6 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章 随机向量1 二维离散随机向量，联
3、合分布列，边缘分布列，有（1）；（2）；（3），2 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）；（3）； （4），3 二维均匀分布，其中为的面积4 二维正态分布，其密度函数（牢记五个参数的含义）且； 5 二维随机向量的分布函数 有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），； （5）； （6）对二维连续随机向量，6随机变量的独立性 独立（1） 离散时 独立（2） 连续时 独立（3） 二维正态分布独立，且7随机变量的函数分布（1） 和的分布 的密度（2） 最大最小分布第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；(2) 连续时，；(3) 二维时，(4)；（5）；（
4、6）；（7）独立时，2方差（1）方差，标准差；（2）；（3）；（4）独立时，3协方差（1）；（2）；（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4相关系数 ；有，5 阶原点矩， 阶中心矩第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev不等式 或2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，则， 或 或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，则对任意，有或理解为若，则第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2） 样本数字特征： 样本均值（，）； 样本方差（）样本标准差 样本阶原点矩，样本阶中心
5、矩2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分布 ，其中且独立，有下面的性质 4正态总体的抽样分布（1）； （2）；（3）且与独立； （4）；（5），（6）第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）3估计量的
6、评选原则(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间已知未知未知概率论与数理统计期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为_.2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.5 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_. 解：1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ，故 . 3设的分布函数为的分
7、布函数为，密度为则 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以 4，故 . 5似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则与也独立. （C）若，则与也独立. （D）若，则与也独立. （ ）2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）3设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B）. （C）. （D）. （ ）4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）.
8、（ ）5设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 解：1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SABC 事实上由图 可见A与C不独立. 2所以 应选（A）. 3由不相关的等价条件知应选（B）. 4若独立则有YX ， 故应选（A）. 5，所以是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）
9、一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设任取一产品，经检验认为是合格品 任取一产品确是合格品 则（1） （2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为 .五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解： （1）的概率密度为 （2）利用公式 其中 当 或
10、时xzz=x 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy012 解： （1） ； （2） . 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为
11、，所以接受.概率论与数理统计期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，则事件、中仅发生或仅不发生的概率为_.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则_.（4） 设二维离散型随机变量的分布列为 若，则_.（5） 设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ） 解：（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2
12、）设四个球是同一颜色的， 四个球都是白球，四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 . （3） 其中 ， ， . （4）的分布为 XY1200.40.10.510.20.30.50.60.4这是因为 ，由 得 ， 故 . （5） 即 ，亦即 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、为三个事件，且，则有 （A） （B） （C） （D） （ ）（2）设随机变量的概率密度为 且，则在下列各组数中应取 （A） （B） （C）. （D） （ ）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有 （A） （B） （C） （D） （ ）（4）对任意随机变量，若存在，则等于 （A） （B） （C）
13、（D） （ ）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 （A） （B） （C） （D） （ ） 解 （1）由知，故 应选C. （2） 即 故当 时 应选B. （3） 应选C. （4） 应选C. （5）因为方差已知，所以的置信区间为 应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ； 所求概率为.四、（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1
14、） （2）的分布函数为 （3）.五、（12分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）； （3）的概率密度.x+y=1yy=xx0 解：（1） （2） . （3） zyz=xx0z=2x 当 时 时 所以 六、（10分）（1）设，且与独立，求； （2）设且与独立，求.11yx0 解： （1） ； （2）因相互独立，所以 ，所以.七、（10分）设总体的概率密度为 试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .概率论与数理统计期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设,，则至少发生一个的概
15、率为_.（2） 设服从泊松分布，若，则_.（3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则_.（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_.（5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_. 解：（1） 得 . （2） 故 . . （3），其中 . （4）设第件元件的寿命为，则. 系统的寿命为，所求概率为 （5）的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（
16、） 中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）（4）设随机变量的概率分布为 . 且满足，则的相关系数为 （A）0. （B）. （C）. （D）. （ ）（5）设随机变量且相互独立，根据切比 雪夫不等式有 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ） 解：（1）（A）：成立，（B）： 应选（
17、B） （2）. 应选（C） （3） 应选（D） （4）的分布为 X2X110110000100 ，所以， 于是 . 应选（A） （5） 由切比雪夫不等式 应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解：设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则 .四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.
18、 （2）和. 解：（1），其中 由 得 ，即，故 所以 . 故的分布列为 （2），.五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布， （1）求边缘密度和，并说明与是否独立. （2）求.y01e2xy=1/xD 解：区域的面积 的概率密度为 （1） （2）因，所以不独立. （3） .六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z101xD1 解1： 的概率密度为 设的概率密度为，则 11zy0y 当 或时 当 时 所以的密度为 解2：分布函数法，设的分布函数为，则 故的密度为 七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随机样本 （1
19、）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 再求极大似然估计 得的极大似然估计 ， （2）对矩估计 所以矩估计 是的无偏估计.八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求. 解：设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则 于是 概率论与数理统计试题（5）一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“”，错误打“”） 设A、B是中的随机事件,必有
20、P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则AB=AABB ( ) 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) 样本均值= 是母体均值EX的一致估计 （ ） XN(,) , YN(,) ，则 XYN(0, ) （ ） 二、 计算（10分）（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、（10分） 设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩
21、在60分至84分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999五、（15分） 设的概率密度为 问是否独立？ 六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为 ，求与 七、（15分）设总体服从指数分布 试利用样本，求参数的极大似然估计. 八概率论与数理统计试题（5）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1）设他们的生日都不相同，则 -5分 （2）设至少有两个人的生日在同一个月，则 ；或 -10分三 证 若、互不相容，则，于是所以 、不相互独立.-5分 若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.-5分四 解
22、-3分 -7分所求概率为 -12分 =2（1）-1=20.841-1=0.682-15分五 解 边际密度为 -5分 -10分因为 ，所以独立.-15分六 解1 -8分其中 由函数的幂级数展开有 ，所以 -12分因为 -16分所以 -20分七 解 -8分 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为-15分概率论与数理统计试题（6）一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 设A、B是中的随机事件，则A （ ） 对任意事件A与B，则有P(AB)=P(A)+P(B) （ ） 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( ) X N（，2 ），X1 ，X 2 ，Xn是X的样本
23、，则 N（，2 ）（） X为随机变量，则DX=Cov（X，X）-（ ）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2a2上服从均匀分布，（1）求和的相关系数；（2）问
24、是否独立？ 六、（10分）若随机变量序列满足条件 试证明服从大数定律.七、（10分） 设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。 八、（10分）某种零件的尺寸标准差为=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 (x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999概率论与数理统计试题（6）评分标准一 ； ； ； ； 。二解 设任取一枚硬币掷次得个国徽， 任取一枚硬币是正品，则 ，-5分所求概率为 .-10分
25、三 解 设针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则ayay ，不等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域.-6分 发生，不等式确定的子域-10分 故 -15分四 解 ，分布律为即 -5分的分布函数为 -有所不同-10分 -15分五 解 的密度为 -3分 （1） 故 的相关系数.-9分 （2）关于的边缘密度为 关于的边缘密度的 因为，所以不独立.-15分六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的有 -5分所以对任意的 故服从大数定律。-10分七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的有 -5分于是 即 依概率收敛于，故是的相合估计。-10分八 解 问题是在已知的条件下检验假设：=26 查正态分布表，1=0.975, =1.96-5分1u1=1.081.96,应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。-15分数理统计练习一、填空题1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则P(A+B)=_ _ 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率 。3、设随机变量X服从0，2上均匀分布，则 。4、设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知1，则_
