1、 1 2019 考研数学怎么计算含变限积分的函数极限 （来源：文都教育） 计算极限是考研数学的重要考查内容，其中一个重要题型就是计算含变限积分的函数极限，文都教育认为在 2019 考研数学的复习中需要熟练掌握这部分内容。含变限积分的函数极限如果是 00 或者 未定式，一般可以考虑用 洛必达法则 ，应用变限积分函数求导公式，消去积分符号。本文介绍另外一种方法，涉及到对 无穷小式子的积分公式 ，如下所示： 10 ( ) ( )x nno t dt o x ，当 0x 时。 这里被积函数 ()not 是可积的；上述公式可以推广为： () ( 1 )0 ( ) ( )mOx n m no t dt o
2、 x ，当 0x 时。 这里注意积分上限是表示同阶无穷小的大 O 符号。 对于极限式中的变限积分函数，我们一般是把被积函数表示为多项式加一个高阶无穷小（可以应用 极限基本定理 或者 Taylor 公式 或者 等价无穷小 获得），其中多项式的积分容易计算，而无穷小的积分则应用上述 2 个公式计算，这样就可消掉积分符号，转化为不含变限积分的函数极限计算题。 真题 1（ 1999 年，数学（二）， 3 分） 1.设 50 sin()x tx dtt ， 1sin0( ) (1 )x tx t dt ，则当 0x 时， ()x 是 ()x 的（ ）。 （ A）高阶 无穷小 （ B）低阶无穷小 2 （
3、C）同阶但不等价的无穷小 （ D）等价无穷小 答案： （ C） 解析： 55 200s i n( ) 1 ( ) 5 ( ) 5xxtx d t o t d t x o x xt ， 1s i n s i n 200( ) ( 1 ) ( ) s i n ( )xxtx t d t e o t d t e x o x e x ， 故 ()x 是 ()x 同阶但不等价的无穷小。 真题 2（ 2002 年，数学（三）， 5 分） 2.求极限2000a r c ta n (1 )lim(1 c o s )xuxt d t d uxx . 答案： 6 . 简析： a rc ta n (1 ) (1)4
4、to ，当 0t 时。 真题 3（ 2005 年，数学（二），三，（ 15） ,11 分） 3.设函数 ()fx连续，且 (0) 0f ，求极限 000( ) ( )lim()xxxx t f t dtx f x t dt。 答案： 12 。 真题 4（ 2004 年，数学（一）、数学（二）， 4 分） 4. 把 0x 时 的 无 穷 小 量 20( ) cosxx t dt ， 20( ) tanxx tdt ，30( ) sinxx t dt 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则排列顺序应为（ ） . （ A） , （ B） , （ C） , （ D） , 3 答案： （ B）
5、真题 5（ 2011 年，数学（二）， 10分） 5.已知函数 20 ln (1 )() x t dtFx x .设0lim ( ) lim ( ) 0x xF x F x ，试求 的取值范围 . 答案： 13 解析： 当 0x 时，对被积函数的 Taylor 展开式中的首项 进行积分来估计分子无穷小的阶数，易知 3 。该参数的下界不能用本文介绍的方法得到，但应用 积分估值定理 ，易知当 1 时有 lim ( ) 0x Fx 。 除了应用洛必达法则消掉分子的积分号的方法外，还可以应用分布积分法计算出分子这个积分式 220 l n (1 ) l n (1 ) 2 2 a r c t a nx t
6、 d t x x x 。 真题 6（ 2016 年，数学（一）， 4 分） 6. 020ln (1 s in )lim1 c o sxxt t t dtx . 答案： 12 . 简析： 3ln (1 s in ) s in t t t t t t t ， 2 2 2 4111 c o s ( )22x x x。 真题 7（ 2017 年，数学（二）、数学（三）， 10 分） 7.求 030limx txx te dtx . 答案： 23 . 4 本文介绍了 2019 考研数学中求解含变限积分的函数极限计算题的一种方法，希望能对考生复习备考有所帮助。最后，文都教育希望计划参加 2019 考研的学子不怕困难，坚持复习，尽最大的努力以便获得最好的结 果！
