1、第十讲 乘法原理与加法原理 乘法原理 一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不 同的方法 ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事一共有 N=m1m2mn 种不同的方 法 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺 一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。 ” 【例 1】 有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？ 5 个人排成两排照相，前排 2 人，后排 3 人，共有多少种排法？ 5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？ 5
2、个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 分析：5 个人排成一排照相，从左到右共 5 个位置。第一个位置可从 5 个人中任选一人，有 5 种选法； 第二个位置只能从剩下的 4 个人中任选一人，有 4 种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有 3 种、 2 种、1 种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有 54321=120 种排法。 5 个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有 5 个位置，类似的方法可得共有 54321=120 种排法。 这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余 4 人可以任意站位，类似的分析可知共有 4321=24 种排法。
3、限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步安排限定的人，有 2 种方法；第二步安排其它的 4 人，类的分析，有 4321=24 种方法，根据乘法原理，共有 2（4321）=242=48 种排 法. 【例 2】 由数字 2、3、4、5、6、7、8 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析：/要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数， 故个位上只有能取 3、5、7 中的一个，有 3 种不同的取法；十位上，故可由乘法原理解决所以，由 2、3、4、5、6、7、8 共可组成 3654=360 个没有重复数字的四位奇数 【例 3】 （1）如图，把 A、
4、B、C、D 、E 这五个部分用 4 种不同的颜 色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用 同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？ （2） （小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、 紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色共有多少种不同的染色方法？ 分析：（1）CABDE，根据乘法原理有： 43222=96 种. （2）用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有：5433333=4860 种不 同的染色方法 【例 4】 （1） （迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方 准备各放一
5、个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共 有多少种不同的放置方法？ （2） （兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵” ， 使得每一列有一个“兵” ，每一行至多有一个“兵” 有多少种不同的 放法？ 分析： （1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有： 109=90 种不同的放置方法对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而 放置在剩下的任意位置，所以乙方有：98=72 种不同的放置方法因此，总共有：7290=6480 种不同 的放置方法 （2）第一列有 2 种放法第一列放定后，第二列又有 2 种放法如此下去，
6、共有 2222=16 种不 同的放法 【例 5】 有 10 块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 分析：将 10 块糖排成一排，糖与糖之间共有 9 个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么 就在其间画一条线。下图表示 10 块糖分在五天吃：第一天吃 2 块，第二天吃 3 块，第三天吃 1 块，第四 天吃 2 块，第五天吃 2 块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共 有 29512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有 512 种。 加法原理 一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不
7、同做法，第二类方法中有 m2 种不同 做法 ，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有 N= m1 + m2 +mk 种不同的方法。 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。 【例 6】 大林和小林共有小人书不超过 50 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ 分析：大林有 0 本书，小林有 050 本书，51 种情况；大林有 1 本书，小林有 049 本书，50 种情况； 大林有 2 本书，小林有 048 本书，49 种情况；大林有 49 本书，小林有 0
8、1 本书，2 种情况； 大林有 50 本书，小林有 0 本书，1 种情况；所以共有：1+2+3+51=1326 种情况. 【例 7】 小明要登上 10 级台阶，每一步只能登 1 级或 2 级台阶，他登上 10 级台阶共有多少种不同的登 法？ 分析：登上第 1 级台阶只有 1 种登法。登上第 2 级台阶可由第 1 级台 阶上去，或者从平地跨 2 级上去，故有 2 种登法。登上第 3 级台阶可 从第 1 级台阶跨 2 级上去，或者从第 2 级台阶上去，所以登上第 3 级 台阶的方法数是登上第 1 级台阶的方法数与登上第 2 级台阶的方法数 之和，共有 1+23（种），一般地，登上第 n 级台阶，或
9、者从 第（n1）级台阶跨一级上去，或者从第（n2）级台阶跨两级上去。 根据加法原理，如果登上第（n1）级和第（n2）级分别有 a 种和 b 种方法，则登上第 n 级有（ab）种方法。因此只要知道登上第 1 级和第 2 级台阶各有几种方法，就可 以依次推算出登上以后各级的方法数。如右图，由登上第 1 级有 1 种方法，登上第 2 级有 2 种方法，可 得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数 之和。登上第 10 级台阶的方法数对应这串数的第 10 个，即 89。也可以在图上直接写出计算得出的登上 各级台阶的方法数。 【例 8】 在
10、右图中，从 A 点沿实线走最短路径到 B 点，共有多少条不同路线？ 分析：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右下图中的 D 点，不是 经过左边的 E 点，就是经过下边的 F 点。如果到 E 点有 a 种走法（此处 a6） ， 到 F 点有 b 种走法（此处 b4） ，根据加法原理，到 D 点就有（ab）种走 法（此处为 64=10） 。我们可以从左下角 A 点开始，按加法原理，依 次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图） ，最后得到共有 35 条不同路线。 【例 9】 （1） （第五届希望杯六年级培训试题）如 右图（1） ，从学校到少年宫的最短路线有多少条？ （2） （第五届希望杯
11、六年级 1 试）小君家到学校的 道路如右图（2）所示。从小君家到学校的最短路 线有多少种不同的走法？ 分析：（1）最短路线只能向上或向右走，利用加法原理如下图（3） ，有 90 种最短路线；（2）如下图 （4） ，10 种不同走法. 综合应用 【例 10】 （1）用 0、1、2、3 可以组成多少个没有重复数字的 4 位数？其中偶数和奇数分别有多少 个？ （2）利用数字 1，2，3，4，5 共可组成多少个数字不重复的偶数？ 分析：（1）用 0、1、2、3 可以组成没有重复数字的 4 位数：3321=18（个） ；先计算偶数的个数， 末尾数字为 0 或 2，若末尾数字为 0，那么前 3 位有 32
12、1=6 种，若末尾数字为 2，那么前 3 位有 221=4 种，因此其中偶数有 10 个，那么奇数就有 18-10=8 个. （2）分为 5 种情况：一位偶数只有两个：2 和 4；二位偶数共有：24=8（个） ； 三位偶数由上述(2)中 求得为 24 个；四位偶数共有 2(432)=48 个括号外面的 2 表示个位数有 2 种选择(2 或 4)；五位 偶数共有 2(4321)=48 个；由加法原理，偶数的个数共有：2+8+24+48+48=130 【例 11】 在 1 到 3000 中含数字 7 的数有多少个？ 分析：正面想很困难，我们不妨从另外一个角度考虑，知道这其中不含 7 的数字有多少个
13、，就能知道含 7 的数字有多少个。不含 7 的：一位数 8 个，两位数有 89=72 个，三位数有 899=648 个，四位数有： 2999=1458 个，所以含有 7 的数字有 3000-8-72-648-1458=814 个. 【例 12】 从 5 幅国画，3 幅油画，2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在 5 张 国画中选 1 张，第二步再在 3 张油画中选 1 张.由乘法原理有 5315 种选法.第二类为国画、水彩画各 一幅，由乘法原理有 5210 种选法.第三类油画、水彩各一幅
14、，由乘法原理有 326 种选法.这三类 是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 1510 631 种. 【例 13】 左下图是某街区的道路图。从 A 点沿最短路线到 B 点，其中经过 C 点和 D 点的不同路线共 有多少条？ 分析：本题可将从 A 到 B 分为三段，先是从 A 到 C，再从 C 到 D，最后从 D 到 B。如右上图所示，从 A 到 C 有 3 种走法，从 C 到 D 有 4 种走法，从 D 到 B 有 6 种走法。因为从 A 到 B 是分几步走的，所以应该用乘 法原理，不同的路线共有：34672（条）. 附加题目 【附 1】 （1）
15、 （第四届小数报竞赛初赛）从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站铁路局要为这次 快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？ （2）用两个 3，一个 1，一个 2 可组成不同的四位数，这些四位数共有多少个？ （3）在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“”号，可以得到三个自然数相加的加法算式，所 有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分析：（1）共有 8 个站每个站到其它 7 个站各需 1 种车票，共有 78=56 种车票因为 A 站到 B 站与 B 站到 A 站的票价相同，所以最多有 562=28 种票价 （2）四个不同的一位自
16、然数可以组成 4231=24（个）不同的四位数.当其中两个数码相同时，位置 互换时数不变.所以组成的不同四位数共有：242=12（个）. （3）8 个位置插入 2“+”号，共有 872=28（种） 方法. 【附 2】用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不 同的涂法？ 分析：按题意可知，1、4 对称，2、3 对称，这样 1、2、A、B、C、D、E 均有两种选 择， 2222222=128 种。 【附 3】在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于 6 的共有多少个？ 分析：前两位有：15，24，33，42，51，60 六种，后两位增加“06”这种情况
17、，所以共 67=42（种）. 【附 4】 （小学数学奥林匹克决赛）由 1、2、3、4 四个数字组成的四位数共有 24 个，将它们从小到大排 列起来，第 18 个数等于多少？ 分析：千位是 1、2、3、4 的各有 244=6(个)，63=18，所以第 18 个数是千位是 3 的最大的数 3421 【附 5】 （小学数学奥林匹克决赛）由 1、2、3、4、5 五个数字组成的五位数共有 120 个，将它们从大到 小排列起来，第 95 个数等于多少？ 分析：万位是 5，4，3，2，1 的各有 1205=24(个)，244=96，所以第 95 个数是万位是 2 的数中第二 小的数 21354. 【附 6】
18、一次考试的选择题有 A,B,C,D 四个选项，允许选一项或者多项（可以全选，但不能都不选） ，问 这个选择题有多少种不同的答案？ 分析：法 1：每个选项或者选或者不选，有 2 种可能，根据乘法原理，有 2222=16 种可能，但其中 不允许都不选，所以有 15 种.法 2：选一个选项有 4 种选法，选 2 个选项有 6 种，选 3 个选项有 4 种，选 4 个选项有 1 种，加起来也是 15 种. 【附 7】沿左下图中箭头所指的方向从 A 到 B 共有多少种不同的走法？ 分析：如右上图所示，先标出到 C 点的走法数，再标出到 D 点和 E 点的走法数，然后标出到 F 点的走法 数，最后标出到
19、B 点的走法数。共有 8 种不同的走法。 【附 8】按图中箭头所示的方向行走，从 A 点走到 B 点的不同路线共 有多少条？ 分析：同样用上题的方法，标上数字，有 55 条。 【附 9】用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域 染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 分析：本题与例 3 表面上十分相似，但解法上却不相同。 当区域 A 与区域 E 颜色相同时，A 有 5 种颜色可选；B 有 4 种颜色可选；C 有 3 种颜色可选；D 也有 3 种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5433180（种） 。 当区域 A 与区域 E 颜色不同时，A 有 5 种颜
20、色可选；E 有 4 种颜色可选；B 有 3 种颜色可选；C 有 2 种颜色可选；D 有 2 种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有：54322240（种） 。 再根据加法原理，不同的染色方法共有：180240=420（种） 。 【附 10】 （第十五届迎春杯决赛）如果一个四位数与一个三位数的和是 1999，并且四位数和三位数 是由 7 个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？ 分析：设满足题意的四位数为 ，三位数为 容易得到 a1，be9， （e0） ，abcdefg cf9，dg9。为了计算这样的四位数最多有多少个，由题设条件 a，b，c，d，e，f，g 互不相同， 可
21、知，数字 b 有 7 种选法（b1，8，9） ，c 有 6 种选法（c1，8，b，e） ，d 有 4 种选法 （d1，8，b，e，c，f)。于是，依乘法原理，这样的四位数最多能有（764=）168 个。 【附 11】 （1）有三本不同的书放到 5 张同样的书桌上，一共有多少种放法？ （2）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一 个三位数。例如，532 吃掉 311，123 吃掉 123。但 726 与 267 相互都不被吃掉。问：能吃掉 678 的三位 数共有多少个？ 分析：（1）此题学生容易错写为 5；放一本课本看成一个步，则可分为五步，故 5
22、55=125 种. （2）共有 432=24（种）. 习题十 1用 2、3、5、6、8、9 这 6 个数字组成 5 位数，可以组成多少个奇数？ 分析：35 432=360. 2 （迎春杯初赛）如右图，图中有 25 个小方格，要把 5 枚不同的硬币放在方格里， 使每行、每列只出现一枚硬币，那么共有多少种放法？ 分析：第一枚硬币有 25 种放法；第一枚硬币的位置确定后，第二枚有 16 种放法 (与第一枚硬币不同行也不同列) 同理，第二枚硬币的位置确定后，第三枚硬币有 9 种放法第三枚硬币的位置确定后，第四枚硬币有 4 种放法第四枚硬币的位置 确定后，第五枚硬币只有一种放法根据乘法原理，共有 251
23、6941=14400 种 放法 3如右图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某 一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 分析：共有不同的染色方法：54332360（种） 。 4. 在右图中，从 A 点沿最短路径到 B 点，共有多少条不同的路线？ 分析：56. 5如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那 么共有多少种不同的选法? 分析：34+35+45=12+15+20=47 种 6从 1 到 300 的自然数中，完全不含有数字 3 的有多少个？ 分析：法 1：将符合要求的自然数分
24、为以下三类：(1)一位数有 8 个，(2)二位数有 89=72 个，(3)三位 数有：299=162 个因此，从 1 到 300 的自然数中完全不含数字 3 的共有：8+72+162=242 个 法 2 ：将 0 到 299 的整数都看成三位数，其中数字 3 不出现的，百位数字可以是 0，1 或 2 三种情况十 位数字与个位数字均有九种，因此除去 0 共有：399-1=242(个) 课外数学 数和数字一样吗？ 我们学数学，整天和数与数字打交道，那么数和数字是一回事吗？你注意到它们之间的区别了吗？ 你知道吗，小兰和小华还为这事吵起来了呢。事情是这样的，数学兴趣小组的张老师，给大家出了一个 讨论题
25、：数和数字的含义是不是相同的？小兰不加思索地说：“当然相同。 ”张老师说：“你能举个例子 说明吗？” 小兰很快地说：“1、2、3、可以说它是数字，也可以说它是数。 ” 小华不服气地：问：“那么 69 是一个数，也是一个数字吗？” 小兰说：“ 69 是一个数也是一个数字。 ” 小华说：“你说的不对，69 是一个数，是由 6 和 9 这两个数字组成的，数和数字的含义是不一样的。 ” 小兰和小华互不服气。这时有的同学同意小兰的意见，也有的赞成小华的说法。大家展开了热烈的 讨论。意见一直统一不起来。 张老师看着大家的认真劲，笑了，她说。 “数可以表示物体的多少或排列顺序；数字是写数用的符号，也叫数码。我们用 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 这十个数字按一定数位顺序排列来表示数。用它们可以写出任意一个数。 ” 听了张老师的话，小兰点了点头。
