1、第一讲 乘法原理 一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二 步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N=m 1m2mn种不同的方法 这就是乘法原理 例 1 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问： 可组成多少个不相等的三位数？ 可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析 在确定由 0、1、2、3 组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定所以，每 个问题都可以看成是分三个步骤来完成 要求组成不相等的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取 0，故有 3 种 不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，
2、有 4 种不同的取法；个位上，也有 4 种 不同的取法，由乘法原理，共可组成 344=48 个不相等的三位数 要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法；十位上， 由于百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下 0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上， 由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有 2 种取法，由乘法原 理，共有 332=18 个没有重复数字的三位数 解：由乘法原理 共可组成 344=48（个）不同的三位数； 共可组成 332=18（个）没有重复数字的三位数 例 2 由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字
3、的四位奇数？ 分析 要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求 组成的数是奇数，故个位上只有能取 1、3、5 中的一个，有 3 种不同的取法；十位上，可以 从余下的五个数字中取一个，有 5 种取法；百位上有 4 种取法；千位上有 3 种取法，故可由 乘法原理解决 解：由 1、2、3、4、5、6 共可组成 3453=180 个没有重复数字的四位奇数 习题一 1如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的 三个点不共线）在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形问：一共可以画出多少 个这样的三角形？ 2由数字 1、2、3、4、5、6、7、8
4、可组成多少个 三位数？ 三位偶数？ 没有重复数字的三位偶数？ 百位为 8 的没有重复数字的三位数？ 百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？ 习题一解答 1143=12（个） 2888=512（个）； 488=256（个）； 476=168（个）； 176=42（个）； 136=18（个） 第二讲 加法原理 一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中 有 m2 种不同做法，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有 N=m1+m2+mk 种不同的方法 这就是加法原理 例 1 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少
5、个？ 分析 从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数 一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9； 两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9 这 八种情况个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位 数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4 三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、2、3、 这三种情况十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9
6、这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应 用乘法原理，这时共有 399=243 个三位数由于 500 也是一个不含 4 的三位数所以， 1500 中，不含 4 的三位数共有 399+1=244 个 解：在 1500 中，不含 4 的一位数有 8 个；不含 4 的两位数有 89=72 个；不含 4 的 三位数有 399+1=244 个，由加法原理，在 1500 中，共有： 8+89+399+1=324（个） 不含 4 的自然数 补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个 0 的三位数，如：把 1 看 成是 001把两位
7、数看成是前面有一个 0 的三位数如：把 11 看成 011那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看成是“三位数”，除去 500 外，考虑不含有 4 的这样的“三位数” 百位上，有 0、1、2、3 这四种选法；十位上，有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种选 法；个位上，也有九种选法所以，除 500 外，有 499=324 个不含 4 的“三位数”注 意到，这里面有一个数是 000，应该去掉而 500 还没有算进去，应该加进去所以，从 1 到 500 中，不含 4 的自然数仍有 324 个 这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题 很简捷地得到解
8、决 例 2 如下页左图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上 方问有多少种不同的走法？ 第一类，经过 C 的路线，分为两步，从 A 到 C 再从 C 到 B，从 A 到 C 有 2 条路可走，从 C 到 B 也有两条路可走，由乘法原理，从 A 经 C 到 B 共有 22=4 条不同的路线 第二类，经过 D 点的路线，分为两步，从 A 到 D 有 4 条路，从 D 到 B 有 4 条路，由乘法 原理，从 A 经 D 到 B 共有 44=16 种不同的走法 第三类，经过 E 点的路线，分为两步，从 A 到 E 再从 E 到 B，观察发现各有一条 路所以，从 A 经 E 到
9、 B 共有 1 种走法 第四类，经过 F 点的路线，从 A 经 F 到 B 只有一种走法 最后由加法原理即可求解 解：如上右图，从 A 到 B 共有下面的走法： 从 A 经 C 到 B 共有 22=4 种走法； 从 A 经 D 到 B 共有 44=16 种走法； 从 A 经 E 到 B 共有 1 种走法； 从 A 经 F 到 B 共有 1 种走法 所以，从 A 到 B 共有： 4+16+1+1=22 种不同的走法 第三讲 排 列 一般地，从 n 个不同的元素中任取出 m 个（m n）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m
10、个（ mn）元素的所有排列的个数，叫做从 例 1 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的五位数？ 分析 这是一个从 8 个元素中取 5 个元素的排列问题，且知 n=8，m=5 解：由排列数公式，共可组成： 个不同的五位数 习题三 5由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少没有重复数字的 三位数？ 个位是 5 的三位数？ 百位是 1 的五位数？ 六位数？ 习题三解答 第四讲 组合 从 n 个不同元素中取出 m 个元素（ mn）的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同 元素的组合数.记作 Cmn. 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素排成一列
11、的排列数 Pmn 可以分两步求得： 第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 Cmn 种方法； 第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 Pmm 种排法. 故由乘法原理得到： PmnCmnPmm 因此 这就是组合数公式. 一般地，组合数有下面的重要性质： CmnC n-mn （mn） 例 1 在一个圆周上有 10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的直线段， 三角形，四边形？ 分析 由于 10 个点全在圆周上，所以这 10 个点没有三点共线，故只要在 10 个点中取 2 个点，就可以画出一条线段；在 10 个点中取 3 个点，就可以画出一个三角形；在 1
12、0 个点中 取 4 个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题. 解：由组合数公式. 例 2 如下图，问： 下左图中，共有多少条线段？ 下右图中，共有多少个角？ 分析 中，在线段 AB 上共有 7 个点（包括端点 A、B）.注意到，只要在这七个点中选 出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而 C27 表示从 7 个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有 C27 条线段. 中，从 O 点出发的射线一共有 11 条，它们是 OA， OP1，OP 2，OP 3，OP9，OB.注 意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从 11 条射线中取两
13、条射线有多少种取法， 就有多少个角.显然，是组合问题，共有 C211 种不同的取法，所以，可组成 C211 个角. 解：由组合数公式知，共有 条不同的线段； 由组合数公式知，共有 例 3 某校举行排球单循环赛，有 12 个队参加.问：共需要进行多少场比赛？ 分析 因为比赛是单循环制的，所以，12 个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在 12 个队中取 2 个队的组合问题. 解： 由组合数公式知，共需进行 场比赛. 例 4 某班要在 42 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 42 人中选 3 人
14、站成一排，有多少种站法？ 分析 要在 42 人中选 3 人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与 三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有 C342 种不同的选法. 要在 42 人中选出 3 人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三 名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342 种不同的站法. 解： 由组合数公式，共有 种不同的选法； 由排列数公式，共有 P34242414068880 种不同的站法. 习题四 1.如右图，图上一共有六个点，且六个点中任意三个点不共线， 问： 从这六个点中任意选两点可以连成一条线段，这些点一共可以连成
15、多少条线段？ 从这六个点中任意选两点可以作一条射线，这些点一共可以作成多少条射线？（射线 是一端固定，经另一点可以无限延长的.） 习题四解答 1.C2615； P2630. 第五讲 排列组合 例 1 在一个半圆周上共有 12 个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个 三角形？ 四边形？ 分析 我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的 每三个点均不共线（由于 A、B 既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算， 可把它们归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半 圆弧上取（不含 A、B 两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半
16、圆弧上（不包含 A、B）， 另一个顶点在线段上取（含 A、B）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点 在线段上取. 注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是 组合问题. 解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有 两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有 一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有 由加法原理，这 12 个点共可以组成 C37（C 27C15）（C 17C25） 3510570210（个） 不同的三角形. 也可列式为 C312C 3522010210（个）. 分析 用解的方法考虑. 将组成四边形时取点的情况分为三类： 第一类
17、：四个点全在圆弧上取.（不包括 A、B）有 C17 种取法. 第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线 AB.有取法 C27C25 种. 第三类：圆弧上取 3 个点，直线上取 1 个点，有 C37C15 种取法. 解： 依加法原理，这 12 个点共可组成： C47+ C27C25+C37C15 35210175420 个不同的四边形. 还可直接计算，这 12 个点共可组成： C412-C45-C35C174955-70420 个不同的四边形. 例 2 如下图，问 下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ 下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？ 分析 由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此
18、只要看上左图中水平方向的 所有平行线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，可以选出几组两条 平行线？ 由于长方体是由三组分别平行的平面组成的.因此，只要看上页右图中，平行于长方 体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中， 可以选出几组两个互相平行的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两 个互相平行的平面. 解： C 25C27210（个） 因此，上页左图中共有 210 个长方形. C 25C26C24900（个） 因此，上页右图中共有 900 个长方体. 习题五 1.如下图，计算 下左图中有多少个梯形？ 下右图中有多少个长方体？ 习题五解答 1.C 26C26225；C 25C26C251500.
