1、第五讲 数学方法和思想(二) 内容概述 学习数学的一个重要方面就是要掌握一定的解题方法，数学的题型千变万化，如果仅靠题海战术， 而不去总结规律，寻找解题方法，将永远是大海捞针，失去方向！遇到题型发生变化，就会一筹莫展， 这节课我们将介绍几种重要的解题方法，希望同学能体会贯通，举一反三。 从简单情况考虑 有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发， 看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。 【例 1】 33 的末位数字是 9，333 的末位数是 7，3333 的末位数字是 1求 35 个 3 相乘的 结果的末位数字是几?
2、【例 2】 444444444888888888666666666 的商是_ 【例 3】 12345678987654321 是_的平方 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 是_的平方？ 12345678987654321（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_的平方， 【例 4】 （第三届“华杯赛”决赛）将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分 成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线?请说明 【例 5】 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第 20 行的各数 之和是多少？ 从极端情况考虑 从问题的
3、极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的 是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容 易得多。 【例 6】 新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个 门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的 20 个门，他最多要开多少次？ 【例 7】 某轮船往返于两港之间，设该轮船在静水中的速度不变，那么当水的流速增大时，轮船往返一 次所用时间（ ） 。 A、不变 B、减少 C、增加 从特殊情况考虑 对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑
4、它的某些特殊情况，从而获得解 决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况 考虑。对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是 因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是 探索问题的一种重要方法。运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊 到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。但我们能熟练使用这种方法后，就只 需在特殊状态下得到答案即可。 【例 8】 如右图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，且边长均为 2c
5、m。又 E 点是正方 形 ABCD 的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积 S。 【例 9】 长方形 ABCD 的面积为 36cm2，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上 任意一点，问阴影部分面积是多少? 从反面考虑问题 解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得 结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结 论的反面进行思考，从而使问题得到解决。 【例 10】 某次数学测验一共出了 10 道题，评分方法如下：每答对一题得 4 分，不答题得 0 分，答错一 题倒扣 1 分，每个考生预先给
6、 10 分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？ 【例 11】 一次考试有 4 道题，100 人参加了考试，考试结果，第一题有 91 人答对，第二题有 83 人答对， 第三题有 89 人答对，第四题有 95 人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？ 从整体考虑问题 有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远 一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。 【例 12】 现有一个 34 的长方形，现在任意横着切 2 刀，竖着切 4 刀，把长 方形分成了 15 个小长方形，求这 15 个小长方形的周长之和是多少？ 【例 13】 某杂志每
7、期定价 2 元，全年共出 12 期。某班部分同学订半年，其余同学订全年，共需订费 480 元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需 120 元。问：这个班共有多少名学生？ 习题五 1.111111122222223333333=？ 2 求 2222(共 2005 个 2)被 7 除所得的余数 3下面这枚色子, 1和5相对,2和6相对,3和4相对, 先向前转16次，再向右转4次，向上的一 面应该是几个黑点？ 4有一个四边形 ABCD(任意四边形)面积为 1，连接各边的中点得到四边形 DEFG 求四边形 DEFG 的面积？ 5如右图，正方形 ABCD 的边长为 12,P 是边 AB 上
8、的任意一点，M，N，J，H 分 别是边 BQ AD 上的三等分点，E，FG 是边 CD 上的四等分点，图中阴影部分的 面积是 6 把若干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小 朋友将分到 4 个苹果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到 6 个苹果，那么 如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？ 7 现有 1 个立方体，其棱长为 2 厘米，从横、竖、纵 3 个方向各切 1 刀，将其分成了 8 个小长方体， 此时这 8 个小长方体的表面积的和是多少？ 数学童话 八戒卖醋 八戒开了一家副食小店。一天，猴侄小猕猴来为家里打一斤醋。小猕猴来到师叔的小店，喊道：“师 叔，打醋！”八
9、戒问小猕猴打多少醋。小猕猴说：“不多，就打一两。 ”八戒吃惊地问道：“打一两醋干啥？ ”小猕猴说：“当然是吃呗！”八戒又问：“一两够吗？”小猕猴说：“不够，再打一两吧！”八戒又问：“二 两也不多呀？”小猕猴说：“那再打一两吧。 ”八戒又打了一两。小猕猴说：“还打一两，再打一两”这 样，小猕猴共计打了十两醋，也就是一斤醋。八戒打完醋，说：“共计一斤醋，8 角 4 分钱。 ”小猕猴不慌 不忙地掏出 8 角钱给了师叔八戒。八戒接过钱，说：“不要耍赖，还差 4 分钱呢！”小猕猴问：“师叔，打 一两醋多少钱？”八戒说：“一两醋当然是 8 分 4 厘，4 厘钱就舍去。收 8 分钱。 ”小猕猴说：“这么说来， 一两醋就是 8 分钱了。 ”八戒说：“那当然。 ”小猕猴又说：“十两醋就是 8 角钱了！”八戒说：“算得正确。 ” 小猕猴说：“我给了你 8 角钱，你怎么说还差 4 分钱呢？”八戒无言以对，只好又亏了 4 分钱，望着小猕 猴提着醋走了。
