1、第五讲 图形的分割与拼接 教学目标 本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法： 1、理解掌握图形的分割； 2、理解掌握图形的拼合； 3、理解图形的剪拼； 4、利用剪拼图形计算、解决问题. 本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的 分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力 分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不 重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成如右图所示的空心正八角星 专题精讲 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割 反过来，按
2、一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先 分少，再分多 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合 数量来分割图形 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先 拼少的，再拼多的 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，
3、 有 8 个相等的直角三角形，你能拼成下图中的空心正八角星吗？ 想 挑 战 吗 ？ 通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法 （一）图形的分割 【例 1】 （） 如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四 个图形？ 分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是 面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以考虑把每一个正方形的 面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图所示. 拓展把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四 块 大小、形状都相同的图形 分析：从面积考虑，把整
4、个图形的面 积分成四份，分割后的每一部分占一份.正方形，则可把每个正方形分 成四个面积相等的小正方形，每 块图形应有五个这样的小正方形，如右上图所示. 巩固右图是由五个正方形组成的图形把它分成形状、大小都相同的四个 图形，应怎样分? 分析：如果不考虑分成的四个图形的形状，只考 虑它们的面 积， 这就要求把原来五个正方形分成四个面积 相等的图形，每个图形的面积应 是 1 个多正方形我 们把每个正方形各分成四个面 积相等的小正方形，分 成的每块图形应有五个这样的小正方形根据 图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法. 【例 2】 （）把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法
5、请你画出 4 种不同的分法 分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 4 个等底等高的小三角形，它们 的面积必定相等而要得到这 4 个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点 与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左上图所示的三种分法又因为 4l422，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做 1，那么 14 就可以视为把三角形的面 积直接分成 4 等份，即分成 4 个面积为 1 的小三角形；而 22 可以视为先把原三角形分成两等份，再 把每一份分别分成两等份根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形 根据 上面的分析，
6、又可以得到如右上图的另两种分法 前铺 把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法请你画出 4 种不同的分法 分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 2 个等底等高的小三角形，它 们的 面积必定相等而要得到这 2 个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶 点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如下 图所示的三种分法 拓展怎样把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形. 分析：（1）分成 8 块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到 4 个大小、形状相同的三角形，然 后再把每一个三角形分成一半，得到
7、如左上图所示的图形 . （2）分成 9 块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上 图所示的符合条 件的图形. 【例 3】 （）如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同， 并且每一块都含有学而思奥数五个字. 图 1 图 2 分析：图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图 1），因此，首先要在它们之间划 出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转 180 必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转 180就可得到一些新的切分线（图 2）.这就为我们 解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图
8、所示. 拓展 如右图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的. 如图那样放着 4 颗黑子， 4 颗白子，现在要把它 切割成形状、大小都相同的四块，并使每一 块中都有一颗黑子和一 颗白子.试问如何切割？ 分析：首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋 转 90、180、270之后，得一些新的切分 线，同时 考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是 364=9，即含有 9 个小正方格， 先找到符合要求的一块后，让 它绕中心旋转 90、180、270便得到其他三块，如右上 图. （二）图形的拼合 【例 4】 （）将方格纸剪成面积是 4 的图形，形状只有七种，如下图所示其中有
9、哪几种自 身可以拼成面积是 16 的正方形? 分析：面积是 16 的正方形，其边长等于 4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是 4 的正方形(如左上图所 示)用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为 4 的正方形(如右上图所示) 通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形因此，用所给图中的七种图形， 共可以拼成 5 种面积是 16 的正方形 巩固下面哪些图形自身用 4 次就能拼成一个正方形？ 分析：用 4 块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形其实用图（1）、 图（2）、图（3）也能拼成 一个大正方形，拼法见右上图 【例 5】 （）用 6 个完全一样
10、的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合你能拼出几 种图形?把它们画出来 分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角 形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图 前铺用 3 个等腰直角三角形拼图，要求 边与边完全重合，能拼出几种图形? 分析： 这种类型的题需要学生亲自操作，建 议教师准备材料与学生互 动。一共可以拼成如下 图的几种形状： 【例 6】 （）用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形 孔的图形 分析：图中所示的三角板， 是直角， 90，因为要拼的有内外两个正方形，所以要将ABC 作为外正方形的角或者拼内正方形的角
11、两种情况，如果三角板可以重合，则还有第三种情况，三种A 情况如右上图所示. （三）图形的剪拼 【例 7】 （）把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个 正方形和长方形的面积相等. 分析：连接正方形的对角线，把正方形分成了 4 个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们 分成 4 个小等腰直角三角形和 4 个等腰梯形.（如图（1）所示），出于分成正方形、长方形面积相等的 要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如 图（2）、（3）所示）. 【例 8】 （）将下图分成两块，然后拼成一个正方形 分析：图形的面积等于 1
12、6 个小方格，如果以每个小方格的边长为 1，那么拼成的正方形的边长应该是 4。因为图形是缺角长方形，长为 6，宽为 3，应将宽加 1，长减去 2 便可得一个正方形，所以分割成两 块后，右边的一块应向上平移 1（原来宽为 3，向上平移使宽为 4） ，向左平移 2（原来长为 6，向左平移 使长为 4） 。如右上图. 前铺试将一个 49 的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形 分析：已知长方形格数 94=36（个），所以正方形的 边长应为 6 个格，因此可以把长方形上半部分成 6 个格、 3 个格，下半部分成 3 个格、6 个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为 6
13、个格的正方形，如上 图. （四）计算型图形拼割： 【例 9】 （）长方形长 24 厘米，宽 15 厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长 20 厘米，宽 18 厘米的长方形. 分析：长方形面积=2415=360（平方厘米），拼成的长方形面积=2018=360（平方厘米），面积相等， 只是长、宽不等，但它们都可以分成 30 个 43 的小长方形，拼成的长方形的一半应有 15 个 43 的小 长方形，即 54+3+2l=15.所以才有如上图的剪切方法. 巩固 如何把一个长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16 厘米、 宽 15 厘米的新长方 形 图 d 图 e 分析：因为原长
14、方形比新长方形的长多 4 厘米，新 长方形比原 长方形的宽多 3 厘米，因此我 们把原长方形 分成 20 个长 4 厘米，宽 3 厘米的小 长方形因 为新长方形的 长为 16 厘米，所以原长方形的长应减少一个 小长方形，而新长方形的宽为 15 厘米，所以原 长方形的宽应 增加一个小长方形可以沿对角线的方向，把 它切成 k 阶梯状的两块，并使他 们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往 上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的 长方形 具体操作中可按图 d 中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如 图 e 所示的长为 16 厘米，宽为 15 厘米的新长方形 【例 1
15、0】 （）正六边形 ABCDEF 的面积是 1 平方米，将六条边分别向两端各延长一倍， 交于六个点，组成如右图的图形，求这个图形的面积. 分析：采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有 12 个小三角 形，原来正六边形的面积是 1 平方米，由 6 个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：12=2（平 方米） 前铺 正三角形 ABC 的面积是 1 平方米，将三条 边分别向两端各延长一倍， 连结六个端点得到一个六 边形（如右图），求六边形的面 积. 分析：采用分割法，右上图中所有小三角形的面 积都相同，所以面积=13 平方米. 【例 11】 （）有一块长 8 米、
16、宽 3 米的长方形地毯，现在要把它移到长 6 米、宽 4 米 的新房间里请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽 量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼? 分析：地毯的面积为(83)24 平方米，新房间的面积为(64)24 平方米，两者虽然长、宽不相等， 但面积相等通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多 2 米，房间的宽比地毯的宽多 1 米，因此，我 们可以把地毯看做由 12 个 21(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左上图所示，要达到题目的要 求，只要使原地毯的长缩短一小格即减少 2 米，使原地毯的宽增加一小格，即增加 1 米，我们可以沿 对
17、角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位 互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动 1 米，再向右平行移动 2 米，即得右上图. 【例 12】 （）把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为 一个正方形. 分析：不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积=105=50（平方 厘米）；乙面积=107-（7-2）4=70-20=50（平方厘米）. 所以甲面积+乙面积=50+50=100（平方厘米），也就是最后拼得正方形的边长为 10 厘米.甲、乙两 图形各有一边是 10 厘米，可视为正方形的一条边，然后把
18、乙剪成三块（如右上图所示）拼成的正方形， 即可. 拓展如下图两个正方形的边长分别是 a 和 b（ab），将 边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同的 图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形. 图（1） 图（2） 图（3） 分析：拼成大正方形的面积应是 aa+bb，设边长 c，则有等式 cc=aa+bb，又因 为将边长为 a 的正方形 切成四个全等形，那么分割线 一定经过正方形中心，假 设切割 线 MN 为大正方形边长，如 图（1），一定有 MNMN=aa+bb，而 MH=a，则：NH=b ，所以 AN=CM=BH=(a-b),由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90到
19、 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块.如图（2）与图（3）.这种分法同时确保图（3）的中 间部分就是边长为 b 的小正方形.这是因为： 1 中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，A， B，C，D，又因为各边长度相等.因此中 心四边形是正方形. 2 中心正方形的边长=a-(a-b)2-(a-b)2a-（a-b）b. 因此，中间部分是边长为 b 的正方形. 专题展望 本章内容我们主要学习了一些常见图形的分割、拼合和剪拼，这为我们进一步学习几何有很大的帮 助，我们在四年级秋季班中还要继续学习复杂图形的分割与拼接，希望同学们再接再厉！ 练习五 1. （例 1）下图是一个 44 的方
20、格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但 要保持每个小方格的完整 分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有 44=16 小格，所以分成 的两块每块有 162=8 个小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从 中心点的一侧入手染色，逐步推进，如下图： 2. （例 3）请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥 数读本”这四个字中的一个，该怎么剪? 分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它 们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相
21、同的 4 块，因为长方形是 64 的，所 以分割后的每一块都有 6 小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的 两部分，对称分成如右上图. 3. （例 5）用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、 一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图 分析：能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一 个平行四边形五种图形建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备 一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示 4. （例 7）试将一个正方形分成相同
22、的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯 形 分析：要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分 法有好几种组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的 三角形如图 5. （例 11）如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是 4 平方厘米，长 方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 分析：取 AB、CD AE 的中点，BC 的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如右上图所示，由于取得点 都是等分点，分割后 7 个小正方形的面积都是 4 平方厘米，10 个小等腰直角三角形的面积都是 2 平方厘
23、 米，可以看出长方形 ABCD 的面积等于：74+102=48（平方厘米） 数学知识 逛市场 今天是星期天，妈妈要带小勇去逛自由市场，小勇很高兴，紧张地学习了一周也该轻松一下了。自 由市场可热闹了，商品齐全，价格灵活，摊主们的经营之道可多了，买主中也不乏精明之人。 在鲜 果市场的一个西瓜摊前，小勇遇到一件新鲜事： 西瓜摊前的广告牌上写道：保熟、保甜大西瓜，价 格便宜，8 斤以下每斤 2 角，8 斤以上每斤 2 角 5 分。一位小伙子挑了一个西瓜，请摊主过秤算钱。摊 主一边过秤，一边喝道：“一元八角五分，五分抹掉，一元八角。”买瓜的小伙子稍稍迟疑，立即说： “你的帐算错了。”聪明的摊主自觉理亏，假装又算了一遍，便客气地说道：“对不起。”小勇在一旁 看得清楚，听得明白，这小伙子没有看秤，怎么知道卖瓜的人把帐算了呢？爱动脑筋的小勇，一边跟妈 妈走，一边琢磨。噢！原来如此。你想起来了吗？
