1、邛崃市 2013 届高三第三次（12 月）月考数学试题（理科） 命题人：梁军 审题人：张全明 一 本 大 题 共 12 小 题 ,每 小 题 5 分 ， 共 60 分 。 （ 每小题的四个选项只有一项是最符合题目要求的）. 1已知集合 |13,|2AxBx，则 RACB等于（ ） A |2B |3C |12xD |13x 2复数 iz（ 是虚数单位）的虚部是（ ） A i54 B i54 C 54 D 54 3等差数列 na中， 2712a，则 8 （ ） A、 2 B、 3 C、 4 D、 6 4有下列四种说法： “若 bama则,2”的逆命题为真； “命题 qp为真”是“命题 qp为真”的
2、必要不充分条件； 命题“ 20,0xRx使 得 ”的否定是“ 2,0xRx都 有 ” ； 若实数 1y,则满足: 12y的概率为 4. 其中正确命题的个数是（ ） A B1 C2 D3 5右图是函数 Rxysin在区间 65,上 的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 Rxysin的 图象上所有的点（ ） A向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到 原来的 21倍，纵坐标不变 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 21倍，纵坐标不变 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长
3、到原来的 2 倍，纵坐标不变 6如图，是一程序框图，则输出结果为( ) A 49B 51C 10 D 613 7. 已知 )2(),()( xfxff ，方程0)(xf 在0，1内有且只有一个根 ，则 0在 区间 5,6内根的个数为（ ） A.2013 B.1006 C.2011 D.1007 8在 2011 年“西博会”会展中心某展区，欲展出 5 件艺术作 品，其中不同书法作品 2 件，甲、乙两种不同的绘画作品 2 件，标志性建筑设计作品 1 件，展出时将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件 绘画作品不能相邻，且作品甲必须排在乙的前面，则该展台展出这 5 件作品不同的
4、排法有（ ） A36 种 B24 种 C12 种 D48 种 9某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙 产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可 获得最大利润是（） A12 万元 B20 万元 C25 万元 D27 万元 10如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是 A1D1 的中点，Q 是 A1B1 上的任意一点， E、F 是 CD 上的任意两点
5、，且 EF 的长为定值现有如下结论： 异面直线 PQ 与 EF 所成的角是定值； 点 P 到平面 QEF 的距 离是定值； 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角是定值； 三棱锥 P-QEF 的体积是定值；二面角 P-EF-Q 的大小是定值 其中错误结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 11设 G是 ABC的重心，且 56sin40sin35sin0AGBCG,则 B为（ ） A 12 B C D 3 12.定义在 R 上的函数 )(,xgf满足： (),()()xfgxfx, ()(),xfag（0a且 ）, ()15,2 在有穷数列 10,2)(n中，任意取正整数 k（1k ） ，则前
6、 k 项和大于 6的概率是 ( ).A5.B5 .C53.D54 第二部分(非选择题) 二、填空题：本题共 4 小题，共 16 分，把答案填在题中的横线上。 13.已知 21()nx的二项展开式的各项系数和为 32，则二项展开式中 x的系数为_ 14如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯 视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为_ 15已知函数 3()sin,(1,)fxx， 如果 210fm，则 m 的取值范围是 _ 16现有下列命题： 设 ,ab为正实数，若 2ab，则 ab； 已知 )(8,则 的最小值为 16； 数列 (4)3n中 的 最 大 项 是 第 4项 ；
7、设函数 lg|1|0xf， ，,则关于 2()+0xffx的 方 程 有 4 个解。 若 sin3xy，则 2sincoy的最大值是 43。 其中的真命题有_。 （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分）设函数 ()sincofxmx()R的图象经过点 2， 1 （）求 ()yfx的解析式，并求函数的最小正周期； （）若 ()2sin1fA，其中 是面积为 32的锐角 ABC的内角，且 2AB，求边AC 的长. 18为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物甲一次种植了 4
8、株沙 柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植 3 株就有 2 株成活，且各株沙柳成活与否是相互 独立的 （）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值； （）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植 24000 株成活沙柳如果参加种植沙柳的人 每人种植 4 株沙柳，且参加种植的人都和甲的种植水平一样，问至少需要多少人来参加种植沙柳， 才能保证有效防止风沙危害 19 （本小题满分 12 分）在如图所示的多面体中，已知正方形 ABCD和直角梯形 AEF所在的平 面互相垂直， ACE， F ， 2AB, 1EF. （）求证： 平面 BD （）求证： 平面 ； （）求二面角 的余弦值。 20. (本
9、小题满分 12 分)已知函数 )0(12)(abxaxg在区间 3,2上的最大值为 4，最 小值为 1，记 (xf. （）求实数 ba、 的值； （）若不等式 ）（）（ log2fkf成立，求实数 k的取值范围； （）定义在 qp,上的一个函数 )(xm，用分法 T: qxxxpnii 110 将 区间 ,任意划分成 n个小区间，如果存在一个常数 M，使得和式Mxmni ii11)() 恒成立，则称函数 )(x为在 q,上的有界变差函数. 试判断函数(f 是否为在 3,上的有界变差函数？若是，求 的最小值；若不是，请说明理由.(参考公式: CDAB ni ni xfxffxf121)()(）
10、) 21.(本小题满分 12 分）函数 1 )(xf ，数列 na满 足： Nnafann ),(,10 。 （）求数列 na的通项公式； （）若 12nab ，对任意正整数 n，不等式 02)1()1()1(32 nnn bkbbk 恒成 立，求正数 k的取值范围. 22 （本小题满分 14 分）已知函数 2()ln(1)fxax （）当 14a时，求函数 的单调区间； （）当 0,)x时，不等式 ()fx恒成立，求实数 a的取值范围 （）求证： 12482(1(1e359()n （其中 *nN，e 是自然对数） 。 邛崃市 2013 届高三月考（12 月） 理科数学参考答案 一、选择题 题
11、号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D A B C C D C D C 二、填空题： 13、10 14、122 15、 )2,1( 16、3 三、17. 解：（1） 函数 ()sincofxmxR的图象过点 2， 1sinco12m -2 分()sin()4fxx 函数的最小正周期 T-6 分 （2）因为 )1fA 即 2sinsi13f A insi3 A是面积为 32的锐角 BC的内角， A -9 分 23sinAS -12 分 18.解：（）设成活沙柳的株数为 X，则 X=0，1，2，3，4， 且有 P(X=k)= 44(1),(0,)kkp （2
12、 分） 据题意，每种植 3 株就有 2 株成活，所以 p= ，故成活沙柳的株数 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 8 87168 X 的期望值 E（X） = 1320483（6 分） （）设参加种植沙柳的人数为 x，则这当中的每一个人都种植了 4 株沙柳据（）的结果，这 些人每人都能种植成活的沙柳 83株，因此，共种植成活的沙柳 83x 株（9 分） 据题意，需 83x24000，解得 x9000 所以，估计至少需要 9000 人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害（12 分） 19证明：（1） 设 AC 与 BD 交与点 O。 EF/ A，且 EF=1， AO= 12AC=1.
13、 四边形 AEF 为平行四边形 .，则 AF/ E， EO面 BDE，AF 面 BDE， AF/面 BDE. 3 分 （2） 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CEAC， CE面 ABCD，连接 F，正方形 ABCD 的边长为 2，ACBD2； 直角梯形 ACEF 中，易得 FOEC，且 FO1；DFBF ， DEBE ， 则 EBF，由 BFDF 2，BD2 可知 DFB， 平面 D (也可用向量法证) 7 分 （3）：取 BF 中点 M，BE 中点 N，连接 AM、MN、AN，ABBFAF 2，AMBF， 又MNEF，EFBF，MNBF，AMN 就是二面角 AB
14、FE 的平面角。 易求得 362AB， 12EF； 在 Rt PN中，可得 24AP， 在 M中，可得 6cos3N， 法二：向量法 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz， 则 )0,2(A， )0,2(B, ),(D , )1,2(F, ,B， 1,F 由（2）可知:平面 E的法向量为 ),2(设平面 ABF 的法向量为 ),( zyxn， 则 012yxn， 0xBAn， 令 1z，解得 ， )1,2( 36,cosnBFD 由图知，二面角 ABFE 的平面角是钝角，故其余弦值为 36（12 分） OCDAFBMNP 20 解： (1) abxag1)(2（ ，因为 0，所以 )(xg在
15、区间 3,2 上是增函数，故4)3(12 ，解得 0. 4 分 (2)由已知可得 12)(xgxf 为偶函数，所以不等式 （22fklogf可化为2logk ，解得 4k或 k， 7 分 (3)函数 )(xf为 3,1上的有界变差函数. 因为函数 )(xf为 3,1上的单调递增函数，且对任意 划分 T: 10 niix ，有 )()()()(1 fffxff n ,所以 )()1120111 nnni ii xffxffxffff 4)(3)(0fxffn , 所以存在常数 4M,使得 Mxmni ii11)(恒成立， 所以 的最小值为 . 12 21解：（1）由题意 11)( 111 nnn
16、n aaaf 所以数列 na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列-3 分 所以： n,-5 分 （2） 121nbabn，-6 分 因为： 02)()()(321 nnbkbbk )1()1()1(3232nbbnk -7 分)()()()( 321 ng )1()1()(52)1( 321 nbbn1564 325445)(3)(2 nngn -10 分154)()()(,)( ming，Nngg上 递 增在即 -11 分154,0k -12 分 22解析：（）当 14a时， 21()ln()4fxx（ 1） ，12()2()fxx （ ） ， 由 0解得 1，由 0fx解得 1 故函数
17、()f的单调递增区间为 (,)，单调递减区间为 (,) 4 分 （）因当 ,x时，不等式 f恒成立，即 2ln10axx恒成立， 设 2()ln(1)gax （ 0） ，只需 m()0g即可 5 分 由 x2(1a， （）当 0时，由 )()xg ， 0,)x， 2(1)0ax， )(/g，故函数 在 0,上单调递减，故 (g成立 6 分 （）当 a时，由 2(1)()xa，因 ,)x，所以 2xa， 若 102，即 1时，在区间 0,上， ()0g，则函数 ()g在 0,)上单调递增，()gx 在 ,) 上无最大值（或：当 x时， ） ，此时不满足条件； 若 a，即 2a时，函数 ()在 1,)2a上单调递减，在区间 1(,)2a上单调递 增，同样 () 在 0,)上无最大值，不满足条件 8 分 综上所述，实数 a 的取值范围是 (,0 9 分 （）据（）知当 0时， ln1)x在 )上恒成立 10 分 又 112()2nnn， 11 分 1482l()()359()n 12n(1)ln1ln1l()2n 1482359()nn 1()()23592nn 2()1n ， 148()e359()n 14 分
