1、基于灰色预测的 SARS 疫情影响的分析 摘要 灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、 教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域 中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛 的应用前景。 2003 年的 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影 响。本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在 2003 年未发生疫情时的预 测数据，与 SARS 疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果 。然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型 及最小二乘法拟合模型进行分析
2、，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分 析，使得结果更加全面、客观。 一、问题的提出 2003 年的 SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别 是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要 分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合 服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就 SARS 疫情较重的某市商 品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。 究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知 某市从 1997 年 1 月到 2003 年 12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务
3、收入的统计数据如表 1、表 2 和表 3。 表 1 商品的零售额（单位：亿元） 年代 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 1998 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 1999 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 13
4、1.3 2000 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 2001 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 2002 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 2003 163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7
5、173.5 176.5 表 2 接待海外旅游人数（单位：万人） 年代 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 1998 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 1999 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 2000 11.4 26.0 19.6 2
6、5.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 2001 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 2002 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 2003 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 表 3 综合服务业累计数额（单位：亿元） 年代 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 1
7、1 月 12 月 1997 96 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972 1998 111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139 1999 151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238 2000 164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497 2001 182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667 2002 216 361 504 642 818 979 1142
8、1305 1479 1644 1920 2003 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估 2003 年 SARS 疫情给该市 的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。 二、问题的分析与假设 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好 地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分： （1）利用灰色理论建立 GM(1,1)模型，由 19972002 年的平均值预测 20 03 年平均值； （2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出 正
9、常情况下 2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出 SARS 疫情 实际造成的影响。 给出下面两条假设： （1）假设该市的统计数据都是可靠准确的； （2）假设该市在 SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与 SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。 三、建立灰色预测模型 GM(1,1) 由已知数据，对于 19972002 年某项指标记为矩阵 ，计算每年62(a)ijA 的年平均值，记为 （3.1）(0)()(0)(0)1,2,6xx 并要求级比 （3.2）(0)(0)i/i.75,1.3)i2,6)i 对 x(0)作一次累加，则 （3.3） (1)(0)()(0
10、)1,k,)iikxxi 记 （3.4）(1)()(1)(1),2,6x 取 x(1)的加权均值，则 （3.5）(1)(1)(1)2,3)zkxk 为确定参数，记 （3.6）(1)()(1)(1)2,3,6zz GM(1,1)的白化微分方程模型为 （3.7） (1)()dxabt 其中 a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。 由于 （3.8）(1)(1)(0)xkxk 取 为灰导数， 为背景值，则方程（4）相应的灰微分方程为(0)xk() （3.9） ()()012,36xkazbk 即矩阵形式为 （3.10）,YBT 其中 （3.11）(0)()(0)2,3,6xx （3.12） (1)(1)
11、 (1)TzzB 用最小二乘法求得参数的估计值为 （3.14）1(a,b)TTBY 于是方程（5）有响应（特解） （3.15） (1)(0)atbxtxe 则 （3.16） (0)(1)(1)(0) (1)k (akxxke 由上式可以得到 2003 年的平均值为 ，则预测 2003 年的总值为 。2Zx 根据历史数据，可以统计计算出 2003 年第 i 个月的指标值占全年总值的比 例为 ，即iu （3.17） 126,(i2,1)ijua 则 ,于是可得 2003 年每一个月的指标值为121(,) uu VZu 四、问题的求解 1、商品零售额 由数据表 1，用以上方法计算可得年平均值、一次累
12、加值分别为 x(0)=(87.6167, 98.5, 108.475, 118.4167, 132.8083, 145.4083) x(1)=(97.6167, 186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225) x(0)的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里取参数 =0.4 比较合适。 由（3.15）式则有 z(1)=(127.0167, 229.5067, 341.9583, 466.1317, 603.98) 由最小二乘法求得 a=0.099，b=85.5985。可得 2003 年的月平均值为 x=16 2.8793 亿元；年总值为 Z=1
13、954.6 亿元。每月的比例为： u=(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818, 0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092) 故 2003 年 112 月的预测值为 V=Zu=(155.2,157.7,146.4,153.5,160.1,159.8, 165.1,163.8,170.5,173.1,169.3,179.8) (亿元 ) 将预测值与实际统计值进行比较如表 4.1 所示。 表 4.1 2003 年商品的零售额（单位：亿元） 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7
14、 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 预测值 155.2 157.7 146.4 153.5 160.1 159.8 165.1 163.8 170.5 173.1 169.3 179.8 实际值 163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 2003 年 商 品 的 零 售 额 预 测 值 实 际 值 图 4.1 2003 年商品
15、的零售额比较示意图 计算所用 M 文件为：lmlmer.m （调用格式为：function out=lmlmer(shuju1)。输入一组数据 shuju1，输出第一 行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在 lml.mat 文件中，此文件可直接 导入 workspace） 2、接待海外旅游人数 由数据表 2，用以上方法计算年平均值 x(0)和一次累加值 x(1)。取参数 =0.4 ， 继而求得加权平均值 z(1) 。 a=0.0938，b=16.2671，x=30.2649，Z=12，x=363.1785 u=(0.0407, 0.0732, 0.0703, 0.0878, 0.0907,
16、 0.0848, 0.0836, 0.1022, 0.101, 0.1041, 0.0914, 0.0701) 于是可得到 2003 年的接待海外旅游人数的预测值，并与实际值比较如表 4.2 所示。 表 4.2 2003 年接待海外旅游人数（单位：万人） 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 预测 值 15.0 27.0 25.9 32.4 33.4 31.2 30.8 37.7 37.2 38.3 33.7 25.8 实际 值 15.4 17.1 23.5 11.6 1.8 2.6 8.8 16.2 20.1 24.9 2
17、6.5 21.8 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 2003年 接 待 海 外 旅 游 人 数 预 测 值 实 际 值 图 4.2 2003 年接待海外旅游人数对比图 计算所用 M 文件为：lmlmer.m （调用格式为：function out=lmlmer(shuju2)。输入一组数据 shuju2，输出第一 行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在 lml.mat 文件中，此文件可直接 导入 workspace） 3、综合服务业累计数据 首先将表
18、3 的数据进行必要的处理，然后计算年平均值 x(0)和一次累加值 x( 1)。取参数 =0.4，可得加权平均值 z(1)。继而可求得 a=0.1361，b=487.7639 ， x=1171.3，Z=11，x =12885 u=(0.0191, 0.031, 0.0433, 0.0591, 0.0728, 0.0875, 0.1046, 0.1205, 0.1358, 0.1515, 0.1749) 于是可得到 2003 年的综合服务业累计数额的预测值，并与实际值比较如 表 4.3 所示。 表 4.3 2003 年综合服务业累计数据（单位：亿元） 月份 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
19、7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 预测值 245.8 399.0 558.2 761.6 937.7 1127.1 1347.6 1552.8 1749.5 1952.0 2253.5 实际值 241.0 404.0 584.0 741.0 923.0 1114.0 1298.0 1492.0 1684.0 1885.0 2218.0 0.0 500.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 2003年 综 合 服 务 业 预 测 值 实 际 值 图 4.3 2003 年综合服务业对比
20、图 计算所用 M 文件为：lmlmer.m （调用格式为：function out=lmlmer(shuju3)。输入一组数据 shuju3，输出第一 行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在 lml.mat 文件中，此文件可直接 导入 workspace） 五、模型的结果分析 根据该市的统计报告显示，2003 年 4、5、6 三个月的实际商品零售额分 别为 145.2、124、144.1 亿元。在这之前，根据统计部门的估计 4、5、6 三个 月份 SARS 疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失 62 亿元左右。从我们的模型预测结果来计算，4、5、6 三个月的损失为 6
21、0.1 亿元，这个数基本与专家的估计值相符，8 月基本恢复正常，这也说明了模型 的正确性和可靠性。 对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的 4、5、6、7 四个 月就损失 100 多万人，按最新统计数据，平均每人消费 1002 美元计算，大约 损失 10 亿美元。全年大约损失 162 万人，约合 16.2 亿美元，到年底基本恢复 正常。 对于综合服务业中的部分行业影响较大，如航空交通运输、宾馆餐饮等， 但有些行业影响不大，如电信、通讯等，总平均来看，影响还不算太大， 5、6、7、8 四个月大约损失 70 亿元。 该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也 适用于
22、其它方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用 性。 六、运用其他模型进行分析 以对接待海外旅游人数的分析为例。由表 2 中的信息，1997-2002 年 1-12 月的海外旅游人数矩阵 ：1M （6.1） (1)(1,2)1(6,)(6,)(,mxy ， 对 数据进行分析时，可将上述矩阵化为一行向量：1M （6.2）1(1,)(,2)(1,2)(,)(2,)(6,12)Nxmm 将 用 matlab 描点连线，画出图像如下：1()x 0 10 20 30 40 50 60 70 805 10 15 20 25 30 35 图 6.1 各月接待的海外旅游人数 由图可看出，每一年
23、各月海外旅游人数近似于周期数列，只是后一年单月 比前一年同月几乎均有一定程度的增长，且可以看出在同一年中各月海外旅游 人数却没有太大关联。可以将每一年同一个月的海外旅游人数进行分析比较， 运用三次多项式拟合法对某一年 12 个月的数据 用三次多(n,1)(,2)(n,12)m 项式 （6.3） 3210yaxxa 进行拟合，发现部分月份同比接待旅客人数有所减少。由 2003 年政府的政策和 实际中国的经济发展程度可推测，当年各月接待海外游客人数理论上同比是不 会减少的，所以建立此类模型是不合适的。经过分析及多次实验，发现使用二 次多项式拟合比较合理。 1. 用多项式拟合 （6.4） 23010
24、00(t)(t)(t)ybb 令 ，通过程序计算（见附录 5.1） ，可得每月的拟合函数为（以下显示部分05t 结果）： 234 256 27820.7.139(t5)0.18(t5)8764t.t6()()2.91.530t.14t58yy70 从而拟合出 2003 年每一个月接待游客的人数，以 2003 年 7 月和 8 月的拟 合曲线为例，画出图形如下： 1 2 3 4 5 6 720 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 4 5 6 724 26 28 30 32 34 36 图 6.2 各年 7 月接待游客拟合曲线 图 6.3 各年 8 月接待游客拟合曲线
25、 上图拟合较好且符合实际，根据此模型，通过程序（见附录程序） ，可得到 2003 年 1-2 月各月预测接待的外国游客人数如下： 表 6.1 多项式拟合出的各月接待外来游客数 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 预测值 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 实际值 15.2 36.5 26.0 32.2 32.8 31.1 28.3 35.8 33.1 32.9 26.9 27.8 所以，2003 年 1-12 月，北京市因为 SARS 造成的
26、接待外来游客人数总的减 少量 168.1 万人。 2用最小二乘法拟合 通过对数据进行观察，由前面的分析可知，样本数据是具有周期性的，可 以看作以一年（12 个月）为一个周期，后一个周期数据总体比前一个周期都有 明显的增加。可以使用傅立叶级数与线性函数的叠加作为目标函数： （6.5）122()cos()sin()nFtatbtcdT 运用最小二乘法，编写程序计算出目标函数（程序见附录 5） ，所得函数如 下： （6.6） 2244()-.896cos()-3.6504sin(-.179cos()-2.80sin(1 1 0.4.7.65.7+.57cos()-0.59sin(+0.92121Ft
27、tttttt） ） ） cos()+0sin(126.8ttt ） 通过上式画出图像： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 5 10 15 20 25 30 35 图 6.4 各月接待的海外旅游人数原始数据与拟合曲线对比图 其中，浅色虚线为原始样本数据，深色实线为拟合曲线。由于 2003 年发生 SARS 疫情，所以所得到的结果有较大偏差。由拟合函数可以得到 2003 年 1-12 月的预测值，结果如下： 表 6.2 用最小二乘法拟合出的各月接待外来游客数 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 预测值
28、 12.8 20.5 20.7 23.1 22.3 21.3 22.2 27.3 27.3 28.7 26.0 20.5 实际值 15.2 36.5 26.0 32.2 32.8 31.1 28.3 35.8 33.1 32.9 26.9 27.8 为实际北京市接待的外国游客人数，通过下式W()t （6.7）()74)-W( t=1,2345,6StF， 计算得 2003 年 1-12 月每个月预测接待的人数与实际人数的差值，可解得 2003 年 3-8 月，北京市因为 SARS 造成的接待外来游客人数总的减少量为 113.5492 万人，与通过泰勒级数模型求得的人数相差仅 8 万人，可证明此
29、模型 的正确性。 经查询，可估计2003年北京市游客人均消费1035美元，通过 （6.8） 61M()()itStm 经计算北京市旅游业因此造成的直接经济损失约为 11.752 亿美元。 对北京市在 2003 年 3-8 月旅游业损失的游客人数进行分析，用二次多项式 进行拟合（程序见附录 5） ，拟合函数为： （6.9）2s(t)=-.90 +34.571.36x 七、模型对比分析 将以上三种模型对接待海外旅游人数的预测结果总结如下： 表 7.1 三种模型预测结果总结表 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 实际值 15.4
30、 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 多项式拟合 15.2 36.5 26 32.2 32.8 31.1 28.3 35.8 33.1 32.9 26.9 27.8 最小二乘法 12.8 20.5 20.7 23.1 22.3 21.3 22.2 27.3 27.3 28.7 26 20.5 灰色预测 15.0 27.0 25.9 32.4 33.4 31.2 30.8 37.7 37.2 38.3 33.7 25.8 用图形表示如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 1月 2月 3月 4月 5月
31、6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 模 型 预 测 结 果 总 结 实 际 值 多 项 式 拟 合 最 小 二 乘 法 灰 色 预 测 图 7.1 模型预测结果总结图 由图 7.1 可得如下结论： 1、 灰色预测、最小二乘法、多项式拟合三种模型均能反映 SARS 疫情对接待 海外旅游的人数有大幅度的影响，仅仅是影响的幅度被预测的不同。 2、 三种模型预测趋势基本相同，其中，多项式拟合与灰色预测的曲线基本相 同，可初步判定其预测的结果可靠。 3、 实际值的曲线较三种模型的预测曲线统计的人数要少很多，表明 SARS 疫 情对接待海外旅游的人数影响很大，严重影响了中国旅游业的发展。 4、 实际值的曲线与三种模型的预测曲线进行比较，发现从 4 月份，旅游人数 开始减少，直到 11 月份，旅游人数才与预测旅游人数基本持平，说明 SARS 疫情在 4-11 月份之间对旅游业有较大影响。 八、参考文献 1韩中庚,数学建模方法及其应用(第二版),北京:高等教育出版社,2005 2许国根 贾瑛,模式识别与智能计算的 MATLAB 实现,北京:北京航空航天大学 出版社,2012
