1、第十四讲 规律性问题 编写说明 规律性问题和周期性问题紧密相连，我们在暑假的第二讲将对周期性问题进行学习，加之这是考试 前的最后一讲，所以题量将稍稍减少. 教师可在此多多调动孩子们的积极性，让他们自己发现规律，并解 答问题.您如果有时间，也可以对于本班比较薄弱的环节进行强化，帮助孩子们更加深刻的理解原由，巩 固相应阶段应该掌握的内容，在期末考试中取得一个比较满意的成绩. 同时预祝各位老师的教学效果更上一层楼！身体健康！幸福快乐！ 内容概括 无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的 认识问题.特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的
2、变化、庞大数字的计算等等 都有一定的规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目 的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往 往比学会几道题目重要得多. 例题精讲 【例 1】 流水线上生产小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2 个黑，再 1 个白， 然后又依次是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白如此继续涂下去，到第 1993 个小球该涂什么颜色？在前 1993 个小球中，涂黑色的小球有多少个？ 分析:根据题意，小木球涂色的次序是：“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白
3、” ，也就是每涂过“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”循环一次.这里，给小木球涂色的周期是：54321=15.199315=13213，第 1993 个小球出现在上面所列一个周期中第 13 个，所以第 1993 个小球是涂黑色。每个周期黑球共有 2 个， 则一共有 21321=265（个）. 【例 2】 （清华附中培训试题）右图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每 盆花的颜色，请问第 7 行第 5 盆花的颜色？第 20 行第 5 盆花的颜色？ （从左往右 计数） 分析：从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；第 7 行第 5 盆花的 颜色：1+2+3+4+5+6+5=26（
4、盆） ，264=62，所以是蓝色；第 20 行第 5 盆花的颜色： 1+2+19+5=195，1954=483，所以是白色的. 【例 3】 （小学数学奥林匹克初赛民族卷）有一列数：2、3、6、8、8、从第三个数起，每个数都是 前两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第 80 个数应是 . 分析：这串数为：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、 6、，除去前 两个数外，其余各数每六个-组，按 6、8、8、4、2、8 的顺序重复出现.(802)6=786=13，因此， 这串数的第 80 个数是 8. 【例 4】 （迎春杯决赛）如果按-定规律排出的加法算式是：
5、3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，.那么， 把各个算式中前后两个加数分别排到第 10 个就是 和 ；第 80 个算式就是 . 分析：讲解此题之前教师可根据本班情况对等差数列的有关性质进行适当回忆巩固.各算式中前面的加数 依次排成-个首项是 3、公差为 2 的等差数列；各算式中后面的加数依次排成-个首项是 4、公差是 5 的等 差数列.因此，第 10 个算式的前-个加数是 3+2(10-1)=21，后-个加数是 4+5(101)=49；类似地， 第 80 个算式是 161+399. 【例 5】 （小学数学奥林匹克决赛）有-列数 1，1989，1988，1，1987，从第三个数起，每
6、-个数都 是它前面两个数中大数减小数的差.那么第 1989 个数是 . 分析：数列 1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，中每隔 3 个数有-个 1，去掉 1 以后， 每个数比前一个少 1. 19893=663，所以第 1989 个数是 19896632+1664 . 【例 6】 （迎春杯决赛）已知-串有规律的数： 那么，在这串数中，从左往右数，第25134,.8 10 个数是 . 分析：每个分数的分子等于前-个分数的分母加分子；每个分数的分母等于分子加前-个分数的分母，所 以第 6、7、8、9、10 个分数依次为： 92361059741,486 【巩固】
7、（华罗庚金杯赛）一列数：0、1、1、2、4、7、13、A、从左至右具有一定的排列规律，那么 A 可以是四个数 22、23、24 、25 中的一个数，这个数是？ 分析：从第四个数开始，每个数都等于前面三个数之和，所以 A=4+7+13=24 . 【例 7】 观察下列各数排列规律： 1231241,.4527求 排 在 第 几 个 位 置 ？ 分析：通过观察发现，在这个数列中依次排列着：分母是 2 的有 1 个数，分母是 3 的有 2 个数，分母是 4 的有 3 个数，.如果按分母不同分组：第一组有 1 个数，第 2 组有 2 个数，第 3 组有 3 个数， ，11/27 排在第 26 组第 11
8、 个数.即排在第（12325）11（125）25211336 位. 【例 8】 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，问从左面第一个数起， 数（sh ）100 个数，这 100 个数的和是多少？ 分析：（法 1）：观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：（1，2，3） ， （2，3，4） ， （3，4，5） ， （4，5，6） ，可以发现这串数的排列有这样的规律：第 1、2、3、组中第一个数依 次为 1，2，3，每一组数都是由 3 个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的 3 倍。 1003=331，也就是说，第 100 个数在第 34 组中，并且
9、是 34.求前 100 个数的和，就是求前 33 组数 的和与 34 的和是多少。所以和为：23334334334=1816 . （法 2）：解法中利用分组的思想， （1，2，3） ， （2，3，4） ， （3，4，5） ， （4，5，6），部分学生会 选择每组第一个数相加得：1+2+3+33=561, 那么总和即为 5613336634=1816.可先讲此法， 再提出中位数（中间数字）或者平均数的方式讲解原解. 【例 9】 （迎春杯初赛试题改编）按规律排列的-串数：2、5、9、14、20、27、，这串数的第 2007 个 数是多少？ 分析：讲解此题之前，教师不妨帮助学生回忆下面一道题目，注意
10、运用下题中解决问题的画图分析法. 【前铺】你还记得怎样找出下列数列的规律么？请你根据规律填数。 （1）2、3、5、8、12、 （ ） 、23 （2）0、2、6、12、20、 （） 、42 分析： （1） 学 生一定要掌握这种画图 找 数字规律的方法. （2）法一： 法二 ：原数列可以这样看：01、12、23、34、45、 （56） 、67，其实，有许多数列的 规律不止一种，只要你用心做，总能找到一种规律的. 原题解答：我想有了上题的铺垫，学生们都恍然大悟，但是要一项一项的写到第 2007 个数就太恐怖了， 那么我们有没有一个好的办法解决这个问题呢？我们一起来看看： 第一项=2 ； 第二项=5=
11、2+3； 第三项=9=2+3+4； 第四项=14=2+3+4+5； 第五项=20=2+3+4+5+6； 第 2007 项=2+3+2008=10052007=2017035 .一定要帮助学生体会思路，掌握研究问题的方法. 【例 10】 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字.那么在这串 数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134 分析：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照找一周期的方法，因为这个周期很长，所 以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它 前面四个数之和的个位数
12、字” ，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到：奇 奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇，可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会 出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”. 【例 11】 （06 武汉明心杯数学竞赛）将 l，2，3，50，这 50 个 数按右表的形式排列，则数 50 所在的位置是 A、B、C 中的哪一处？ 分析：观察这个数阵的特点和规律 第 1 列第 1 个数是 12， 第 2 列第 1 个数是 12+1=2， 第 3 列第 1 个数是 32， 第 4 列第 1 个数是 32+1=10， 第 5 列第 1 个数是 52， 第 6 列第
13、1 个数是 52+1=26； 故可推测：第 7 列第 1 个数是 72，第 8 列第 1 个数是 72+1=50所以 50 在图中 A 的位置 【例 12】 有一个正六边形点阵，如右图，它的中心是一个点，算作第一层； 第二层每边两个点(相邻两边公用一个点 )；第三层每边三个点， ，这个六 边形点阵共 100 层。问这个点阵共有多少个点？ 分析 ：首先要搞清从第二层起各层点数的规律，第二层 6 个点；第三层 12 个 点；第四层 18 个点；第 100 层的点数是：699， 这个点阵的点数为： 1+6121869916(123+99) 29701(个)。 【例 13】 如右图，每个小正方形的边长
14、都是 1 厘米，图中的 1、2、3、4分 别表示折线的第 1、2、3、4段。求折线中第 1994、2007 段的长度。 分析：观察图中的折线，发现两条规律：（1）第 2 段、第 4 段、第 6 段的长度 依次为 1 厘米、2 厘米、3 厘米.也就是说，偶数段的长度（厘米数）是这段序 号的一半；（2）第 1 段比第 2 段、第 3 段比第 4 段、第 5 段比第 6 段的长度都 长 1 厘米.19942=997（厘米） ，20082=1004，第 2007 段的长度：1004+1=1005（厘米）. 附加题目 【附 1】 （全国奥林匹克竞赛）有一个横 2000 格、竖 1000 格的矩形方格纸，
15、现从它的左上角开始向右沿 着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再 从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去直到将所有方格都涂满那么， 最后被涂的那格是从上到下的第几行，从左到右的第几列？ 分析：如右图所示，顺时针涂完第 1 圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第 2 行第 2 列的方 格涂完第 499 圈后，有 998 行 998 列被涂了色，剩下 2 行 1002 列未被涂色最后一圈从 500 行 500 列 开始，到 501 行 500 列结束 【附 2】 （迎春杯决赛）自然数按从小到大的顺序排成螺旋形.在 2 处
16、拐第-个弯， 在 3 处拐第二个弯，在 5 处拐第三个弯问拐第二十个弯的地方是哪-个数? 分析：这是一个十分经典的题目，法 1 是参考书上的解答，其解答固然巧妙，帮助 孩子拓宽眼界，但却没什么头绪去找到这样一个办法，法 2 将给大家介绍一个“通 用”的思路，它能帮助你解决更多的问题. （法 1）：过 1 画-条横线，拐弯，画竖线；再拐弯，画横线；.到第二十个拐弯 处，共有 11 条竖线，10 条横线.其中的数共 1110+1=111，即拐第二十个弯的地方是 111. （法 2）：先把拐角处数字找出来，观察规律，我们发现（利用画图法分析差值，发现此规律）： 拐角 1 = 2 = 1+1 ； 拐角
17、 2 = 3 = 1+12 ； 拐角 3 = 5 = 1+12+2 ； 拐角 4 = 7 = 1+12+22=1+（1+2）2 ； 拐角 5 = 10 = 1+（1+2）2 +3 ； 拐角 6 = 13 = 1+（1+2+3）2 ； 拐角 7 = 17 = 1+（1+2+3）2+4 ； 拐角 8 = 21 = 1+（1+2+3+4）2 ； 拐角 9 = 26 = 1+（1+2+3+4）2+5； 依照此规律，我想同学们一定能写出第 20 项=111，但是你能写出第 2007 项吗？聪明的同学会发现偶数 项的规律比较明显，我们可以写出第 2006 项=1+（1+2+1003）2=1007013，所
18、以第 2007 项 =1007013+1004=1008017. 【附 3】把自然数依次排成以下数阵： 1，2，4，7， 3，5，8， 6，9， 10， 如果规定横为行，纵为列.（如 8 排在第 2 行第 3 列）求： （1）第 10 行第 5 列排的是哪个数？ （2）第 5 行第 10 列排的是哪个数？ 分析：这个问题可以从两个方面找规律.（1）第一行是：1，2，4，7，11，；它们相邻两个数之差是 1，2，3，4，5，.第二行是：3，5，8，12，；它们相邻两数之差是 2，3，4，5 ，列也有 类似的规律.这样，第 10 行第一列的数应是：12341055 . 又因为第 10 行中，相邻两
19、数的 差依次是：10，11，12，13，.所以，第 10 行第 5 列的数是：5510111213101.第 5 行第 10 列的数是：（12345）（5678910111213）96 .以上是先考虑行，再考虑列， 也可以先考虑列，再考虑行. 解答规律性问题，关键是找出规律；要找规律，就要靠细致的观察和认真的比较、分析.有时还必须 先考虑几个简单的问题，作一些简单的试算，才能找到规律.当然，找到规律后最好再多举几个例子验证 一下，因为从少数几个例子中得出的结论，有时不太可靠.做完一道题后，最好再想一想，根据这道题隐 藏的规律，能否提出一个新问题？ 【附 4】 （华杯赛复赛）将自然数按如下顺次排
20、列： 1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在这样的排列下，3 排在第二行第-列，13 排在第三行第三列，问：1993 排在第几行第几列? 分析：奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增.第 n 斜行中最大的数是： = n(n+1)，第 62 斜行中最大的数是 6263=1953.第 63 斜行中最大的数是 1953+63=2016，所nS21 21 以 1993 位于第 63 斜行.第 63 斜行中数是由下向上递增，左边第一个数字是 1954.因此，1993 位于第 63 斜行由上向下数第(19931954+1)=40 位.即原阵列
21、的第(6340+1)=24 行，第 40 列. 【附 5】 （04 数学科普电视赛）在圆周上一条直径的两端填上数 1 与 2，第一次将 两端两数的和 1+2=3 填在圆弧的中点，如右图所示；第二次将每段圆弧两端两数的 和 1+3=4，2+3=5 填在这段圆弧的中点；第三次再将每段圆弧两端两数的和 1+4=5，3+4=7，3+5=8 ，5+2=7，填在这段圆弧的中点如此继续下去，当第 8 次 填完数之后，圆周上所有数的和是多少? 分析：每次新填上的数之和是这次填之前圆周上所有数之和的 2 倍，也就是说，每次填完后所有数之和 是 上次填完后所有数之和的 3 倍一开始的两数之和是 1+2=3 填完
22、8 次后所有数之和是：（1+2）33（8 个 3）=19683 . 【附 6】 （小数报数学竞赛）有 50 个同学，头上分别戴有编号为 1，2，3，49，50 的帽子他们按编 号从小到大的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：从 1 号同学开始，按顺时针方向“1，2；1，2；”地 报数，接着报“1”的同学全部退出圆圈，报“2”的同学仍留在圆圈上比如，当编号为 49 的同学(报“1”) 退 出后，编号为 50 的同学(报“2”)留下；然后轮到编号为 2 的同学报“1”，他退出，编号为 4 的同学报“2”， 他留下这样接看报下去当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽子上的编号是几? 分析：从简单情况入手找规
23、律，是小于人数的最大的 2n ，所以这位同学帽子上的编号是 32 . 【附 7】 （迎春杯决赛）真分数 化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是7a 1992.那么 a=_. 分析： 1230.4857,0.14,0.28571,6.,.,.4, 因此，真分数 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是：1+4+2+8+5+7=27，又7a 因为 1992=2773+21，并且 8+5+7+1=21，所以 = ，即 a=6 .7a0.85142 【附 8】 （华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式 19988991 的除数和被除数中各划去两个数字,使得 新算式的结果
24、尽可能小,那么该结果小数点后第 1998 位数字是多少? 分析:被除数划去两个数字最小是 18,除数划去两个数字最大是 99,1899=0.1818,19982 正好整除, 所以小数点后面 1998 位是 8. 习题十四 1有红、白、黑三种纸牌共 158 张，按红色 5 张，后 3 张白色，再 4 张黑色的次序排列下去，最后一张 是什么颜色，第 140 张是什么色？ 分析：根据题意可知，这 158 张纸牌的排列是按（543=）12 张牌为一个周期循环重复出现的.由于 15812=132，所以最后一张为红色；同样 14012=118，第 140 张为白色. 2 （祖冲之杯数学邀请赛）我国古代数学
25、家祖冲之在数学上的重大贡献之一是推算出圆周率 的值在 3.1415926 与 3.1415927 之间，比欧洲早一千多年，约率等是 是 的近似值， 小数点后面第 19967272 位上的数字是_. 分析： ，循环节的长为 6，而：19966=3324，小数点后第 1996 位上的数字是 8.3.142857 3 （07 年 5 年级希望杯培训试题）右面四图是由四个 简单图形 A、B、C、D(线段与圆)组合(记为*)而成.根 据规律画出表示 A*D 的图形. 分析：比较 A*B，B*C，C*D，B*D 可知，A 表示竖线段，C 表示横线段，B 表示大圆，D 表示小圆.所以表 示 A*D 的是小圆
26、加一竖线. 4将 1-100 的自然数按下面的顺序排列：问正方形里的 9 个数和是 90，能否照这样框出 9 个数，使它们的和分别是 170、216、630？ 分析：首先先观察 9 个数的特点.上下两个数的平均数是 10，左右两个数的平均数也是 10，对角线的平均 数还是 10.说明 10 是这九个数的平均数，它们的和就是 90.从这里可以看出，用 33 的正方形框出来的 9 个数的和一定是 9 的倍数.170 不是 9 的倍数，所以不可能和是 170。225 和 630 都是 9 的倍数，是不是 这两个数都可以呢？可以发现，排在最左边一列和最右边一列上的数，不能做这 9 个数的平均数，因为
27、画不出正方形。216 和 6309 分别等于 24 和 70，这两个数分别在哪一列呢？8 个一循环，248=3，正 好在最右边一列，所以画不出来.而 708=86，余数是 6，排在第 6 列，所以能画出来. 5有一个数列：1，2，3，5，8，13，.（从第 3 个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和） 求第 1993 个数被 6 除余几？（这道题需要你耐心解答呦） 分析：如果能知道第 1993 个数是哪个数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容易。由于我们所研究 的是“余数” ，如能构造出数列各项被 6 除，余数构成的数列，问题也可以得到解决.根据“如果一个数等 于几个数的和，那么这个数被
28、 a 除的余数，等于各个加数被 a 除的余数的和再被 a 除的余数” 。得到数列 各项被 6 除，余数组成的数列是： 1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5， ， 观察规律，发现到第 25 项以后又重复出现前 24 项.呈现周期性变化规律.一个周期内排有 24 个数.（余数 数列的前 24 项） ，199324831.第 1993 个数是第 84 个周期的第 1 个数，因此被 6 除是余 1. 6 （从小爱数学邀请赛）在一串分数： ， 是第几个1232342.； ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ；
29、710 分数？ 分析：分母为 1、2、3、4、5的分数分别有 1 个、3 个、5 个、7 个、9 个、 .1+3+5+7+9+11+13+15+17+7=88，88+2(10-7)=94，所以 是第 88、94 个分数.10 7你能找到下图中第 12 行，从左往右数第 2 个数字是几么？ 分析：观察可知在图形中第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，第 3 行有 3 个数，行数为奇数的数字从左往右依次增大，行数为偶数的数字从右 往左依次增大。从第 1 行到第 11 行共有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，则第 11 行最右边的数字是 66，所以第 12 行，从右往左是： 67，68，69，70，71，72，73，74，75，76，77，78，这 12 个数，从左往右数第 2 个数字是 77. 数学趣题 请客的难题 主人要请 9 位客人吃饭，每天请一次，一连请四天.每天客人分成三桌，一桌三位客人.主人希望使 这 9 位客人中的任何两位客人在四天中都有一次并且只有一次在同一桌上吃饭的机会.请你安排每天每张 桌上的客人。 答案：第一天：123，456，789；第二天：147，258，369；第三天：159，267，348；第四天：168，249，357.
