1、我们参赛选择的题号是（从 1/2 中选择一项填写）： 1 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 江西科技师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 洪亚俊 2. 万志远 3. 江海洋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2012 年 6 月 3 日 - 1 - 双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计 一、摘要 本文对方形平面双曲抛物面悬挂薄壳结构进行了理论分析和模型实验,论证了悬 挂薄壳结构的设计概念和方法。采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为 屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度 较大、造型优美等优
2、点,双曲抛物面薄壳的实际工作处于复杂的空间状态，因此 采用简化计算，其设计的基本原则是，在全跨均匀负荷载作用下，设计计算按 一般预应力钢筋混凝土梁式构件进行；在集中载荷作用下（如悬挂吊车）才考 虑空间工作，运用一般解析几知识求解。 关键字：双曲抛物 马鞍面 简化计算 负荷载 - 2 - 二、问题重述与分析 采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防 止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑. 下面是一个单块双曲抛物面薄壳屋盖及其制作过程的大致的示意图 其数学表示由下面两个曲面 1(,)zxy和 2(,)以
3、及平面 ,xayb 围成的空间区域构成. - 3 - 2222+ ,(,) ,xyxyffabzyfaaxyb12(,)()z 其中的参数, 例如, 可以是0.6m;.2 ;.48 ;.5 m;=0.2 ;.1 xyffb 把直径为 6 mm(或 5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线 2xzfa 的 临近处从原点(0,0,0) 往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土 或树脂. 示意图见图 1. 注意: 做本题时有一些工程术语我们无需详细了解. 图 1 马鞍面薄壳配筋示意图 a) 配筋特征图 ; b) 预应力钢筋投影在 x y 平面上的布置图 ; c) 预应力钢筋布置侧面图. 图中
4、, 1. 几何轴线; 2. 预应力钢筋; 3. 受压钢筋; 4. 钢筋网; 5. 构造钢筋. 1 : 预应力钢筋分布宽度 ; 2: 通过原点的直母线位置. - 4 - 图 2 张拉台座及胎模示意图 1. 钢横梁(锚固面); 2. 两端混凝土边梁; 3. 中间混凝土边梁 ; 4. 边梁之间的联接法兰; 5. 边梁联接处锚固在地里; 6. 60L角钢拉条; 7. 素混凝土垫层; 8. 预应力钢筋 图 3 马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图 本题用到的参数、含义以及数值举例： 0.6 m;.2;1.48; .25m; 0. ;.1 xyffaba 为板宽之半 A, 称为翼缘宽度; .1 ,2.74 A.
5、b 为屋盖长度之半 2Lbl, 称为挑檐长度; =0.5 , Ll . 为屋盖的垂直厚度, 0.5m. 预应力钢筋的直径为 .10.8 ml 1. 就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方 法 解决以下问题： - 5 - 1.1. 把预应力钢筋理想化为一维的直线. 利用双曲抛物面是直纹面的特点, 把预 应 力钢筋安置在两族直母线处, 即在跨中端面处抛物线 2xzfa 上的点 , 01,2.xkf ma处安放两族直母线钢筋. 并固定( 锚固)在 过原点 (0,)的直母线与平面 1ybl ( 0.8 ml)相交的点处与该直母 线垂直 的锚固面上. 请回答: a. 能安排多少根过点
6、,xkfa的直母线钢筋. 写出这些空间直线的方程, 并 图示之. b. 写出锚固面的方程 , 并写出直母线和锚固面的交点的表示式. c. 求出直母线之间的交点的表示式. d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直 母线 钢筋. e. 根据前面的数据以及 0.1 mx, 具体计算 a d. f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件). 1.2 如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线, 请回答 a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在 2xzfa 临近的哪些点处. 写出 这些 中心轴线的方程, 并图示之. b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式
7、. c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交. 它们的中心轴线在 x-y 平面上的垂直 投影 是可以相交的, 写出交点的表示式. 计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预 应力 钢筋之间的距离, 要尽可能小(最好为零). d. 编制一个通用的程序 (软件). 2. 双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计. 由于制作技术的飞速发展, 我们可以暂且不考虑制作问题. 请利用几种 - 6 - 双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型. 写出它们 的方程, 并图示之. 如果可能, 请说明它们可以用在什么地方. 三、模型假设 1.1 把预应力钢筋理想化为一维的直线 1.2 如果圆柱形预应力钢筋不能简化为
8、直线 四、符号说明1n ， 2 ， 3n ， 4为平面的法向量u ， v， um， v为直线的方向向量 ， 参数r 预应力钢筋半径 A，B 代换量 ,1lfbayx 为已知参量 ， ， z为未知数12,ck 为未知参量 五、模型的建立与求解 1.1.由题意解得中端面的方程为： 22)()(,(byfaxfyz 令 yxfBf22A， 即中端面议程为 )(),(2ByAxByAxz 所以 U 族直母线方程为 )1,()( 021unzuBAx， 同理可得 V 族南母线方程为 ),()(4 3BvAzvyx， 所以 U 族直母线的方向向量 2,121unu 同理 V 族直母线的方向向量 )(43v
9、 - 7 - 所以过原点（0，0，0）的 U 族直母线的方向向量 )0,1(ABmu 同理可得过原点(0,0,0)的 V 族直母线的方向向量 v 即过原点(0,0,0)的 U 族直母线的方程为 0ZyAx 同理过原点(0,0,0)的 V 族直母线方程为 B 所以过原点(0,0,0)的 U 族直母线与 1lby的交点分别为)0,)()0,(A11BllbB和 所以锚固面方程分别为 0)(1)()()(1 111 lbyABlbxlbyAlx和 同理可得 V 族直母线与两直线的交点分别为 )0,()0,( 111lBllBb和 所以锚固面方程分别为 0)(1)()()(1 111 lbyABlbx
10、lbyAlx和 如图 b 预应力钢筋投影在 x-y 平面上的布置图 可知 U 族直母线在 x-y 平面上的投影方程为 01cByAx 所以过点(a,b)的直线方程为 0baByAx - 8 - 所以过点(a,b)的直线与 x 轴的交点为 )0,(BbAa 所以 U 族直母线上预应力钢筋的条数为 12 x 由对称性可知在 V 族上有同样多的预应力钢筋，所以总的钢筋数为2)(4xBbAa 所以 U 族直母线上的钢筋在 x-y 平面上的投影方程为 01xkByA 同理 V 族直母线上的钢筋在 x-y 平面上的投影方程为 所以交点为 01xkByA)(221kxByA 又因为交点在双曲抛物面上，所以交
11、点坐标为(x,y,z(x,y) 因为 U 族直母线的方向向量 ),(Aunu U 族直母线对应的锚固面的法向里为 01Bm 所以直母线和锚固面的法线之间的夹角为 unarcos 同理可得 V 族直母线与其锚固面的夹角为 vmr e. 根据前面的数据以及 0.1 x, 具体计算 a d. 代入数据得 a. 能安排多少根过点 ,xkfa的直母线钢筋. 写出这些空间直线的方程, 空间直线的方程为： zxkByAx*1/ 和 zxkByA*2/ 钢筋条数： 1 /2ba - 9 - 2/*42xBbAa b. 写出锚固面的方程 , 并写出直母线和锚固面的交点的表示式. 锚固面的方程为： 0218*37
12、5126*85097162 yx 02yx 交点为： 0,1856*8097和 0,21856*82970137121652yx2856*8097 交点为： 0,125和 0,156*97 c. 求出直母线之间的交点的表示式. 直母线交点： 214),(*264015),(*15037 ,),(, kkkyxzBAyxz d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直 母线钢筋. 20938721.0695740714. 862.arcos unmu - 10 - 20938721.0695740714. 862.arcos vnmv 1.2 如果圆柱形预应力钢筋不
13、能简化为直线，我们可以考虑将上问所得的两族直 母线分别向上和向下平移预应力钢筋半径 r 个单位(使两根圆柱形预应力钢筋之 间的距离, 要尽可能小(最好为零).),我们不妨将 U 族直母线向上平移 r 个单位得 到相应的方程为 rzuByAx)( 即为 U 族中心轴线方程，将 V 族直母线向下 平移 r 个单位得到相应的方程 rzvyx)( 即为 V 族中心轴线方程 所以圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在 2xfa 临近的 处)2(,arkfx.),210(k 由经验可知锚固面方程不变，所以要求中心轴线和锚固面的交点只要联立中心 轴线方程和锚固面方程即可解得交点坐标，中心轴线在 x-y 平面上
14、的垂直投影 的交的 x,y 的形式是不变的为 )(221kxByA 所以交点坐标为 )0,(),(121krkA，这些交点垂直方向的两根圆柱形预应 力钢筋之间的距离为 0. 6、模型优缺点分析 模型的优点：模型 1 把预应力钢筋理想化为一维的直线,简化了计算， 模型 2 言简意赅。 模型的缺点：模型 1 建模时假设没有考虑到钢筋的粗细，模型 2 过 - 11 - 于简单。 7、参考文献 【1】 数学分析 华东师范大学数学系编 高等教育出版社。 北京：2010 年 6 月第 4 版 【2】 解析几何 任明明，张世金编 中国时代经济出版社。 2007 年 5 月 【3】 数学模型 姜启源编著 北京：高等教育出版社2003 年 【4】 运筹学 （第三版）甘应爱等编著 北京：清华大学出版 社，2005 年 【5】 数学模型引论唐焕文，贺明峰编著 北京： 高等教育 出版社2005 年 【6】最优化方法何坚勇编著 北京：清华大学出版 社2007 年
