1、 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 圆中的分类讨论 由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆 的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在 直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨 论思想。 一、点与圆的位置关系不唯一性 例1.若所在O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为 b（ab） ，则此圆的 半径为（ ） 。 （A） （B） （C） 或 （D）a+b 或 ab 分析：P 可能在圆内，也可能在 圆外。 图
2、11 图12 P 在圆内时。如图11。 连接 O、P 所在的直线交 O 于 A、B 。 则 PA=a，PB=b 直径 AB=PA+PB=a+b，半径 OA=OB= AB= （a+b） P 在圆外时。如图12。 此时直径 AB=PAPB=a b ，半径 OA=OB= AB= （ab） 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 由可知，应选（C） 。 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例2.O 的半径为5cm ，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 与 CD 之间的距离是（ ） 。 （A）7cm （B）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 分析：弦 AB 与 CD
3、可能在圆心的同侧，也可能在 圆心的异 侧。 图21 图22 弦 AB 与 CD 在圆心的同侧。如图21。 过 O 作弦 AB 的垂线，交 AB 于 M，交 CD 于 N。连接 OB，OD 。 ABCD ，OMAB，ONCD 由垂径定理，BM= AB=3cm，DN= CD=4cm，又 OB=OD=5cm 在 Rt BMO 中，OM= =4cm，同理 ON=3cm MN= OM ON=43=1 cm 弦 AB 与 CD 在圆心的异侧。如图22。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C） 。 例3如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦 AD，使
4、AD 等于1，并求出CAD 的度数。 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 分析：弦 AC 与弦 AD 可能在直径 AB 的同侧，可能在直径 AB 的异侧。 弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的同侧。如图31。 连 OC、OD。由 OC=OD= AB=1，AC= OC +OD =AC AOC=90，CAO=ACO=45 又 OA=OD=AD，DAO=60 DAC=DAOCAO=15 弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的异侧。 此时，DAC=DAO+CAO=115 三、点在直径上的位置不唯一性 例4已知O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB 于点于点 M。若 OM：OA=
5、3：5，则弦 AC 的长为多 少？ 分析：垂足 M 可能在半径 OA 上，也可能在半径 OB 上。 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ M 在半径 OA 上。如图41。 连接 OC。OC=OA= AB=5cm， 又 OM：OA=3：5，OM=3cm AB 是直径，弦 CDAB 在 RtOMC 中， MC= =4cm 又 AM=OAOM=2cm 在 RtAMC 中，AC= = =2 （cm） M 在半径 OB 上。如图42. 此时，AM=OA+OM=8cm AC= = =4 （cm ） 四、弦所对圆周角的不唯一性 例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）
6、。 30或60（B）60（C）150（D ）30或150 （A） （B） 分析：弦（不是直径）所 对的弧有两条，一条 优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互 补。 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。 由 AB=0A=OB，AOB=60 ACB= AOB=30 ADB= （360AOB ）= （36060）=150 故选（D） 五、圆与圆的位置关系不唯一性 例6如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆 A 的半径为3cm，则圆 B 的半径是（ ） 。 5cm （B ）11cm （C ）3cm
7、（D）11cm 或5cm （A） （B） 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 两圆外切。如图61。AB=8+3=11cm 两圆内切。如图62。AB=83=5cm 故选（D） 六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 宝山家教 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！ 例7已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。 圆心在公共弦的异侧。如图71。 连接 O A，O A。由圆的对称性，O O 垂直平分公共弦 AB。 AD= AB=3 在 Rt A O D 中，O D= =4 在 Rt A O D 中，O D= = O O = O D+ O D=4+ 圆心在公共弦的同侧。如图72。 此时，O O = O D O D=4 故这两个圆的圆心距为4+ 或4 。
