1、第十一讲 数学游戏 专题精讲 我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对 策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都 比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.这类问题也属于我们所说的“博弈问题” . 在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同. 但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算.其核心思想有：逆推和对称分组. （一）智取火柴 【例 1】 桌上放着 100 根火柴，甲、乙二人轮流取，每次取 14 根，规定谁取到最后一根谁获胜.
2、假定 双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法. 想 挑 战 吗 ？ 小山和小明玩“得 30”的报数游戏.规则是：从 1 开始轮流报 数，每次可报一个或两个数.比如小山先报 1，小明可以接着 报 2，或 2、3；小山接着报 3，或 3、4，或 4，或 4、5.谁报 到 30 这个数，谁就获胜.小山每次都让小明先报数，结果是 小山每次都赢，小明不服气，觉得这里面有鬼，于是小明让 小山先报数，小山说那也行，咱们改个规矩，谁报 30 谁输行 吗？小明一想也行，结果还是小山赢，你知道小山为什么每 次都赢吗？ 【例 2】 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一
3、枚，硬币平放且不 能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候 就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略. 【例 3】 有 1994 个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取 1 个，2 个或 3 个，取最后一个球的人为失败者. （1）甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？ （2）乙先拿了 3 个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？ 【例 4】 有一种“抢某个数字”的游戏，是两个人从自然数 1 开始轮流报数，规定每次至少报几个数与 至多报几个数(都是自然数)，最后谁报到规定的“某个数字”为胜如“抢 50”游戏，
4、规定每次必须报 12 个自然数，从 1 开始，谁抢报到 50 为胜例如甲先报 l，乙就可接着报 2 或 2，3；若乙报 2，甲 就可接着报 3 或 3，4；若乙报 2，3；甲就可接着报 4 或 4，5依次下去，谁能报到 50 为胜如果你是 甲，并且先报数，有没有必胜的策略? （二）其它游戏中的取胜策略 【例 5】 有 100 个人站成一排，从左到右依次进行 1，2 报数，凡是报 1 的人 离开队伍，剩下的人继续从左到右进行 1，2 报数，最后留在队伍中的人获胜， 如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？ 【例 6】 右图是一种“红黑棋” ，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方规定：下棋时，每
5、人每次只能 走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方 棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格中一直到谁无法走棋时，谁就 失败甲先乙后走棋，问甲有没有必胜的策略？ 【例 7】 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、 向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.规定不能将棋子直 接从左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应 如何取胜？ 【例 8】 在 99 棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角 线走一格.二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者.问必胜的策略是什么？ 【例 9】 甲、乙两个人轮
6、流在一个凸七边形中画对角线规定新画的对角线不能与已经有的相交，画最 后一条获胜如果甲先画，问：谁有必胜的策略? 【例 10】 桌子上有 8 颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子，他们规定，假如甲先拿（当然， 乙也可以先拿），甲可拿任意颗瓜子，但不能拿光，接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿瓜 子的 2 倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿瓜子的 2 倍，这样交替进行，谁最后把瓜子 拿光就算胜利. 红 红 红 红 红 红 红 红 红 红 红 红 专题展望 本讲主要讲了游戏中的取胜策略问题，希望同学们通过本讲的学习掌握在游戏中取胜的数学思想方 法，在游戏中学到知识，请同学们再接再厉，加油！ 练习十一 1. 桌上放
7、着 60 根火柴，甲、乙二人轮流取，每次可取 1 到 3 根，规定谁取到最后一根谁获胜假设 甲先取，那么谁一定获胜，如何获胜? 2. 现有 7 根火柴，甲乙两人轮流从中取 1 根、2 根或 3 根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总 数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略? 3. 两人轮流报数，但报出的数只能是 1 至 10 的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加 和达到 100，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？ 4. 甲、乙二人轮流报数，报出的数只能是 1 至 7 的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个 累加和达到 80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？
8、 5. 在下图的 A 点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右 走 1 步或 2 步(走 2 步时可以拐弯)，最终将棋子走到 B 点者获胜甲有没有必胜 的策略? B A 数学故事 大海盗雷斯家族世代都是海盗头子，到十六世纪中叶时， 更是盛况空前，希尔顿雷斯和艾登雷斯兄弟各自拥有自 己强大的海盗军队，在地中海一带不可一世 终于有一天两兄弟闹不和，都想掌握整个家族，享用家 族世代积攒的财宝但是他们又都不敢跟对方开战，因为他 们都没有必胜的把握，而且就算战胜了对方自己的军队也必 定伤亡惨重，也许从此就一蹶不振，所以双方一直僵持不下， 难以解决他们的父亲眼见分裂之势已成，无法挽回，又不
9、 忍见两个儿子自相残杀，于是想了一个办法，以使事情顺利解决 于是他找了一天把两个儿子召集在一起，说道：“我知道要你们像以前一样相处是不可能了，但你 们要是自相残杀岂不是让我们的敌人占了便宜，或许我们的家族也会有灭亡的危险，所以我想了一个办 法，能令你们和平地分成两个强大的海盗军团，但你们要答应我遵守我所说的规则!”两兄弟见父亲说 的有理便答应了于是老人接着说：“是这样的，我相信你的军队实力足以自立当世.你们惟一想争的 只是家族的财宝，我把财宝中最贵重的部分装在一个箱子中，其余的分别平均装在 99 个箱子中，你们 两个轮流来我这里取箱子，每次取 1 到 lO 箱都可以，不能少取也不能多取，我会把
10、最贵重的一箱放在 最后，你们取到的箱子都归自己所有，谁取到最贵重的一箱谁就继续留在这里，而另一方必须离开地中 海到别处发展，以免互相之间产生摩擦，手足相残 ”两兄弟均觉依照这个办法虽然自己有可能被赶出 家门，但机会是平等的，还算公平，便答应了 等父亲把财宝准备好，又出现了一个问题：谁先取呢?于是讨论决定：双方划拳，胜者决定先取还 是后取划拳的结果是希尔顿.雷斯赢了，他想了一下决定先取于是两兄弟轮流到父亲处取财宝，几 轮下来最后一箱贵重的财宝被希尔顿雷斯取走了艾登雷斯依照约定离开了地中海，再也没有回 来父亲虽然眼见家族分裂老怀伤感，但见两兄弟相安无事也心怀安慰 几十年后，雷斯家族日趋没落，雷斯兄弟也各自在战斗中被西班牙皇家海军击败，他们逃出来后流 落异乡，从此一蹶不振 一日，他们在某个小镇碰见，十分高兴，于是来到酒吧喝酒，后来聊到当年的分裂，艾登雷斯说： “唉，当初运气不佳，被你碰巧取到了大财宝，我才被迫背井离乡!”那知希尔顿雷斯哈哈一笑，说 到：“我决定先取的时候就知道我赢定了!”艾登雷斯非常诧异，问道：“怎么会?你怎么能知道我每 次会取几箱呢?”希尔顿雷斯回答道：“不用知道，我先取一箱，以后每次所取的箱数都与你取的凑 够 1l 箱，这样我就赢定了 ”艾登雷斯想了一下顿时恍然大悟，后悔当时没有明白
