1、第五讲 平均数问题 1.求下列 20 个数的平均数： 306，312，306，308，314，304，318，311，313，315， 314，310，310，320，300，316，320，312，314，315。 解：这是一道很简单的题目，可能计算能力很强的同学能够很快算出来。但是如果掌握了平均数的思想， 一定可以算得更快。我们观察每一个数，发现它们都是 3 位数，而且都是 300 加上一个不大的数。这样， 我们只计算每个数的十位和百位，算出平均数再加上 300，就得到这 20 个数的平均数。 把每个数都减去 300，然后求其平均数： (6+12+6+8+14+4+18+11+13+15+
2、14+10+10+20+0+16+20+12+14+15)20 11.9 那么原来的 20 个数的平均数为 300+11.9311.9 2.某 8 个数的平均数为 50，若把其中的一个数改为 90，则平均数变成了 60。问被改动的数原来是多少？ 解：8 个数的平均数由 80 变成了 90，那么它们的总和增加了多少也就可以知道了。因为只有一个数变了， 这个数变化的值也就可以知道了。 8 个数的总和增加了（9080）880 所以被改动的数增加了 80，那么它原来是 908010 3.7 个数的平均数是 29，把 7 个数排成一列，前 3 个数的平均数是 25，后 5 个数的平均数为 38，则第三
3、个数是多少？ 解：前三个数的和为 253=75 后五个数的和为 325=160 这 8 个数的和为 160+75=235 其中包含着 7 个数的和与第三个数的和 7 个数的和为 297=203 所以第三个数是 235-203=32。 4.五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分,平均得 9.58 分;只去掉一个最高 分,平均得 9.46 分;只去掉一个最低分,平均得 9.66 分.这个运动员的最高分与最低分相差多少? 解：最低分: 9.46 4-9.58 3=9.10(分) 最高分: 9.66 4-9.58 3=9.90(分) 最高分与最低分相差: 9.90-9.10=0.
4、8(分) 5.某校有 70 名男同学及若干女同学参加数学竞赛，平均分为 63 分，参赛男同学平均分为 60 分，女同学 平均分为 70 分，那么该校有多少女同学参赛？ 解：因为女同学平均分为 70 分，男女同学的总平均分为 63 分，女同学平均分高出男女同学混合平均分 70-63=7 分。这也就是说每个女同学都应该调剂给男同学 7 分。 而女同学调剂给男同学的总分数（63-60）70=210（分） ； 女同学人数 210（70-63）=30（人） 。 所以该校共有 30 名女同学参赛。 6.A、B、C、D 四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了 4 次,得到下面 4 个数
5、. 23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4 个数各是多少？ 解：四个数之和为：23+26+30+33=112 四个数分别为： 112-233=43 112-263=34 112-303=22 112-333=13 7.有四个数，每次选其中 3 个，算出它们的平均数，再加上另一个数，用这种方法，计算了四次，分别 得到以下四个数，86，92，100，106 那么原四个数的平均数是多少？ 解：设四个数为 a, b, c, d 则由于四次结果各个不同，所以恰好四次抽取的是不同的三个人，不妨得到 如下结果 13 （a+ b+ c）+ d =86 13 （a+ b+ d）+ c=92 （a+ c
6、+ d）+ b=10013 （b+ c+ d）+a=106 将这四个式子相加 13 （3a+3b+3c+3d）+a+b+c+d=384 所以 2（a+ b+ c+ d）=384 所以四个数的平均数 14 （a+ b+ c+ d）=3848=48。 8.某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时 12 千米，下桥速度为每小时 24 千米。而且上桥与下桥所 经过的路程相等，中间也没有停顿。问这个人骑车过这座桥的平均速度是每小时多少千米？ 解：题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便。仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不 影响平均速度的。我们自己设一个路程好了。 总路程是不影响平均速度的，为计算
7、方便，不妨设为 48 千米。来回两段路，所以每段路是 482=24（千米） 总时间是 2412 + 24243（小时） 所以平均速度是 48316（千米/小时） 9.老师在黑板上写出了若干个从 1 开始的连续自然数 1，2，3，后来擦掉其中的一个数，剩下的数的 平均数是 10.8。求被擦掉的那个自然数。 解：首先我们要估计一下大概有多少个自然数，然后才有分析讨论的可能。 假设老师没有擦掉任何数，那么前 n 个正整数的平均数是 (n1)n2n(n1)2 如果这个数是 10.8，n 应该是 19.6，这不是一个整数。那么我们看接近它的整数： 前 19 个正整数的平均数是(191)210，比 10.
8、8 小。那么只要擦掉一个较小的数就能提高平均 值。擦掉一个数后剩下 18 个，那么擦掉的数是： 101910.8184.4 这既不是一个正数也不是一个整数，当然不行。而且我们发现，如果按前 18 个数计算，那么擦掉的 数是 9.51810.81712.6 这比刚才更远离实际了，所以将数列缩短肯定是一个错误的趋势。那么我们看增长数列会怎样： 前 20 个正整数的平均数是(201)210.5 擦掉一个数后剩下 19 个，那么擦掉的数是： 10.52010.8194.8 虽然这还不是一个整数，但比刚才有了进步，因为是个正数了。那么数列长度增长到 21 时，擦掉的 数是 112110.82015 这就
9、是完全可能的了。10.8 至少要乘以 5 的倍数才会出现整数，那么我们把数列长度再增长 5，看 看数列长度为 26 时会发生什么情况： (261)22610.82581 81 根本还没被老师写到黑板上。这时这个方向的趋势也被我们否定了。 所以老师擦掉的数是 15。 10.某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人，现在将一等奖中最后 4 人调整为二等奖，这样得二等 奖的学生的平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分。那么原来一等奖平均分比二等奖 平均分多多少分？ 解：4 个人调整为二等奖，使得二等奖平均分提高了 1 分，也就是这 4 个人可以“捐献”给每个人 1 分
10、（总共 20 分，平均每人“捐献”5 分） ，使自己依然留有提高了 1 分的平均分。 这样，相当于这 4 个被划为二等奖的人平均高出原有的二等奖平均分 6 分。 10 个人中减去了 4 个，平均分提高 3 分。这个条件如果反过来用，就是“在其余 6 个一等奖中加上 这 4 个人，平均分降低 3 分” 。这就和刚才的条件类似了。可以假设 6 个一等奖每人拿出 3 分（共 18 分） 分给 4 个变成二等奖的人（平均每人分到 4.5 分） ，那 4 个人才能达到降低了 3 分的平均分。 注意：“降低了 3 分的平均分”实际就是没有提高前的一等奖平均分，这也就相当于原有的一等奖 平均分比那 4 个人
11、的平均分高 4.5 分。 这样一来，就有这样的关系： 原一等奖平均分4.5原二等奖平均分 + 6 通过这个式子，我们得到原一等奖平均分比二等奖平均分多的分数，就是这两个数的和：4.5 + 610.5 分。 作业： 1.有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高 13 分,他们的平均分就达到 90 分,如果赵峰的得分降 低 5 分,他们的平均分就只得 87 分,那么这些同学共有_人. 答案：6 人 (13+5) (90-87)=6(人) 2.有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个 数: 86, 92, 100, 106 那么原 4 个数的平
12、均数是_ . 答案：48 (86+92+100+106) 2 4=48 3.甲、乙、丙三人一起买了 8 个面包平均分着吃,甲拿出 5 个面包的钱,乙付了 3 个面包的钱,丙没付钱. 等吃完结算,丙应付 4 角钱,那么甲应收回钱_分. 答案：35 分 40 3 8=15(分) 15 5-4 10=35(分) 4.今年前 5 个月,小明每月平均存钱 4.2 元,从 6 月起他每月储蓄 6 元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超 过 5 元? 答案：10 月份 10 月份起超过 5 元,以 5 元为基数,前 5 月平均每月少 5-4.2=0.8(元),6 月起平均每月增加 6- 5=1(元) (5-4.2) 5 (6-5)=4 从 6 月起,4 个月后每月平均储蓄就超过 5 元. 5.甲班有 51 人，乙班有 49 人，甲班平均分 80 分，乙班平均分 90 分，那么两个班平均分为多少？ 答案：甲班的总分 5180=4080 分 乙班的总分 9049=4410 分 两个班级的总分为 4080+4410=8490 分 两个班级的总人数为 49+51=100 个 所以两个班的平均分数为 8490100=84.9 分。
