1、 学科: 物理 年级：高三 版本：北大附中版 期数：2338 本周教学内容：图像在分析物理问题中的应用 一. 中学物理学习中的图像 图像是研究和分析物理问题的重要方法. 图像能直观和定量反映出相关物理量间的对 应关系和数量变化关系. 我们学过的图像有 : 速度时间图像; 位移时间图像; 振动图像; 波 动图像; 伏安特性曲线 ; 路端电压与电流的关系图像 ; 交流电变化规律图像等. 有些图像的 斜率、面积具有一定的物理意义, 如位移时间图像中图线的的斜率表示运动物体的速度; 速 度时间图像中图线的斜率表示运动物体的加速度, 图线与横轴所围面积在数值上与运动物 体的位移相等. 在直角坐标系中,
2、纵轴表示力 F, 横轴代表时间 t, 画出的图像 是力与时间关系图像, 如图 1 所示. 把前面的知识用来分析力与时 间关系图像, 如果恒力 F1 作用在物体上, 则 F1 在时间 t 内对物体的 冲量 F1 t 与图中矩形矩形面积 abto 相等, 也就是说力的图线与横轴 所围面积在数值上与力的冲量相同. 同理, 变力 F2 在时间 t 内的冲 量与oct 的面积相同. 同样道理, 在直角坐标系中, 用纵轴代表力 F, 横轴表示位移 s, 画出的图像就是力与位移关系图像. 一个劲度系数为 k 的弹簧, 弹 力 F 与弹簧的伸长 x 的关系图像如图 2 所示. 弹簧伸长 x, 则外力 对弹簧所
3、做的功就是 oax 的面积, 即 W= . 这个图也有人称21x 为示功图. 下面我们用图像分析一个问题. 例题 1. 静止在水平面上的物体,先后两次分别用水平恒力 F1、F 2 作用一段时间后撤去 外力, 物体从静止开始运动, 最后又静止.两次物体运动的位移相等. 已知 F1 F2, 比较两次 恒力对物体的冲量, 以下说法正确的是 ( ) A. F1 的冲量大 B. F2 的冲量大 C. F1 和 F2 的冲量相等 D. 无法比较 分析: 由题可知, 这是利用动量定理研究动量改变与冲量关系的问题. 物体从静止开 始运动, 最后又静止, 物体的动量改变等于零. 由于已知量太少, 用理论推导会很
4、麻烦. 我 们可用图像分析. 首先画出力 F1 作用在物体上的速度时间图像. 物体在力 F1 与摩擦力 f 作用下以加速度 a1 做匀加速直线运动, 经一段时间后撤去 F1, 物体因摩擦力作用做匀减速直线运动 , 加速度 为 a(a=f/m), 画出草图如图 3a 所示. 运动总时间为 t1. t F to a b c F1F2 图 1 x F xo aF 图 2 t v t1o a1 图 3a a t v t1o a1 图 3b t v t1o a1 图 3c aaa2 t2 a2 a 以 F2 作用在物体上时, 产生的加速度 a2.由于 F1F2, 肯定有 a1a2, 撤去 F2 后减速时
5、 摩擦力大小与前面相同, 产生的加速度大小仍然为 a. 在图像中表示 a2 和 a 的速度图线的斜 率分别用图 3b 中的 a2 与 a 表示. 但它们构成的三角形什么样呢? 根据两次运动的位移相同,两 次画出的三角形面积应该相同, 第二次画出的三角形形状只能如图 3c 所示. 由图看出, 第 二次物体运动的时间 t2 大于第一次物体运动的时间 t1. 根据动量定理,作用力 F 的冲量 I 与摩擦力在整个运动时间内的冲量 ft 的关系是 I ft = 0. 两次摩擦力相同, 第二次运动时间长, 摩擦力的冲量大, 所以 F2 的冲量大. 选项 B 正确. 从这个题的分析, 可以看出利用图像分析物
6、理问题是一个重要的手段, 它可能使复杂 的问题简化. 二. 根据图像分析具体问题 我们经常见到这种问题, 即给你一个图像, 要求根据已知图像, 回答具体问题.如: 例题2: 图4(a)是演示简谐振动图象的装置。当盛沙漏斗下面的薄木板 N被匀速地拉出 时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系,板上的 直线OO ， 代表时间轴。图(b)是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N 1和板N 2拉动 的速度v 1和v 2的关系为 v 2=2 v 1，则板N 1、N 2上曲线所代表的振动的周期 T1和T 2的关系为( ) A. T 2=T1 B. T2=2T1 C. T
7、 2=4T1 D. T 2=T1/4 分析: 题中给出 v 2=2 v 1, 这说明什么? 这是告诉我们板N 1运动比N 2慢, 它们运动同样 的距离, N 1所用时间是N 2的2倍. 用t表示N 2运动ON距离所用时间, 则N 1运动的时间就是2t. 由(b)图看出, N 1上的单摆在时间2t 内完成一次全振动, 则N 2上的单摆在时间t 内完成两次全振 动. N 1上的单摆振动周期是N 2上单摆振动周期的4倍. 正确选项是 D. 例题3. 图5甲所示的电路中，电池的电动势为3.0V ，内阻不计。A、B、C是三个完全 相同的小灯泡，每个小灯泡的伏安特性曲线如乙图所示。根据电路结构和小灯泡的伏
8、安特 性曲线，并通过计算，然后正确填写下表。 A B C 小灯泡目前的电阻 () 小灯泡目前的功率(W) 分析: 甲图中灯 A 并联在电源两端 , BC 串联后并联在电源两端. 电源内阻不计, 所以 灯 A 两端电压为 3V, 灯 B C 两端电压分别为 1.5V. o oN( a ) O N1 O N2 ( b )图 4 E A B C 甲 0 0.20 0.1 0 0.3 0 1.0 3.02.0 U/V I/A 乙图 5 图中小灯泡的电流电压关系图线不是直线, 这是因为金属的电阻率随温度升高面增大 的缘故. 从图乙可以看出,小灯泡在电压为 1.5V 时,电流为 0.20A, 电压为 3V
9、 时,电流为 0.25A. 灯 A 的电阻 RA= UA/IA=3/0.25=12; 电功率 PA= IA2RA=0.25212W=0.75W. 灯 B C 的电阻 R=U/I=1.5/0.20=7.5. 电功率 P=I2R= 0.2027.5W=0.3W. 把答案填到表格中, 如下图所示. A B C 小灯泡目前的电阻() 12 7.5 7.5 小灯泡目前的功率 (W) 0.75 0.3 0.3 三. 利用图像分析问题 有些物理问题, 用理论分析比较困难, 如借助于图像,可能就很简单.例题1就是一个 例子.这里我们再举两个例子. 例题 4. 一辆汽车在恒定的功率牵引下, 在平直公路上由静止出
10、发, 在 4min 的时间里 行驶了 1800m. 假定运动的汽车所受阻力大小恒定不变 , 在 4min 末汽车的速度 ( ) A. 等于 7.5m/s B. 一定小于 15m/s C. 可能等于 15m/s D. 可能大于 15m/s 分析: 首先要明确7.5m/s, 15m/s是什么意思. 汽车在4min时间内行驶了1800m, 它的平均速度是7.5m/s.如果汽车做匀加速直线运动, 则初速度为零, 4min内位移是1800m, 则4min时刻的速度是15m/s.它的速度时间图像如图6a 所示. 汽车以恒定功率由静止开始加速时, 汽车所受牵引力 F=P/v ,它是随汽车的速度增大而 减小,
11、 汽车做加速度逐渐减小的加速运动, 当加速度. 在速度时间图像中速度图线是斜率 逐渐减小的一段曲线,如图6b所示. 把两个图像叠加起来,它们在相同时间内位移相同,即面积相同,图像只能如6c所示.由 图可知,汽车在4min时的速度一定比15m/s 小,选项B正确 例题 5. 灯泡的伏安特性曲线如图所示，若 将三个同样的灯泡串联接在 12V 的电压下，通 过每盏灯的实际电流为_A 。若将一盏这样 的灯泡和一个 15 欧姆的电阻串联，接在 8 伏电 压下，这盏灯的实际电压为 V。 （取一位 有效数字）此时，系统的电功率 P= W。 分析: 三个灯泡串联在 12V 电压下, 每个灯泡的工作电压为 4V
12、. 由图 7 看出,对应的电流为 0.60A. 则通过每个灯泡的电流为 0.60A. 第一个空填 0.60. 把一个 15的电阻与小灯泡串联, 接到 8V 电压上. 由于小 灯泡的电阻未知, 无法确定通过小灯泡中的电流. 这时我们可以 设想这样一个模型. 把恒定 8V 的电压与固定 15的电阻设想成 t/min v 4o 图 6a t/min v o 图 6b t/min v 4o 图 6c 15 15 2 I/A 0.8 0 0.4 84 6 U/V 图 7 2 I/A 0.8 0 0.4 84 6 U/V 图 7b I = 0.53A 2 I/A 0.8 0 0.4 84 6 U/V 图
13、7c 一个电动势 E=8V, 内阻 r =15的电源. 小灯泡电阻是个未知量, 假定它在零与无穷之间. 如果小灯泡电阻为零, 则通过它的电流为 0.53A( 8/15), 两端电压为零. 如果小灯泡的电阻 为无穷大, 则通过它的电流为零, 两端电压为 8V. 在 IU 图像上画出的图线如图 7b 所示. 满足题意的结果就在这条直线上. 但究竟是那一点, 无法确定. 图 7 给出小灯泡的伏安特性曲线, 图 7b 又是小灯泡与电阻串联后接到 8V 电压上的图 线. 小灯泡就同时满足这两个条件. 因此, 把两个图线叠加起来, 如图 7c 所示. 两图线的交 点, 就是同时满足两个条件的解 .由此得出
14、, 通过 小灯泡的电流是 0.40A, 电压是 2.0V. 由 于题目只要求 1 位有效数字, 第二空填 2 . 这里的系统是指小灯泡和 15串联的整体. 通过它们的电流为 0.4A, 两端电压为 8V, 系统消耗的电功率为 3.2W, 第三空填 3.2 . 例题 6. 用图 8 所示电路测电容器的电容. 实验器材有带数字显示 的学生直流稳压电源，秒表，待测电容(约 1000 左右)，电阻(10k)，F 量程 1mA 的电流表。还有开关、导线若干。首先闭合电键, 给电容器 充电. 然后断开电键使电容器开始放电.在断开电键的同时开始计时, 实验时直流稳压电源的示数是 10V, 测得电容器放电的时
15、间与电流的 关系如下表所示. 求电容器的电容. 实测数据： 时间/ s 0 5 10 15 20 25 30 35 45 55 电流/ mA 0.9 4 0.6 0 0.4 0 0.2 5 0.1 5 0.1 0 0.0 7 0.0 4 0.0 2 0.0 1 分析: 测量电容器电容的基本原理 是利用公式 C=Q/U.电容器两端电压为 10V,测出电容器的电量是本题的关键. 计算电量的公式是 Q=It.由于题中 给出的电流是随时间变化的变量,不能 用公式直接计算. 我们可以想象,如果 画出放电电流与时间的关系图线,它应 该是条曲线.用纵轴表示电流,横轴表示 时间,则电流图线与时间轴所围面积就
16、是所求的电量.参见图9. 每个小正方形 面积所表示电量的数值是 S0 = 0.1510-3 = 510-4C. 计算时,由于坐标较粗糙, 我们采 取四舍五入的方法.对于曲线下所围面 积超过小方格一半的,这个方格在计算 电量时取上,对于不到一半的小方格舍去.图中打勾的方格即为选取计算电量的方格.总计有 21个.电容器没放电时所带电量 Q = 21510-4C = 110-2C, 电容器的电容为 C = Q / U = 110-2/10F = 110-3 F=1103F。 练习题: 1. 一辆汽车由静止开始沿平直公路做匀加速直线运动. 加速到速度为 15m/s 时立即改 为做匀减速直线运动, 直到
17、静止, 共运动了 60s. 问汽车行驶了多远. mA V R C SE 图 8 10 20 30 40 50 600 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 t/ s i/m A 图 9 2. 如图 10 所示，a、b 和 c 为质量相等的三个弹性小球（可视为质点） ，a、b 分别悬 挂在 l1=1.00m、l 2=0.25m 的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，a、b 相距 10cm。现在 c 从 a 和 b 的连线中点处以 v0=5.0cm/s 的速度 向右运动，则 c 将与 a 和 b 反复碰撞而往复运动。已知碰撞前 后弹性小球 c 均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞
18、过程 中没有机械能损失，碰撞后 a 和 b 的摆动均可视为简谐运动。 从 c 球开始运动作为时间零点，以水平向右为正方向，试在图 11 中画出 10s 内 c、b 两球运动的位移时间图象，两图象均以 各自的初始位置为坐标原点。 3. 甲、乙两车同时由静止从 A 点出发，沿直线 AB 运动。甲先以加速度 做匀加速直a1 线运动，经过一段时间后，改以加速度 做匀加速直线运动，到达 B 时速度为 v。而乙一a2 直以加速度 做匀加速直线运动，到达 B 时速度也是 v。若 ，以下说法正确a3 a123 的是 ( ) A.甲、乙可能同时由 A 到达 B B.甲、乙不可能同时由 A 到达 B C.若 ，则
19、甲一定先由 A 到达 B 13 D.甲一定先由 A 到达 B 4.一小型发电机内的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度绕垂直于磁场方向的固定 轴转动，线圈匝数n=100，穿过每匝线圈的磁 通量 随时间按正弦规律变化，如图所示，发 电机内阻r=5.0 ，外电路电阻R=95，已知感 应电动势的最大值E m=nm，其中 m为穿过 每匝线圈磁通量的最大值，求串联在外电路的 交流电流表（内阻不计）的读数。2000年广州 考题 5.如图所示,直线A为电源a的路端电压与 电流的关系图象;直线B为电源b的路端电压与电流的关系图 象;直线C 为一个电阻 R 的两端电压与电流关系的图象。将 这个电阻 R 分别接到a
20、 ,b两电源上,那么 A.R 接到a电源上,电源的效率较高 c 球 b 球 图 11 xc/cm t/s0 5 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xb/cm t/s0 Ab -Ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ab c 图 10 t/10-3s 1.0 -1.0 0 1.57 3.14 4.51 /10-1Wb B.R 接到 b电源上,电源的输出功率较大 C.R 接到a电源上,电源的输出功率较大 ,但电源效率较低 D.R 接到 b电源上,电阻的发热功率和电源的效率都较高 参考答案 1.450m 2. 参见图12. 3. B C 4. 141A 5. C c 球 b 球 图 12 xc/cm t/s0 5 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xb/cm t/s0 Ab -Ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
