1、二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 1 页 共 13 页 序篇 线段中分类讨思想的应用 线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例 1 已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为_3：2_ 或 _3：4_。 练习：已知 A、B、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M 为线段 AB 的中点，线段 BC=3cm，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长. 解析：(1)点 C 在线段 AB 上： (2)点 C 在线段 AB 的延长线上 NMA BC NMA B C 例 2 下列说法正确的是（ ） A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果
2、线段 AB=AC 那么点 A 是 BC 的中点。 B、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 与角有关的分类讨论思想的应用 角的一边不确定性引发讨论。 例 3 在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线 OM 平分AOB，ON 平分BOC，求 MON 的大小。 （20或 50） CNM AO B C NM AO B 练习 已知 ,过 O 作一条射线 OC，射线 OE 平分 ，射线 OD 平分 ，o60 AOCBOC 求 的大小。DE （1）射线 OC 在 内 （2）射线 OC 在 外BB B A O C E D B AE D O C 这两种情况下，都有
3、o60E=32 小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？ 虽然 的大小不确定，但是所求的 与ACDE 的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相 同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的 重要性。 三角形中分类讨论思想的应用 1、三角形的形状不定需要分类讨论 A BC1 C2 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 2 页 共 13 页 例 4、 在ABC 中，B25，AD 是 BC 上的高，并且 ADBC，则BCA 的度 数为_。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图 1，当ABC 的高在形内时，由ADBC2 ， 得ABDCAD ，进而可以证明ABC 为直角三角形。由 B
4、25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图 2，当高 AD 在形外时， 此时ABC 为钝角三角形。 由 ADBC2，得ABDCAD 所以BCAD25 BCACADADC2590115 2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我 们要进行分类讨论。 例 5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。 练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等 腰三角形
5、的腰长是 cm，底边长为 cm，可得 或 解得 或xy ,12,9yx.9,12yx,6yx 即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm。.5,8yx b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分 情况讨论。 例 6、已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为（ ） A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或 75 练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45，图 2 中顶角为 135。 2、在 ABC
6、中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角 B=_。 A B D C 图 1 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 3 页 共 13 页 3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例 7、 已知 x，y 为直角三角形两边的长，满足 xy 224560 ，则第三边的长 为_。 4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 例 8、如图所示，在 中， 是ABC 64AP， ， 的中AC 点，过 点的直线交 于点 ，若以 为顶点的三PQ、 、 角形和以 为顶点的三角形相似，则 的长为（ ）ABC、 、 例 2 等腰三角形腰上的高是腰的一半，则该角的
7、度数为. 例 3 已知 BD、CE 是 ABC 的高，直线 BD、CE 相交所成的角中有一个是 50，则BAC_. 例 4 菱形有一内角为 120，有一条对角线为 6cm，则此菱形的边长为_cm. 按图形的位置分类（如坐标系中点的位置，点与直线的位置关系） 例 5 在平面直角坐标系中，点 A（2,5）B（3，1） ，C（1 ，1） ，请你再找一个点 D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形.请写出点 D 的坐标为 . 例 6 已知在 ABC 中，AC6 ，BC8，AB10，ABC 绕点 B 顺时针旋转至 ABC的位置，使 A、B、C 三点在一条直线上，则 AA. 例 7 如图，第一
8、象限的点 A 在反比例函数的图象上，过 A 作 AB 轴，垂足为x B，连结 AO，已知 AOB 的面积为 4， (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 A 的纵坐标为 4，过点 A 的直线与 轴交于点 P(异于点 0)，且 APB 与x AOB 相似，求所有符合条件的点 P 的坐标. 1. 已知 A（0,0） ，B （0,3 ）两点，在坐标平面内确定某点的坐标，使顺次连接三 点所组成的图形是等腰直角三角形（请作出图形，并在图上标出各顶点的坐标）. 2. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 BC 边的中点，若 P 为 DC 上一动点，连结 BP，过点 O 作直线 lBP 交 A
9、B（或 AD）于点 Q （1 ）设 DPt（0t2 ） ，直线 l 截正方形所得左侧部分图形的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式 （2 ）当点 Q 落在 AD（不含端点）上时，问：以 O、P 、Q 为顶点的三角形能否是等腰三 角形？若能，请指出此时点 P 的位置；若不能，请说明理由 例、已知：点 A（-1，0） ，B(0，3)，作直线 x =1，在直线 x =1 上 找一点 P,使ABP 为等腰三角形，并求出 P 点坐标。 A B C D 图 2 A CB P O D CB A 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 4 页 共 13 页 二、学以致用 变式 1 在直线 x =1 上是
10、否存在点 Q，使ABQ 是直角三角形 ？若存在，求出符合条件的 Q 点坐 标；若不存在，请说明理由 . 2、已知在矩形 ABCD 中，AB=4，BC= ，O 为 BC 上一点，BO= ，如图所示，以 BC 所在直线2572 为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， M 为线段 OC 上的一点 （1）若点 M 的坐标为（ 1，0） ，如图，以 OM 为一边作等腰OMP，使点 P 在矩形 ABCD 的一边 上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标； （2）若将（1）中的点 M 的坐标改为（4，0） ，其它条件不变，如图，那么符合条件的等腰三角形 有几个？求出所
11、有符合条件的点 P 的坐标； （3）若将（1）中的点 M 的坐标改为（5，0） ，其它条件不变，如图，请直接写出符合条件的等腰 三角形有几个 （不必求出点 P 的坐标） 4、如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB397 的长为 6. 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 5 页 共 13 页 求二次函数的解析式； 在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求 出点 P 的坐标； 在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？ 如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 已知一边构造等腰三角形专题 等腰
12、三角形中的分类讨论 问题 1：如图点 A（2，1） ，在坐标轴上找一点 B，使AOB 是等腰三角形， 情形 1：当 OB=AB (即 OA 为AOB 的底边)时，作 OA 的中垂线，和 x、y 轴分别交于 ， 情形 2：当 AB=AO(OA 为腰且 A 为顶点)时，以 A 为圆心，AO 长为半径画圆, 情形 3：当 AO=OB(OA 为腰且 O 为顶点)时，以 O 为圆心，AO 长为半径画圆， 请下结论：这样的点 B 一共有 个. 问题 2：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A 、B 是两格点，如果 C 也是图中 的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是( ) A
13、6 B7 C8 D9 问题 3：正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面内确定一点 P，使PAB、PBC、 PCD、PDA 同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） ，并写出它们的坐标（看看谁能找全） 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 6 页 共 13 页 B A 课堂探究活动 如图六，已知点 A（-4，-2 ）和点 B（-1，-3）， 以线段 AB 为底，作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？ 以线段 AB 为腰，作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？ 作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？ 题后反思（
14、注意点）： 课堂探究活动 2 如图七，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A(-2,0)，与 y 轴交于点 B(0,-3)，连接 AB，在坐标轴上有一点 C， 连接 AC、BC，使ABC 为等腰三角形，你能找到点 C 的位置吗？ 题后反思（注意点）： 课堂探究活动 3 如图，已知ABC 中，B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开 始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒 2cm，它 们同时出发，设出发的时间为 t 秒 （1）当点 Q 在边 BC 上运动时，通过计算说明 PQ 能
15、否把ABC 的周长平分？ （2）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ 成为等腰三角形的运动时间 题后反思（注意点）： 【巩固练习】如图，直线 和 相交于点 B，点 A 是直线 上的点，在直线 上寻找一点，使ABC 是1l2 1l2l 等腰三角形，请画出所有符合条件的等腰三角形。 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 7 页 共 13 页 1. 如图所示，A、B 是 45 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，请在图中清晰标出使 以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置 等腰三角形存在性之夹角固定、两点动 3. 如图，在ABC 中，ACB=90，AC=4
16、 ，BC=3动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动；动点 Q 同时从点 B 出发，以每秒 2 个单位 长度的速度向点 A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运 动设运动的时间为 t 秒，当APQ 为等腰三角形时，t 的值为 ( ) 4.如图，在平面直角坐标系中，AOB 的三个顶点坐标分别为 O(0，0)，A(4，2) ，B(6，-2)，动点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度向点 O 运动，动点 Q 同时从点 O 出发，以每秒 个单位长度 的速度向点 B 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动的时间为 t 秒，当OPQ 为等腰三
17、角形时，t 的值为( ) 4. 2. 如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C已 知点 B 的坐标为（8，0 ） ，若在抛物线的对称轴上存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，则点 Q 的坐标为( ) 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 8 页 共 13 页 1.如图，在ABC 中， ABC=90，AB=6 ，BC=8 动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AC 向点 C 运动；同时，动点 Q 从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动当其中一点到 达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为
18、t 秒，当CPQ 为等腰三角形时，t 的值为( ) 4.如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，3 ） ，B（6，0） 连接 AB，E 为线段 OB 上一点，以 OE 为边 在第一象限内作正方形 OEFG，其顶点 F 恰好落在线段 AB 上将正方形 OEFG 沿 OB 向右平移，记平移 中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG，正方形 DEFG 的边 EF 与 AB 交于点 M，DG 所在的直线与 AB 交于点 N， 连接 DM设平移的距离为 t ，当DMN 是等腰三角形时，t 的值为( ) 4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且四边形
19、OABC 是矩形，OA=5，OC=3已知抛物线 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于点 D，连接 BD点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以同样的速度沿 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 9 页 共 13 页 BAD 匀速运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 同时停止运动设运动的时间为 t 秒，当 DPQ 是等腰三 角形时，t 的值为( ) 直角三角形存在性问题 1. 如图，已知点 在直线 上，P 是 x 轴上一点，若ABP 是直角三角形，则 点 P 的坐标为( ) 解题思路：理解题意，整合信息 将 A，B 两点坐标以及函数
20、解析式都标注在图上 分析特征有序思考，设计方案 分析定点，动点：ABP 中， A，B 是定点，P 是动点； 当定点 A 或 B 为直角顶点时，由于 AB 是定直线，可以利用 求解； 当动点 P 为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或 求解 根据方案作出图形，有序操作 如图当BAP=90 时，过点 A 作 ，交 x 轴于点 ， 如图当ABP=90 时，过点 B 作 ，交 x 轴于点 ， 如图当APB=90 时，过点 B 作 BDx 轴于点 D 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 10 页 共 13 页 结果检验，总结 作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍 2.如图
21、，已知 A（1 ，0） ，B（ 0，3） ，P 是直线 x=2 上一点，若ABP 是以 AB 为斜边的直角三角形，则 点 P 的坐标为( ) A. B. C. D. 3.如图，已知 A(0，2)，B(4，0)，点 C 在 x 轴上，CD x 轴，交线段 AB 于点 D，且点 D 不与 A，B 两点 重合，将ABO 沿 CD 折叠，使点 B 落在 x 轴上的点 E 处设点 C 的横坐标为 x，则当 ADE 为直角三角 形时，x 的值为 ( ) 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两邻边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，顶点 B 的坐标 为（5，2 ） ，D 是点 A
22、右侧的 x 轴上一点，E 是 y 轴负半轴上一点，且 OE=2AD=2t连接 BD，BE，DE， 当BDE 是直角三角形时， t 的值为( ) 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 11 页 共 13 页 如图，一次函数 的图象与二次函数 的图象12xy213yx 交于 B、C 两点；问：在 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角 顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由. 如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y)0(32mxy 轴交于 C 点 （1 ）用含 m 的代数式表示抛物线顶点 M 的坐标（，A、B 两点的坐标； （2 ）是否存在使BCM
23、为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如 果不存在，请说明理由 (二) 与等腰、直角三角形有关的几何动点题 1 (08 山西 )如图，已知直线 的解析式为 ，直线 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，直线 经过1l63xy1l 2l B、C 两点，点 C 的坐标为（8，0） ，又已知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动，点 Q 在直线 从点 C 向点 B 移动。点2l P、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒 1 个单位长度，设移动时间为 t 秒（ ） 。0t （1）求直线 的解析式。2l （2）设PCQ 的面积为 S，请求出 S 关于 t 的函数关系式。 （3）试探究：当 t
24、为何值时，PCQ 为等腰三角形？ 2 （08 宁夏）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，点 P在 AB上从 向 运动，连接 DP交 AC于点 Q O y xD EA B 2 C M C BOA y x 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 12 页 共 13 页 （1）试证明：无论点 P运动到 AB上何处时，都有 ADQ B； （2）当点 在 上运动到什么位置时， 的面积是正方形 C面积的 61； （3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 C上运动到点 ，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时，ADQ 恰为等腰三角形 3 (08 温州)如图，在 RtABC 中，A 90，AB6，AC
25、8，D ，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQBC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动设 BQx，QRy （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （3）是否存在点 P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 4 （08 兰州）如图 1， OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， O为原点，点 A在 x轴的正半轴上，点C 在 y轴的正半轴上， 5，
26、4 （1）在 边上取一点 D，将纸片沿 翻折，使点 落在 BC边上的点 E处，求 D， 两点的坐标； （2）如图 2，若 E上有一动点 P（不与 E， 重合）自 A点沿 方向向 点匀速运动，运动的速度为每秒 1 个 单位长度，设运动的时间为 t秒（ 0t） ，过 点作 D的平行线交 于点 M，过点 作 E的平行线交D 于点 N求四边形 M的面积 S与时间 t之间的函数关系式；当 t取何值时， S有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点 的坐 标 5 （07 郴州）如图 1，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，将矩
27、形 ABCD 沿对角线 AC 平移，平移后的矩形为 EFGH（A 、E、C、 G 始终在同一条直线上） ，当点 E 与 C 重合时停止移动平移中 EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线 交于点 M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点 Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积，S表示矩形 NFQC 的面积 A B C D E R P H Q （第 4 题图） y x BC O A D E 图 1 y x BC O A D E 图 2 P M N 二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 13 页 共 13 页 （1） S 与 S相等吗？请说明理由 （2）设 AEx，
28、写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出 x 取何值时 S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图 2，连结 BE，当 AE 为何值时， ABE 是等腰三角形 6 （08 河南）如图，直线 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）43y （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个 单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S=4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 OA C B x y Q P N M H GF E D CB A Q P N M H GF E D CB A
