2018年天津市高考数学试卷(文科).doc

1、第 1 页（共 24 页） 2018 年天津市高考数学试卷（文科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=1，2，3，4，B=1，0，2，3，C=x R|1x2，则 （AB）C=（ ） A 1，1 B0，1 C 1，0，1 D2，3，4 2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+5y 的最大值 为（ ） A6 B19 C21 D45 3 （5 分）设 xR，则“x 38” 是“ |x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应

2、的程序，若输入 N 的值为 20，则输 出 T 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）已知 a=log3 ， b=（ ） ，c=log ，则 a，b，c 的大小关系为 （ ） Aa b c Bbac Ccba Dcab 6 （5 分）将函数 y=sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对 应的函数（ ） A在区间 上单调递增 B在区间 ，0上单调递减 C在区间 上单调递增 D在区间 ，上单调递减 7 （5 分）已知双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线

3、的同一条渐近线的 距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ） 第 3 页（共 24 页） A =1 B =1 C =1 D =1 8 （5 分）在如图的平面图形中，已知 OM=1，ON=2 ，MON=120， =2 ， =2 ，则 的值为（ ） A 15 B9 C6 D0 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 （5 分）i 是虚数单位，复数 = 10 （5 分）已知函数 f（ x）=e xlnx，f（x）为 f（x ）的导函数，则 f（1）的值 为 11 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1

4、BB1D1D 的体积为 12 （5 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0）的圆的 方程为 13 （5 分）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+ 的最小值为 14 （5 分）己知 aR，函数 f（x ）= 若对任意 x3，+） ， f（x）|x|恒成立，则 a 的取值范围是 第 4 页（共 24 页） 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15 （13 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱 心活动 （）

5、应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （）设抽出的 7 名同学分别用 A，B ，C，D，E ， F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件 “抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率 16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知 bsinA=acos（B ） （）求角 B 的大小； （）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A B）的值 17 （13 分）如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD

6、，点 M 为棱 AB 的中点， AB=2，AD=2 ，BAD=90 （）求证：AD BC； （）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 18 （13 分）设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n N*） ；b n是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*） 已知 b1=1，b 3=b2+2，b 4=a3+a5，b 5=a4+2a6 （）求 Sn 和 Tn； （）若 Sn+（T 1+T2+Tn）=a n+4bn，求正整数 n 的值 19 （14 分）设椭圆 + =1（ab 0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭 第 5

7、 页（共 24 页） 圆的离心率为 ，|AB|= （）求椭圆的方程； （）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆交于 P，Q 两点，1 与直线 AB 交于点 M， 且点 P，M 均在第四象限若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值 20 （14 分）设函数 f（x）=（x t1） （xt 2） （xt 3） ，其中 t1，t 2，t 3R，且 t1，t 2，t 3 是公差为 d 的等差数列 （）若 t2=0，d=1，求曲线 y=f（x）在点（0 ，f（0） ）处的切线方程； （）若 d=3，求 f（x）的极值； （）若曲线 y=f（x）与直线 y=（xt 2）6 有三个互异的公共点，

8、求 d 的取 值范围 第 6 页（共 24 页） 2018 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=1，2，3，4，B=1，0，2，3，C=x R|1x2，则 （AB）C=（ ） A 1，1 B0，1 C 1，0，1 D2，3，4 【分析】直接利用交集、并集运算得答案 【解答】解：A=1，2，3，4，B= 1，0，2，3， （AB）=1，2，3，4 1，0，2，3= 1，0，1，2，3，4， 又 C=xR|1x2， （AB）C=1，0， 1 故选：C 【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础

9、的计算题 2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+5y 的最大值 为（ ） A6 B19 C21 D45 【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目 标函数 z=3x+5y 的最大值 【解答】解：由变量 x， y 满足约束条件 ， 得如图所示的可行域，由 解得 A（2，3） 第 7 页（共 24 页） 当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大， z 取得最大值 将其代入得 z 的值为 21， 故选：C 【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件 画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标

10、函数 验 证，求出最优解也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值 3 （5 分）设 xR，则“x 38” 是“ |x|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x38 得到|x|2，由|x |2 不一定得到 x38，然后结合查充分条 件、必要条件的判定方法得答案 【解答】解：由 x38，得 x2，则|x |2， 反之，由|x|2，得 x 2 或 x2， 则 x38 或 x38 即“x 3 8”是“|x|2”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题 4 （5 分）阅读如图的程序框图，运

11、行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输 第 8 页（共 24 页） 出 T 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可 【解答】解：若输入 N=20， 则 i=2，T=0 ， = =10 是整数，满足条件T=0+1=1，i=2+1=3，i5 不成立， 循环， = 不是整数，不满足条件 ，i=3+1=4 ，i5 不成立， 循环， = =5 是整数，满足条件， T=1+1=2，i=4+1=5 ，i5 成立， 输出 T=2， 故选：B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决 本题的关键 5 （5 分）已知 a=log3 ， b=（

12、） ，c=log ，则 a，b，c 的大小关系为 第 9 页（共 24 页） （ ） Aa b c Bbac Ccba Dcab 【分析】把 a，c 化为同底数，然后利用对数函数的单调性及 1 的关系进行比 较 【解答】解：a=log 3 ， c=log =log35，且 5 ， ， 则 b=（ ） ， cab 故选：D 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是 基础题 6 （5 分）将函数 y=sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对 应的函数（ ） A在区间 上单调递增 B在区间 ，0上单调递减 C在区间 上单调递增 D在区间 ，上单调递减 【

13、分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合 y=Asin（x+ ）型 函数的单调性得答案 【解答】解：将函数 y=sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为 y=sin2（x ）+ =sin2x 当 x 时，2x ， ，函数单调递增； 当 x ， 时，2x ， ，函数单调递减； 当 x ，0时，2x ，0，函数单调递增； 当 x ，时，2x ，2，函数先减后增 第 10 页（共 24 页） 故选：A 【点评】本题考查 y=Asin（x+ ）型函数的图象变换及其性质，是中档题 7 （5 分）已知双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 2，过右焦点且垂

14、直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的 距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可 【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y= ，即 bxay=0，F（c，0） ， ACCD，BD CD ，FE CD，ACDB 是梯形， F 是 AB 的中点，EF= =3， EF= =b， 所以 b=3，双曲线 =1（a0，b 0）的离心率为 2，可得 ， 可得： ，解得 a= 则双曲线的方程为： =1 故选：A 第 11

15、页（共 24 页） 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能 力 8 （5 分）在如图的平面图形中，已知 OM=1，ON=2 ，MON=120， =2 ， =2 ，则 的值为（ ） A 15 B9 C6 D0 【分析】用特殊值法，不妨设四边形 OMAN 是平行四边形， 由题意求得 的值 【解答】解：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形， 由 OM=1，ON=2，MON=120， =2 ， =2 ， 知 = =3 3 =3 +3 ， =（ 3 +3 ） =3 +3 =312+321cos120 =6 故选：C 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查了平面向量的

16、线性运算与数量积运算问题，是中档题 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 （5 分）i 是虚数单位，复数 = 4i 【分析】根据复数的运算法则计算即可 【解答】解： = = = =4i， 故答案为：4i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（ x）=e xlnx，f（x）为 f（x ）的导函数，则 f（1）的值 为 e 【分析】根据导数的运算法则求出函数 f（x ）的导函数，再计算 f（1）的值 【解答】解：函数 f（x） =exlnx， 则 f（x）=e xlnx+ ex； f（1）=eln1+1e=e 故答案为：e 【点评

17、】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题 11 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积 【解答】解：由题意可知四棱锥 A1BB1D1D 的底面是矩形，边长：1 和 ， 第 13 页（共 24 页） 四棱锥的高： A1C1= 则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为： = 故答案为： 【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键 12 （5 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0）的圆的 方程为 （x1） 2+y2=1（

18、或 x2+y22x=0） 【分析】 【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方 程 【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0）的圆， 其圆心为（1，0） ，半径为 1， 则该圆的方程为（x1） 2+y2=1 【方法二】设该圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 ， 解得 D=2，E=F=0； 所求圆的方程为 x2+y22x=0 故答案为：（x1） 2+y2=1（或 x2+y22x=0） 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查了圆的方程与

19、应用问题，是基础题 13 （5 分）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+ 的最小值为 【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可 【解答】解：a，bR，且 a3b+6=0， 可得：3b=a+6， 则 2a+ = = 2 = ， 当且仅当 2a= 即 a=3 时取等号 函数的最小值为： 故答案为： 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法， 求解函数的最值考查计算能力 14 （5 分）己知 aR，函数 f（x ）= 若对任意 x3，+） ， f（x）|x|恒成立，则 a 的取值范围是 【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可 【

20、解答】解：当 x0 时，函数 f（x）=x 2+2x+a2 的对称轴为 x=1，抛物线开口 向上， 要使 x0 时，对任意 x3，+） ，f（x）|x |恒成立， 则只需要 f（3）| 3|=3， 第 15 页（共 24 页） 即 96+a23，得 a2， 当 x0 时，要使 f（x）|x|恒成立，即 f（x）=x 2+2x2a，则直线 y=x 的下方 或在 y=x 上， 由x 2+2x2a=x，即 x2x+2a=0，由判别式=18a0， 得 a ， 综上 a2， 故答案为： ，2 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转 化求解即可注意数形结合 三.解答题：本大题

21、共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15 （13 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱 心活动 （）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （）设抽出的 7 名同学分别用 A，B ，C，D，E ， F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 第 16 页（共 24 页） （ii）设 M 为事件 “抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率 【分析】 （）利用分层抽样的性质

22、能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿 意者中分别抽取得 3 人，2 人，2 人 （） （i）从抽取的 7 名同学中抽取 2 名同学，利用列举法能求出所有可能结 果 （ii）设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，利用 列举法能求出事件 M 发生的概率 【解答】解：（）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3：2 ：2 ， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学， 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得 3 人，2 人，2 人 （） （i）从抽取的 7 名同学中抽

23、取 2 名同学的所有可能结果为： A，B ，A ， C，A，D，A ，E，A ，F，A，G，B，C，B ，D， B，E ，B ， F，B，G，C，D，C ，E，C，F，C，G ，D ，E ， D，F，D，G，E，F ，E，G ，F ，G ，共 21 个 （i）设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C， 来自乙年级的是 D，E ，来自丙年级的是 F，G， M 为事件 “抽取的 2 名同学来自同一年级”， 则事件 M 包含的基本事件有： A，B ，A ， C，B，C，D ，E，F，G ，共 5 个基本事件， 事件 M 发生的概率 P（M）= 【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件

24、所含基本事件数、古典概 型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能 力 16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知 第 17 页（共 24 页） bsinA=acos（B ） （）求角 B 的大小； （）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A B）的值 【分析】 （）由正弦定理得 bsinA=asinB，与 bsinA=acos（B ） 由此能求出 B （）由余弦定理得 b= ，由 bsinA=acos（B ） ，得 sinA= ，cosA= ， 由此能求出 sin（2AB） 【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理得

25、，得 bsinA=asinB， 又 bsinA=acos（B ） asinB=acos（B ） ，即 sinB=cos（B ）=cosBcos +sinBsin = cosB+ ， tanB= ， 又 B（ 0，） ，B= （）在ABC 中，a=2，c=3 ，B= ， 由余弦定理得 b= = ，由 bsinA=acos（B ） ，得 sinA= ， a c，cosA= ， sin2A=2sinAcosA= ， cos2A=2cos2A1= ， sin （2AB）=sin2AcosBcos2AsinB= = 【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力， 考查函数与方程思

26、想，是中档题 17 （13 分）如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点， AB=2，AD=2 ，BAD=90 第 18 页（共 24 页） （）求证：AD BC； （）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 【分析】 （）由平面 ABC平面 ABD，结合面面垂直的性质可得 AD平面 ABC，则 ADBC； （）取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND ，又 M 为棱 AB 的中点，可得 DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成角，求解三角形可得异面直线 BC 与

27、MD 所成角的余弦； （）连接 CM，由ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，可得 CMAB， 且 CM= ，再由面面垂直的性质可得 CM平面 ABD，则CDM 为直线 CD 与 平面 ABD 所成角，求解三角形可得直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 【解答】 （）证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD=AB，ADAB， 得 AD平面 ABC，故 ADBC ； （）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND ， M 为棱 AB 的中点，故 MNBC， DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成角， 在 RtDAM 中，AM=1，故 DM= ， AD

28、平面 ABC，故 ADAC ， 在 RtDAN 中， AN=1，故 DN= ， 在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 cosDMN= 异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ； （）解：连接 CM， ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点， 第 19 页（共 24 页） 故 CMAB，CM= ， 又平面 ABC平面 ABD，而 CM平面 ABC， 故 CM平面 ABD，则CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成角 在 RtCAD 中， CD= ， 在 RtCMD 中，sin CDM= 直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角

29、、平面与平面垂直等基 本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题 18 （13 分）设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n N*） ；b n是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*） 已知 b1=1，b 3=b2+2，b 4=a3+a5，b 5=a4+2a6 （）求 Sn 和 Tn； （）若 Sn+（T 1+T2+Tn）=a n+4bn，求正整数 n 的值 【分析】 （）设等比数列b n的公比为 q，由已知列式求得 q，则数列b n的 通项公式与前 n 项和可求；等差数列a n的公差为 d，再由已知列关于首项与 公差的方程组，求得首项与公差，代入等

30、差数列的通项公式与前 n 项和公式可 得 Sn； （）由（）求出 T1+T2+Tn，代入 Sn+（T 1+T2+Tn）=a n+4bn，化为关 于 n 的一元二次方程求解正整数 n 的值 【解答】解：（）设等比数列b n的公比为 q，由 b1=1，b 3=b2+2，可得 q2q2=0 q0，可得 q=2 故 ， ； 第 20 页（共 24 页） 设等差数列a n的公差为 d，由 b4=a3+a5，得 a1+3d=4， 由 b5=a4+2a6，得 3a1+13d=16， a 1=d=1 故 an=n， ； （）由（） ，可得 T1+T2+Tn= =2n+1n2 由 Sn+（T 1+T2+Tn）=

31、a n+4bn， 可得 ， 整理得：n 23n4=0，解得 n=1（舍）或 n=4 n 的值为 4 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和等基础知识， 考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题 19 （14 分）设椭圆 + =1（ab 0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭 圆的离心率为 ，|AB|= （）求椭圆的方程； （）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆交于 P，Q 两点，1 与直线 AB 交于点 M， 且点 P，M 均在第四象限若BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值 【分析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知可得 ，又 a2=b2+c2，解得

32、 a=3，b=2，即可 （）设点 P（x 1，y 1） ，M（x 2，y 2） ， （x 2x 10） 则 Q（x 1，y 1） 由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，可得 x2x1=2x1（x 1），x 2=5x1， 联立方程求出由 0. ，可得 k 第 21 页（共 24 页） 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为 2c， 由已知可得 ，又 a2=b2+c2， 解得 a=3，b=2， 椭圆的方程为： ， （）设点 P（x 1，y 1） ，M（x 2，y 2） ， （x 2x 10） 则 Q（x 1，y 1） BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，|PM|=2|PQ|，从而 x2x1=2x

33、1（x 1）， x 2=5x1， 易知直线 AB 的方程为：2x+3y=6 由 ，可得 0 由 ，可得 ， ，18k 2+25k+8=0，解得 k= 或 k= 由 0可得 k ，故 k= ， 【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系， 属于中档题 20 （14 分）设函数 f（x）=（x t1） （xt 2） （xt 3） ，其中 t1，t 2，t 3R，且 t1，t 2，t 3 是公差为 d 的等差数列 （）若 t2=0，d=1，求曲线 y=f（x）在点（0 ，f（0） ）处的切线方程； （）若 d=3，求 f（x）的极值； （）若曲线 y=f（x）与直线 y=（x

34、t 2）6 有三个互异的公共点，求 d 的取 值范围 【分析】 （）求出 t2=0，d=1 时 f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线 方程； 第 22 页（共 24 页） （）计算 d=3 时 f（x）的导数，利用导数判断 f（x）的单调性，求出 f（x） 的极值； （）曲线 y=f（x）与直线 y=（xt 2）6 有三个互异的公共点， 等价于关于 x 的方程 f（x）+（xt 2） 6 =0 有三个互异的实数根， 利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的 d 的取值范围 【解答】解：（）函数 f（x ）=（xt 1） （xt 2） （x t3） ， t2=0， d=1 时，f

35、（x ）=x（x+1） （x 1）=x 3x， f（x）=3x 21， f（0）=0，f（0）=1， y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y0=1（x0） ， 即 x+y=0； （）d=3 时，f（x）=（x t2+3） （x t2） （xt 23） = 9（xt 2） =x33t2x2+（3 9）x +9t2； f（x）=3x 26t2x+3 9， 令 f（x）=0，解得 x=t2 或 x=t2+ ； 当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化情况如下表； x （ ， t2 ） t2 （t 2 ， t2+ ） t2+ （t 2+ ， +） f（x ） + 0 0 + f（

36、x） 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 f（ x）的极大值为 f（t 2 ）= 9（ ）=6 ， 第 23 页（共 24 页） 极小值为 f（t 2+ ）= 9 =6 ； （）曲线 y=f（x）与直线 y=（xt 2）6 有三个互异的公共点， 等价于关于 x 的方程（xt 2+d） （xt 2） （x t2d）+（x t2）6 =0 有三个互异的实 数根， 令 u=xt2，可得 u3+（1d 2）u+6 =0； 设函数 g（x ）=x 3+（1d 2）x+6 ，则 曲线 y=f（x）与直线 y=（xt 2）6 有 3 个互异的公共点， 等价于函数 y=g（x）有三个不同的零点； 又 g（

37、x）=3x 2+（1d 2） ， 当 d21 时，g（x）0 恒成立，此时 g（x）在 R 上单调递增，不合题意； 当 d21 时，令 g（x）=0，解得 x1= ，x 2= ； g （x）在（，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减， 在（x 2，+）上也单调递增； g （x）的极大值为 g（x 1）=g（ ）= +6 0； 极小值为 g（ x2）=g（ ）= +6 ； 若 g（ x2）0，由 g（x ）的单调性可知， 函数 g（x ）至多有两个零点，不合题意； 若 g（ x2）0，即 27，解得|d | ， 此时|d|x 2，g（|d|）=|d |+6 0，且 2|d|x 1； g（ 2|d|）=6|d| 32|d|+6 0， 从而由 g（x ）的单调性可知， 函数 y=g（x ）在区间（2 |d|，x 1） ， （x 1，x 2） ， （x 2，|d|）内各有一个零点，符 第 24 页（共 24 页） 合题意； d 的取值范围是（， ）（ ，+） 【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数 的单调性与极值的应用问题，是综合题