1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据公式 ，可直接计算得 详解： ，故选 D. 点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要 考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复
2、数的模及复数的乘除运算，在解决此类 问题时，注意避免忽略 中的负号导致出错. 2. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根据集合 可直接求解 . 详解： , , 故选 C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的 集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用 Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式 进行运算. 3. 函数 的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去 D; ， 所以
3、舍去 C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函 数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图 象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 4. 已知向量 ， 满足 ， ，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选 B. 点睛：向量加减乘： 5. 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：分别求
4、出事件“2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务”的总可能及事件“选 中的 2 人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设 2 名男同学为 ，3 名女同学为 ， 从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 共 10 种可能， 选中的 2 人都是女同学的情况共有 共三种可能 则选中的 2 人都是女同学的概率为 ， 故选 D. 点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ；第二 步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；第三步，利用公式 求 出事件 的概率. 6. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A
5、. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选 A. 点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： . 7. 在 中， ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB. 详解：因为 所以 ，选 A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 之间的关系，从而达到解决问题的目的. 8. 为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A
6、. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白 框中应填入 ，选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选 择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律， 明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9. 在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：利用正方体 中， ，将问题转
7、化为求共面直线 与 所成角的正切值， 在 中进行计算即可. 详解：在正方体 中， ， 所以异面直线 与 所成角为 ， 设正方体边长为 ， 则由 为棱 的中点，可得 ， 所以 则 . 故选 C. 点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系， 找到（或构造）所求角所在 的三角形； 求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角. （2）向量法：求两直线的方向向量； 求两向量夹角的余弦； 因为直线夹角为锐角，所以对应的余 弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 10. 若 在 是减函数，则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析
8、】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值 详解：因为 ， 所以由 得 因此 ，从而 的最大值为 ，选 A. 点睛：函数 的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由 求增区间; 由 求减区间. 11. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在 中， 设 ，则 ， 又由椭圆定义可知 则离心率 ， 故选 D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义
9、求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知 识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 12. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ， 所以 , 因此 ， 因为 ，所以 ， ，从而 ，选 C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 二、填
10、空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 、 13. 曲线 在点 处的切线方程为_ 【答案】y=2x 2 【解析】分析：求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程. 详解：由 ，得 则曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 则所求切线方程为 ，即 . 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点 斜式方程；化简整理. 14. 若 满足约束条件 则 的最大值为_ 【答案】9 【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时， . 学 &科&网.学&科&网.学&科 &网.学&科&网.学& 科& 网 .学&科&网.学&科& 网.学&科&
11、网.学&科& 网. 学&科&网. 点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标 函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 15. 已知 ，则 _ 【答案】 【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得 . 详解： ， 解方程得 . 点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记 忆准确，特殊角的三角函数值运算准确 . 16. 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆 锥的体积为_ 【答案】8 【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆
12、锥的母线 ，高 ，底面圆半径 的长，代入公式计算 即可. 详解：如下图所示， 又 ， 解得 ，所以 ， 所以该圆锥的体积为 . 点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解 相应线段长，代入圆锥体积公式即可. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。学 #科网 （一）必考题：共 60 分。 17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值 【答案】解： （1）设a n的公差为 d
13、，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以a n的通项公式为 an=2n9 （2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216 所以当 n=4 时，S n 取得最小值，最小值为16 【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2）根 据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 详解：（1）设a n的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以a n的通项公式为 an=2n9 （2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216 所以当 n=4 时，S
14、 n 取得最小值，最小值为16 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制 条件. 18. 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说
15、明理由 【答案】解： （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =30.4+13.519=226.1（亿元） 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=256.5（亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说 明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数
16、据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建 立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型 得到的预测值更可靠 （ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的 增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分
17、别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结 果， （2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅 明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测. 详解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =30.4+13.519=226.1（亿元） 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=256.5（亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000
18、 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说 明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建 立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型 得到的预测值更可靠 （ii）从计算结果看，相对于 2016
19、 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的 增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参 数，则根据回归直线方程恒过点 求参数. 19. 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点 （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离 【答案】解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP= 连结 OB因
20、为 AB=BC= ，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC， OB= =2 由 知，OPOB 由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为 H又由（ 1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题设可知 OC= =2，CM= = ，ACB=45 所以 OM= ，CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；（2）过点 作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可. 详解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以
21、 OPAC，且 OP= 连结 OB因为 AB=BC= ，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC， OB= =2 由 知，OPOB 由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为 H又由（ 1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题设可知 OC= =2，CM= = ，ACB=45 所以 OM= ，CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的 核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段
22、求解，也可利用等 体积法解决. 20. 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程 【答案】解： （1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0） 设 A（x1，y1），B（x2，y2） 由 得 ，故 所以 由题设知 ，解得 k=1（舍去） ，k=1 因此 l 的方程为 y=x1 （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3， 2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y0） ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 详解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方
23、程为 y=k（x1）（k0） 设 A（x1，y1），B（x2，y2） 由 得 ，故 所以 由题设知 ，解得 k=1（舍去） ，k=1 因此 l 的方程为 y=x1 （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3， 2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y0） ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 点睛：确定圆的方程方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组，从而求出 的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据
24、已知条件列出关于 D、 E、 F 的方程组， 进而求出 D、 E、 F 的值 21. 已知函数 （1）若 ，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点 【答案】解： （1）当 a=3 时，f（x ）= ，f （x）= 令 f （x）=0 解得 x= 或 x= 当 x（， ）（ ，+）时，f （x）0； 当 x（ ， ）时，f （x）0； 当 x（ ， ）时，f （x ）0 故 f（x）在（， ），（ ，+）单调递增，在（ ， ）单调递减 （2）由于 ，所以 等价于 设 = ，则 g （x）= 0，仅当 x=0 时 g （x）=0，所以 g（x）在（ ，+）单调递 增故 g（x）至多有一个零点
25、，从而 f（x）至多有一个零点 又 f（3a1）= ，f（3a+1）= ，故 f（x）有一个零点 综上，f（x）只有一个零点 点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数 的定义域；求导数 ；由 （或 ）解出相应的 的取值范围，当 时， 在相应区间上是增函数；当 时， 在相应区间上是减增函数. （2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数 有唯一零点，可先 证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22. 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系
26、中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为 （ 为参数） （1）求 和 的直角坐标方程；学科% 网 （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率 【答案】解： （1）曲线 的直角坐标方程为 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与 两种情况.
27、(2)将直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求得 ，即得 的斜率 详解：（1）曲线 的直角坐标方程为 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数， t 可正、可负、可为 0) 若 M1， M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1， t2，则 (1)M1， M2
28、两点的坐标分别是( x0 t1cos ， y0 t1sin )，( x0 t2cos ， y0 t2sin ). (2)|M1M2| t1 t2|. (3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0的距离| MM0| t| . (4)若 M0为线段 M1M2的中点，则 t1 t20. 23. 选修 45：不等式选讲 设函数 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围 【答案】解： （1）当 时， 可得 的解集为 （2） 等价于 而 ，且当 时等号成立 故 等价于 由 可得 或 ，所以 的取值范围是 【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2） 先化简不等式为 ，再根据绝对值三角不等式得 最小值，最后解不等式 得 的取值范围 详解：（1）当 时， 可得 的解集为 （2） 等价于 而 ，且当 时等号成立 故 等价于 由 可得 或 ，所以 的取值范围是 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求 解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、 渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
