1、第五章第二节 二项分布 （ p67） 在医学领域的随机事件中，最简单的是只有两种互斥可能结果 随机事件，称为二项分类变量（ dichotomous variable），如接受 治疗后的结果是有效、还是无效；某种化验的结果是阳性、还是阴 性，手术后是生存、还是死亡。对这类问题的研究，不仅要确定 2个 可能出现的随机事件的概率，有时还要计算在独立、重复地进行 N 次相同的观察下，某一事件出现 k 次的概率。 二项分布（ binomial distribution）就是对这类只具有两种 互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 二项分布的概念 瑞士数学家 James Bernoull
2、i 对只有两种可能结果的随机试验进 行研究，当成功的概率（ ）是恒定的，且各次试验相互独立，这种 试验在统计学上称为贝努里试验（ Bernoulli trial）。 N 次独立、重复的 Bernoulli试验也就称为 n重 Bernoulli试验 。 满足以下条件： 1、每次试验只有两个互斥的一种结果，记为 A和 ，所以 如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 2独立是指各次试验出现的结果之间是无关的。 3重复是指每次试验的条件不变，保证了在各次试验中结果 发生的概率不变。 二项分布描述的是在 n 次贝努里试验中， “结果 A出现 k次 ” 这一随机事件的取值及其概率。 如果用随机变量
3、X（ X=0,1, ,n）表示在 Bernoulli试验中， 结果 A出现的次数。则 X服从 二项分布，记为 x服从 , 概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 例题： 已知用某种药物治疗某一非传染疾病的有效率为 60，今用 该药治疗该病患者 20人，试计算其中 12人有效的概率。 解： 根据题意，以 X表示 “所用药物治疗该病有效的人数 ”,X服从二 项分布，已知 n=20,=0.6,x=12。 二项分布的特征 1、 二项分布的图形 已知 和 n，就能按公式计算 X=0， 1， ， n时的 P（ X）值。以 X 为横坐标，以 P（ X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图形，二项 分布的形状取
4、决于 和 n 的大小，高峰在 =n 处。 当 接近 0.5时，图形是对称的； 离 0.5愈远，对称性愈差，但随着 n 的增大，分布趋于对称。 当 n 时，只要 不太靠近 0或 1，特别是当 nP和 n(1 P)都大于 5时，二项分布近似于正态分布。 =0.5时 ,不同 n值对应的二项分布 = 0.3 时 , 不同 n 值对应的二项分布 2、二 项分布的均数与标准差 二项分布的总体均数： 方差： 标准差： 如果将出现阳性结果的频率记为 p , p 的取值为 则 p的总体均数为： 标准差为： p 是样本率的标准误的理论值，当 未知时，常用样本率 p作 为 的估计值， 由以上得知，样本率的标准差即率
5、的标准误，可以用来描述 样本率的抽样误差，率的标准误越小，则说明率的抽样误差越小 。 总体均数： 总体标准差： 总体率的标准误 二项分布的累计概率（ cumulative probability） 常用的有左侧累计和右侧累计两种方法。从阳性率为 的总 体中随机抽取含量为 n的样本，则 （ 1）最多有 k 例阳性的概率 （ 2）最少有 k 例阳性的概率 其中， X 0,1,2, ,k, ,n。 一、总体率的区间估计 总体率的估计也有点（值）估计和区间估计，点 估计是简单地用样本率来估计总体率；区间估计是求 出总体率的可能范围。 样本率的理论分布和样本含量 n、阳性率 p的大小 有关，所以需要根据
6、 n 和 p 的大小不同，分别选用 下列两种方法： 二项分布的应用 （一）查表法 当样本含量 n较小，如 n50 ，特别是 p很接近于 0或 1 时，按二项分布的原理估计总体率的可信区间。因为其 计算过程较复杂，统计学家已经编制了百分率的可信区 间（附表），可直接根据样本含量 n 和阳性数 X 查出总 体率的可信区间。 例题 从某学校随机抽取 26名学生，发现有 4名感 染沙眼，试求该校沙眼感染率 95的可信区间。 本例 n=26， X=4，查附表 7的可信度为 95的可信 区间为 (0.04， 0.35)，即 (4， 35 )。 见 p438 （二）正态近似法 当样本含量 n足够大，且样本率
7、 p 或 1-p 均不太 小，如 np 与 n（ 1-p）均大于 5时，样本率 p 的抽 样分布近似正态分布，总体率 的可信区间可按下 式进行估计。 例题 某研究者测得， 158名正常男性 HBgAg，其阳性率为 15.35%，试计算出样本率的抽样误差及总体阳性率的 95% 可信区间。 解：本例 p 0.1535 n 158 代入 总体率 95 % 可信区间为： p 1.96S p = 0.1535 1.960.0287 =0.0972 0.2097 即： 9.72% 20.97% 二、样本率与总体率比较 比较目的：推断样本率所代表的总体率 与某已 知总体率 0 是否相等。 1直接概率法：当
8、或 时 （ 1）检验假设 （ 2）直接计算概率 P 值 当 时， 当 时， （ 3）做出推断结论 当 ，在 =0.05检验水准拒绝 ，接受 ，可以认 为两总体率不同。 当 ，在 =0.05检验水准不拒绝 ，尚不能认为两总 体率不同。 抗生素治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为 85%。问在 5人中 ，二人有效的概率是多少？ 甲 乙 丙 丁 戊 无效 无效 无效 无效 有效 0.15 0.15 0.15 0.15 0.85 无效 无效 无效 有效 无效 0.15 0.15 0.15 0.85 0.15 无效 无效 有效 无效 无效 0.15 0.15 0.85 0.15 0.15 无效 有效
9、 无效 无效 无效 0.15 0.85 0.15 0.15 0.15 有效 无效 无效 无效 无效 0.85 0.15 0.15 0.15 0.15 5人中有 0， 1， 2， 3， 4， 5 人有效的概率分别为二项展开式中的各项 。有效人数每种组合情况概率值 有效人数 每种组合情况 概率值 p(x) 0 0.000075938 1 0.002151563 2 0.024384375 3 0.138178125 4 0.391504687 5 0.443705312 合计 1.000000000 上式中最多 2 例有效的概率为： P(X2)=0.000075938+0.002151563+0.
10、024384375=0.026611876 上式中至少有 2例有效的概率为： P(X2)=0.024384375+0.138178125+0.391504687+0.443705312 =0.997772499 2、正态近似法： 当 ， 时 若不太靠近 0或 1时，当样本含量 n 足够大，样本率的抽样分布逼近正态分布，可用 u 检验计 算其样本检验统计量。 公式为 P为样本率， 0为已知总体率（常为理论值或标准 值）， n为样本含量。 例题 一般人群中精神发育不全者约为 3 ，今调查有亲 缘血统婚配关系的后代 25000人，有精神发育不全者 123 人，问有亲缘血统婚配关系的后代中精神发育不全
11、的发 生率是高于一般人群？ H0： = 0 已知 0 = 0.003 P20时，依据 Poisson分布近似正态分布的原理，可 以应用 Z检验对其总体均数进行推断。 检验假设 当 （ 1）当两样本观测单位数相等时，检验统计量为 例题 甲、乙两检验师分别观察 15名正常人末梢血嗜碱性白细胞数 量。每张血片均观察 200个视野。结果甲计数到嗜碱性白细胞 26个 ，乙计数到 29个。试问两位检验师检查结果是否一致？ 1.建立检验假设 2.计算统计量 3.确定 P 值和作推断 所以 P 0.5，按 =0.05水准不能拒绝 H0。尚不能认 为两检验师检查结果有差异。 （ 2）当两样本观测单位数不等时，检验统计量为 分别为两样本均数， n1与 n2是观测单位数不等 因工艺改革前后观测单位数不等，故分别计算其均数。 ， n1=3 ， n2=2 显然， Z 2.723 1.96， P 0.05，于是在 =0.05的 水平上拒绝 H0。可以认为工艺改革前后粉尘浓度不同，改 革工艺后粉尘浓度较低。
