1、地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 12 页 整式及其加减全章复习与巩固（提高）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿： 吴婷婷 【学习目标】 1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示. 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系. 3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数 式的值推断代数式反映的规律. 4理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 5理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减
2、运算、求值； 6深刻体会本章体现的主要的数学思想- 整体思想 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、代数式 诸如：16n ，2a+3b ，34 ， ， 等式子，它们都是用运算符号2n2)(ba (、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数 式，单独的一个数或一个字母也是代数式 要点诠释：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； （5）如果字母前面的数
3、字是 1，通常省略不写 要点二、整式的相关概念 1单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是 单项式 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数 （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 12 页 （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 （3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们
4、就把这个多项式称为 n 次 m 项式 3. 多项式的降幂与升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这 个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫 做把这个多项式按这个字母升幂排列 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4整式：单项式和多项式统称为整式 要点三、整式的加减 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都 是同类项 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1） “两相同”是
5、指：所含字母相同；相同字母的指数相同； （2） “两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持 不变 3去括号法则：括号前面是“+” ，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号 都不改变；括号前面是“-” ，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要 改变 4添括号法则：添括号后，括号前面是“+” ，括号内各项的符号都不改变；添括号后， 括号前面是“-” ，括号内各项的符号都要改变 5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每
6、一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括号，合并同类项 要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用. 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 【典型例题】 类型一、代数式 1某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元.该商场为促 销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买 金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练 习本 x（x10）本. (1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额. (2)若小明想为
7、本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱. 【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的， 把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小 【答案与解析】 解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为: (1) 代数式分别为: 2510+5(x-10), 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 12 页 (2510+5x) 90% （2）把 x=30 分别代入两个代数式: 2510+5(x-10) 2510
8、+5(30-10) 350（元） (2510+5x) 90%(2510+530) 90% =360 （元） 所以选择第一种优惠方式 【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型 类型二、整式的相关概念 2指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多 项式的请说出是几次几项式 (1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)3a2baxyx5mn1()2bhA 【答案与解析】 解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 单项式：(2)、(5)、(6)，其中： 5 的系数是 5，次数是
9、0；3xy 的系数是 3，次数是 2； 的系数是 ，次数是 1.x1 多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中： 是一次二项式； 是一次二项式； 是一次二项式；1+a%是一次二项式；3a2xy5mn 是二次二项式.1()2bhA 【总结升华】分母中出现字母的式子不是整式，故 不是整式； 是常数而不是2ba 字母，故 是整式，也是单项式；(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单x 项式中不能有加减如 其实质为 ， 其实质为 5mn5n1()2h12ahb 举一反三： 【变式 1】若单项式 与单项式 的和是单项式，那么 2abxy253byx3 【答案】15 【变式 2】若
10、多项式 是关于 的二次三项式，则31(4)()nmmx ， ，这个二次三项式为 ._m_ 【答案】 4,3259x 类型三、整式的加减运算 3若 是同类项，求出 m, n 的值，并把这两个单项式相加.31521mnyxy与 【答案与解析】 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 12 页 解：因为 是同类项，312125mnxyxy与 所以 解得,.n,. 当 且 时，21 .55352142414()()33nxyxyxyxy 【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，
11、常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三： 【变式】合并同类项 (1) ；222345xyxy (2) 333915 54xy 【答案】 (1)原式 2 2()()()xy2 (2)原式 3232391915 54xyxy 325 【高清课堂：整式的加减单元复习 388396 经典例题 3】 4. 从一个多项式中减去 ，由于误认为加上这个式子，得到24abc ，试求正确答案.21bca 【答案与解析】 解：设该多项式为 A，依题意， (3)21ab(21)(24bcabc341)2(4)ac6869b 答：正确答案是 89bc 【总结升华】当整式是一个多项式，不是一
12、个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整 体来加减 举一反三： 【变式 1】已知 Ax 22y 2 z2，B 4x 23y 22z 2，且 ABC 0，则多项式 C 为( 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 12 页 ) A5x 2y 2z 2 B3x 25y 2z 2 C3x 2y 23z 2 D3x 25y 2z 2 【答案】B 【变式 2】先化简代数式 ，然后选取一个使原式211(3)53aaa 有意义的 a 的值代入求值 【答案】 21(351)53321(5)3a264aa216(4)3a 8()
13、3328328a 当 时，原式0-0-4-4 【变式 3】(1) (xy) 210x10y25(xy) 210(_)25; (2) (abc d)( abc d) (ad)(_)(ad) (_) 【答案】 （1）xy ； （2）bc ， bc 类型四、化简求值 5. （1）直接化简代入 当 时，求代数式 15a2 4a 25a8a 2(2 a2a)9a 23a的值 （2）条件求值 已知(2ab3) 2b10，求 3a32b8(3a2b1) a1 的值 （3）整体代入 (鄂州)已知 ，求 的值2m09m 【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解. 【答案
14、与解析】 解：（1）原式=15a 24a 2(5a8a 22a 2+a9a 2)3 a =15 a24a 2 (6aa 2)3a =15 a2(4a 2 6aa 23a) =15 a2(5a 2 3a) =15 a2+5a23a=20a23a 当 时，原式 = = = （2）由(2ab3) 2b10 可知：2ab3=0 ，b1=0 ，解得 a= -2，b=1. 3a32b8(3a2b1)a 1 =3a 3(2b83a 2b1a)1 =3a 3(2a9)1 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 12 页 =3a
15、6a+27 1 =283a 由 a= -2 则 原式=283a=28+6=34 （3） ， 210m21m 29320932()09m 2() 1 所以 的值为 201030m 【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件 之间的联系 举一反三： 【变式】已知 ，求代数式 的值26ab2()3()ab 【答案】 设 ，则 ，原式 pab12abpp 又因为 6，所以原式 3162 类型五、探索与表达规律 6. 如图，在 2005 年 3 月的日历上： (1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为 ； (2)用一个矩形框出四个数
16、，请用一个等式表示 a、 b、 c、 d 之间的关系: ； (3)用一个十字框任意框出 5 个数，设中间一个数为 a，则框出的 5 个数的和为 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页 共 12 页 【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔 7，一横行相邻的两个数相差 1，据此很容易 求出本题答案 【答案】 （1）x7 ，x7 ；（ 2） ab1 c7d8； （3）5a 【解析】 （1） （3）较简单； （2）b 比 a 大 1，所以 ba1 ；c 比 a 大 7，所以 ca7；d 比 c 大 1，所以 dc1 由
17、ba1 得 ab1 ，由 ca7 得 ac7 ，由 dc1 得 cd 1 ，将 代入得 ac7（d 1）7d 8 由得：ab1c 7d8 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 举一反三： 【变式】如图，是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而成的： (1)观察图形，填写下表： (2)推测第 n 个图形中，正方形的个数为_，周长为_ (用含 n 的代数式表 示) 【答案】 （1） （2）5n+3， 10n+8 类型六、综合应用 7. 对于任意有理数 x，比较多项式 与 的值的大小245x235x 【答案与解析】 解： 22222(45)(35) 4x 地址：北京市西城区
18、新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8 页 共 12 页 240x 无论 x 为何值， 25x235x 【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合 并同类项的法则，这是各地中考的常考点 举一反三： 【变式】如果关于 x，y 的多项式 与 的差不含二次项，2()mxy2(3)xny 求 的值mn 【答案】 解：原式 22()(3)xyxny 由题意知，则 ，0,2m 3,1n ()m 【巩固练习】 一、选择题 1A、B、C 、 D 均为单项式，则 A+B+C+D 为( ) A单项式 B多项式 C单项式或
19、多项式 D以上都不对 2下列计算正确的个数 （ ） ； ； ；ab5332yyxyx2254 ； 32xxx A2 B1 C4 D0 3现规定一种运算：a * b ab + a - b，其中 a，b 为有理数，则 3 * 5 的值为( ) A11 B12 C 13 D14 4化简 (n 为正整数)的结果为( )1()n A0 B-2a C2a D2a 或-2a 5已知 a-b-3，c+d 2，则(b+c)-(a -d)为( ) 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 12 页 A-1 B-5 C 5 D1 6.
20、 有理数 a，b，c 在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）acba A2b B0 C2c D2c2b 7当 x-3 时，多项式 的值是 7，那么当 x3 时，它的值是( )53axbc A-3 B-7 C 7 D-17 8如果 是关于 的二次三项式，那么 m，n 应满足的条件是( )32(1)nm Am1，n5 Bm 1，n 3 Cm-1，n 为大于 3 的整数 Dm -1，n5 二、填空题 9 是关于 x，y 的一个单项式，且系数是 3，次数是 4，则n m_，n_ 10 （1） （_） ；22 （2）2a3（bc）_ （3） (_)7x+82561x 11当 b_时，式子 2a+ab-5
21、的值与 a 无关 12若 ，则 _4ac30()bc 13.某服装店打折出售服装，第一天卖出 a 件，第二天比第一天多 12 件，第三天是第一天 的 2 倍，则该服装店这三天共卖出服装_件. 14.当 k=_时，多项式 x2 3kxy 3y2 xy 8 中不含 xy 项.1 15某一铁路桥长 100 米，现有一列长度为 l 米的火车从桥上通过，测得火车从开始上桥 到完全过桥共用 1 分钟时间，则火车的速度为_ 16如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋 子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚
22、棋 子，摆第 n 个图案需要 枚棋子 三、解答题 17.先化简，再求值： 4x3- -x2 -2( x3- x2+1 )，其中 x= - 113 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 10 页 共 12 页 18已知： 为有理数， ，求 的值a3210a234201.aa 19. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形 和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD, 其中，GH=2cm, GK=2cm, 设 BF=x cm, （1）用含 x 的代数式表示 CM= cm, DM= cm. （2）若 x=2cm，求长方形 ABCD
23、的面积. 20. 测得一弹簧的长度 L(厘米)与悬挂物体的质量 x(千克)有下面一组对应值： 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为 x 千克的物体时的弹簧的长度 L (2)求所挂物体的质量为 10 千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是 18 厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ (4)若要求弹簧的长度不超过 20 厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？ 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】若 A、B、C、D 均为同类项，则 A、B、C、D 的和为单项式，否则为多项式，故 选 C 2 【答案】D 3. 【答案】C 【解析】按规定的运算得
24、：3*535+3-513 4. 【答案】A 【解析】分析两种情况，当 n 为偶数时， ， ，当 n 为奇数时，(1)n1()n ， ，无论哪种情况，结果都是 0(1)n1()n 5 【答案】C 【解析】(b+c)-(a-d)b+c-a+d-a+b+c+d-(a-b)+(c+d) 当 a-b-3，c+d2 时，原式-(-3)+25，所以选 C 6 【答案】B 7. 【答案】D C M A D F B H E G K 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 11 页 共 12 页 【解析】由已知条件得： ，通过适应变形得：53
25、()()57abc 当 x3 时，原式 ，再把变形后的式子的值整5312abc5 体代入即可 8 【答案】D 【解析】由题意得：n-32 且 m+10，得 n5 且 m-1 二、填空题 9 【答案】-3 , 3 【解析】由系数为 3，得-m3，则 m-3由次数为 4，得 x，y 的指数之和为 4，即 n+14，则 n3 10.【答案】 22;5137xyabcx 11.【答案】-2 【解析】2a+ab-5(2+b)a-5因为式子的值与 a 无关，故 2+b0，所以 b-2 12.【答案】-24 【解析】因为 与 互为相反数，又因为 ，abca45bc 所以 ，由此可得 4530()302bc
26、13.【答案】4 a+12； 【解析】 (12)12a 14.【答案】 ；9 【解析】 ，解得 30k9k 15 【答案】101 米/分钟 【解析】火车从开始上桥到完全过桥所通过的路程为(100+l)米，时间为 1 分钟，由 ，=路 程速 度 时 间 可得结果 16.【答案】127, 132n. 【解析】第 1 个图形需要 7=1+61 枚棋子， 第 2 个比第 1 个多 12 个，即 1+6（1+2）枚， 第 3 个比第 2 个多 18 个，即 1+6（1+2+3）枚， 第 4 个比第三个多 24 个，即 1+6（1+2+3+4）=61 枚 , 第 n 个比第(n-1)个多 6n 个，即 1
27、+6（1+2+3+4+n）=3n 2+3n+1 枚 三、解答题 17.【解析】 解： 263x原 式 ，当 97131时 ， 原 式 . 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 12 页 共 12 页 18.【解析】 解： 19.【解析】 解：（1） 2,x （或 ）.3x （2）长方形的长为： 214cm, 宽为： cm. 所以长方形的面积为： 20cm.410 20.【解析】 解：(1) 52Lx (2)将 ，代入 ，得 （）.512Lx0.51.17Lx 所挂物体的质量为 10 千克时，弹簧的长度是 17. (3)将 ，代入 ，得 ，解得180822x 若测得弹簧的长度是 18 厘米，则所挂物体的质量为 12 千克. (4)弹簧的长度不超过 20 厘米，即 L20， 20，得 160.52xx 若要求弹簧的长度不超过 20 厘米，则所挂物体的质量不能超过 16 千克. 234201523209231.()().(1)0aaaa
