1、 一元二次方程培优专题复习 考点一、概念 (1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa 难点： 如何理解 “未知数的最高次数是 2”： 该项系数不为“0” ； 未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定 系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题： 例 1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、123x 021x02cbxa2x 变式：当 k 时，关于 x的方程 是一元二次方程。322xk 例 2、方程 是关于 x的一元二次方程，则 m的值为 013mx
2、。 针对练习： 1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。782x 2、若方程 是关于 x的一元一次方程，01m 求 m的值： ；写出关于 x的一元一次方程： 。 3、若方程 是关于 x的一元二次方程，则 m的取值范围是 2x 。 4 、若方程 nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y 例 2、关于 x的一元二次方程 的一个根为 0
3、，则 a的值为 axa 。 例 3、已知关于 x的一元二次方程 的系数满足 ，则此方02acbxa bca 程必有一根为 。 例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 042mx, 0582my 则 m的值为 。 针对练习： 1、已知方程 的一根是 2，则 k为 ，另一根是 。012kx 2、已知关于 x的方程 的一个解与方程 的解相同。求 k的值；2 31x 方程的另一个解。 3、已知 m是方程 的一个根，则代数式 。012m2 4、已知 是 的根，则 。a3xa62 5、方程 的一个根为（ ）2cb A B 1 C D 1cba 6、若 。yx且yx324,035 考点三
4、、解法 方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点： 降次 类型一、直接开方法： mxmx,02 对于 ， 等形式均适用直接开方法a22nb 典型例题： 例 1、解方程： =0; ;082x2165x;09132x 例 2、解关于 x的方程： 2ba 例 3、若 ，则 x的值为 。2169 针对练习： 下列方程无解的是（ ） A. B. C. D.2x02xx132092 类型二、因式分解法 : 11,x或 方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式： 如 ， ，22nbxmaxcxabxa02x 典型例题： 例 1、 的根为（ ）35xx A B C
5、D 23,251x52x 例 2、若 ，则 4x+y的值为 。044yxyx 变式 1： 。222,6b且aba 变式 2：若 ，则 x+y的值为 。3yx 变式 3：若 ， ，则 x+y的值为 。14282x 例 3、方程 的解为（ ）062x A. B. C. D.21且321且x321且xx 例 4、解方程： 得0432 x _,21xx 例 5、已知 ,则 的值为 。02yxy 变式：已知 ,且 ,则 的值为 。3220xyx 针对练习： 1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(212xqpx . 486 )3(6522 aba 方程 可变形为)()(2 yxyx
6、07)13(x 正确的有（ ）A.1 个 B.2个 C.3个 0)713)(xx D.4个 2、以 与 为根的一元二次方程是（） A B C D062x062x062yy 3、 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y的值为（ ）023yx A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程： 的解是 。12 6、已知 ，且 ， ，求 的值。062yxx0yyx362 类型三、配方法 02acbxa 224acbx 在解方程中，多不用配方法；
7、但常利用配方思想求解代数式的值或极 值之类的问题。 典型例题： 例、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx 针对练习： 1、已知 ，则 .0412xxx1 2、若 ，则 t的最大值为 ，最小值为 。93t 类型四、公式法 条件： 公式： ,04,02acba且 acbx24,2且 典型例题： 例、选择适当方法解下列方程： .6132x.863x0142x 0451 类型五、 “降次思想”的应用 求代数式的值； 解二元二次方程组。 典型例题： 例 1、已知 ，求代数式 的值。0232x123x 例 2、如果 ，那么代数式 的值。2x723 例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求
8、 的值。a012x152 3a 考点四、根的判别式 acb42 根的判别式的作用： 定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。 典型例题： 例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 x012xk 。 例 2、关于 x的方程 有实数根，则 m的取值范围是( )2m A. B. C. D.10且m011 例 3、已知关于 x的方程 2kx (1)求证：无论 k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为 1，另两边长 恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mxm 例 5、 为何值时，方程组m.3,
9、y 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 针对练习： 1、当 k 时，关于 x的二次三项式 是完全平方式。92kx 2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？432 3、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m的值是 .022mx 4、 为何值时，方程组 （1）有两组相等的实数解，并求此解；k.04 ,2yk （2）有两组不相等的实数解；（3 ）没有实数解. 5、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？04232 kmxx (2012 山东德州中考,15,4,)若关于 x 的方程 有实数解，那么实数 a()axa 的取值范围是_ （2012 湖北襄阳，12，3 分）如
10、果关于 x 的一元二次方程 kx2 x10 有两个不k 相等的实数根，那么 k 的取值范围是 Ak Bk 且 k0 C k D k 且 k0121212 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例 1、关于 x的方程 有两个实数根，则 m为 ,只有0321mx 一个根，则 m为 。 例 2、不解方程，判断关于 x的方程 根的情况。322k 例 3、如果关于 x的方程 及方程 均有实数根，问这两方程02k0x 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 “碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表” 类问题 典型例题：
11、 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出 席？ 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小组共多少人？ 3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投 放市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年31 减少 ，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部21 收回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3 果精确到 0.1， ）61.3 4、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每
12、千克 50元销 售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元， 销售单价应定为多少？ 5、将一条长 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能， 请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？ 6、 A、 B
13、两地间的路程为 36千米.甲从 A地，乙从 B地同时出发相向而行，两人相遇后， 甲再走 2小时 30分到达 B地，乙再走 1小时 36分到达 A地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 前提： 对于 而言，当满足 、 时，才能用02cbxa0a 韦达定理。 主要内容： 常用变形：2121, ， ，211212()xxx122x221112()()4xxx ， ，12121|42112 等2121212()xxx 应用： 整体代入求值。 典型例题： 例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角0782x 三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.36 例 2、解方程
14、组： .2,10)(;24,10)(yxxy 例 3、已知关于 x的方程 有两个不相等的实数根 ， （1）求k 2,x k的取值范围；（2 ）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的 值；若不存在，请说明理由。 例 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看 错常数项，而得到解为 8和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9和-1。你知道原 来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 例 5、已知 ， ， ，求 ba01a012bba 变式：若 ， ，则 的值为 。22 例 6、已知 是方程 的两个根，那么 .,x34 针对练习 1
15、已知 ， ，求 的值。2、已知472a72b)(aba 是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 63231xx 3.（湖北中考题）设 ，且 ，则421,0ab0a =_。 523ab 4. ( 四川中考题）如果方程 x2pxq0 的两个根是 x1，x 2，那么 x1x 2p，x 1x2q请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于 x 的方程 x2mx n0 (n0) ，求出一个一元二次方程，使它的两根别 是已知方程两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a215a 50，b 215b50，求 ab 的值；（3）已知 a、b、c 均为实数，且 abc 0，abc 16，求正数 c 的最
16、小值ba 1.当 k 为何值时，关于 x 的方程 有实数根0212xkk 2.已知方程 是关于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值02abxba 3 设 和 都是关于 x 的一元二次方程，01xa 0843bx 求： 的值。2012.ab 4 解下列方程： （1） （2）052x 0216132x （3） （4）5xx 02x 5 已知方程 求证：不论 m 为何值，次方程均有两个不相等的mxx2142 实根。 6 已知三个关于 x 的一元二次方程 02cbxa 02acxb 恰有一个公共实数根，求 的值。02bacx ab22 7 已知 试求 的值。012a0124b2012ab 8 关于
17、x 的方程 和方程 只有一个相同的实根，02)1(2xk 0)1(2kx 求 k 的值及公共根。 9 已知 a.b.c 分别是三角形 ABC 的三边长。当 m0 时，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实根，试判断三角形 ABC 的形状。0222 axmxbmc 10 已知方程 与方程 的公共根和方程 与652x02x 0243x 方程 的公共根相同，求 m，n 的值。01n 11 m，n 是方程 的两个根，且 求 a 的012x1276314722 nam 值。 12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3 和 5 。乙把常数项看错了得两根为 和 ，
18、求原一元二次方程。62 13 已知关于 x 的方程 013)2(22mx （1）求证无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实根 （2）设方程的两根为 ， 求 m 的值。21,21 14 要使关于 x 的一元二次方程 的两根的平方和最小，013)2(22 mxx 求 m 的值。 15 已知函数 y= 和 y=kx+1（x0）2 （1）若这两个函数都经过（1，a）求 a 和 k 的值 （2）当 k 取何值时，这两个函数图像总有公共点 16 某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售， 增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价 1
19、元则每天 可以多销售 2 件，若商场平均每天盈利 1200 元，则每件应该降价多少元？ 17 为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从 2010 年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011 年投资了 3 亿元人民币。预计 2012 年底三年累计共投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求 市政府投资的年增长率？ 18 某商家从厂家以每件 21 元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价 a 元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的 20%。商 店计划要赚 400 元，需要卖出多少件商品？
20、每件商品售价多少？ 一元二次方程培优训练 1.已知方程 3ax2-bx-1=0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则 a= , b= . 2关于 的方程 是一元二次方程，则 ；x03)(1xmm 3.设 是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直角ba, 12)(22ba 三角形的斜边长为 ； 4. 当 时，代数式 的值为 0_x12x 5. 已知： ，则关于 的二次方程 的解是 1m04)5()1(2xmx ； 6 方程 的解是 ；x2)3( 413x 7.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有一个根为 1,则 a+b+c= ;若有一个根为-1,则 b 与 a、c 之
21、间的关系为 ;若有一个根为零,则 c= . 8、 则 xy= 234690xy 9、写出以 4，-5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 10、如果 是一个完全平方公式，则 。412xmx m 11、已知两个数的差等于 4，积等于 45，则这两个数为 和 。 12、当 时，关于 的方程 为一元二次方程。_0212x 13写出一个一元二次方程，使它的一个根为 2 14当 x= 时，代数式 的 值 相 等的 值 与 代 数 式 342x 15、方程 的根是 。032 16、用配方法解方程 ，则 ，所以62x_62x 。_,21x 17.要使关于 x 的一元二次方程 的两根的平方和最小，01
22、3)2(22mxx 求 m 的值。 7、下列方程是一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、12yx21x 02x 8、关于 的一元二次方程 有实数根，则（ ）02kx A、 0 B、 0 C、 0 D、 0k kk 9、将方程 的形式，指出 分别是（ ）nmx223化 为 nm, A、 B、 C、 D、1和 31和 41和 41和 10、方程 的解是 ；0)2(x 11、当 y= 时，y 2-2y 的值为 3； 12、已知方程 x2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则 k= _, 另一根为 _； 13、写出以 4，5 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 _； 14、某校去年投资
23、2 万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为 8 万元，若该校这两 年购买实验器材的投资的年平均增长率为 x，则可列方程_； 15、设 是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直ba, 12)(22ba 角三角形的斜边长为 ； 三部分 1.方程不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x2=8 (a0) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3057x 2、若关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0，则 a 的值是 2211aa （ ） A、 1 B、 -1 C 、 1 或-1 D、 3、把方程 化成 的形式，则 m、n 的值是（ ）2830x2xmn
24、 A、4，13 B、-4，19 C、-4，13 D、4，19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程 的两个根，则此三角形的第三2180x 边是（ ） 27 27 、 6或 8 、 10或 、 或 、 5. 关于 的方程 是一元二次方程的条件是-（ ）x0)(2baxa A B C 且 D 或 1a1a2 6 等腰三角形的两边的长是方程 的两个根，则此三角形周长为 92 A. 27 B. 33 C. 27 和 33 D. 以上都不对 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片， 如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) Ax(x1)
25、1035 Bx(x1)10352Cx(x1)1035 D2x(x1)1035 8. 一元二次方程 2x(x3)5(x3)的根为 ( ) Ax Bx3 Cx 13，x 2 Dx 52 52 52 9.已知 ，则 等于（ ） 062y: A. B. C. D. 1或 或 或 3或 9.使分式 的值等于零的 x 是 （ ） 2561x A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 10 方程 x2-4x+3=0 的解是 （ ） A.x=1 或 x=3 B.x=1 和 x=3 C.x=-1 或 x=-3 D.无实数根 11.关于 x 的方程 x2-k2-16=0 和 x2-3k+12=0 有相同的实数
26、根, k 的值是 ( ) A.-7 B.-7 或 4 C.-4 D.4 12、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ） A、 B、 C、 D、12yx052x832x268x 13、请检验下列各数哪个为方程 的解（ ）86 A、 B、 C、 D、5 14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A、若 ； B、 ；2,42x则 2,632x则若 C、 ；10k且kx则的 一 个 根 是 D、 的值为零，则 。232x若 分 式 2x 15、 ，则 （ ）416bx如 果 的 值 为b A、 B、 C、 D、488 16、将方程 的形式，指出 分别是（ ）nmx2203化 为
27、 nm, A、 B、 C、 D、1和 1和41和 41和 17、已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（ ）02x A、 B、 C、 D、0n同 号mn的 整 数 倍是 mn异 号n 18、若 （ ）的 值 为则的 解为 方 程 1522 a且xa A、 B、 C、 D、16916 19、某超市一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果每月比上月 增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A、 B、 C、 D、%015%2025 三、解一元二次方程 （1） x (2x - 7) = 2x （2）x 2 -2x +4 =0 （3） （4） 2y 2 +7y-3=0
28、2213y （5） （6）0x 9)(y （7） （8）42 3657x （9） （10） 7 2 （11） （12） 2213y 04 （13） （14） 054x xx3 （15） （16） 4)2()(2 4)2(1)( 18、试证明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元x 012)08(2 axaa 二次方程； 19、有一边为 3 的等腰三角形，它的两边长是方程 的两根，求这个三角形240xk 的周长. 20、已知 ，求 的值。)0(4322yxyyx 21已知关于 x 的方程 01)(22axa （1）当 a 为何值时，方程是一元一次方程； （2）当 a 为何值时，方程是一元二次方程； （3）当该方程有两个实根，其中一根为 0 时，求 a 的值 22如图，在ABC 中， B=90 度，AB=6cm ，BC =12cm， 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发，几秒钟后， PBQ 的面积等于 8cm2 PA B Q C 12cm 6cm
