1、 一元二次方程培优专题复习 考点一、概念 (1)定义: 只含有一个未知数,并且 未知数的最高次数是 2,这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式: )0(2acbxa 难点: 如何理解 “未知数的最高次数是 2”: 该项系数不为“0” ; 未知数指数为“2” ;若存在某项指数为待定 系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题: 例 1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是( ) A、 B、 C、 D、123x 021x02cbxa2x 变式:当 k 时,关于 x的方程 是一元二次方程。322xk 例 2、方程 是关于 x的一元二次方程,则 m的值为 013mx
2、。 针对练习: 1、方程 的一次项系数是 ,常数项是 。782x 2、若方程 是关于 x的一元一次方程,01m 求 m的值: ;写出关于 x的一元一次方程: 。 3、若方程 是关于 x的一元二次方程,则 m的取值范围是 2x 。 4 、若方程 nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念: 使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 应用: 利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例 1、已知 的值为 2,则 的值为 。32y142y 例 2、关于 x的一元二次方程 的一个根为 0
3、,则 a的值为 axa 。 例 3、已知关于 x的一元二次方程 的系数满足 ,则此方02acbxa bca 程必有一根为 。 例 4、已知 是方程 的两个根, 是方程 的两个根,ba, 042mx, 0582my 则 m的值为 。 针对练习: 1、已知方程 的一根是 2,则 k为 ,另一根是 。012kx 2、已知关于 x的方程 的一个解与方程 的解相同。求 k的值;2 31x 方程的另一个解。 3、已知 m是方程 的一个根,则代数式 。012m2 4、已知 是 的根,则 。a3xa62 5、方程 的一个根为( )2cb A B 1 C D 1cba 6、若 。yx且yx324,035 考点三
4、、解法 方法: 直接开方法;因式分解法;配方法;公式法 关键点: 降次 类型一、直接开方法: mxmx,02 对于 , 等形式均适用直接开方法a22nb 典型例题: 例 1、解方程: =0; ;082x2165x;09132x 例 2、解关于 x的方程: 2ba 例 3、若 ,则 x的值为 。2169 针对练习: 下列方程无解的是( ) A. B. C. D.2x02xx132092 类型二、因式分解法 : 11,x或 方程特点: 左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0” , 方程形式: 如 , ,22nbxmaxcxabxa02x 典型例题: 例 1、 的根为( )35xx A B C
5、D 23,251x52x 例 2、若 ,则 4x+y的值为 。044yxyx 变式 1: 。222,6b且aba 变式 2:若 ,则 x+y的值为 。3yx 变式 3:若 , ,则 x+y的值为 。14282x 例 3、方程 的解为( )062x A. B. C. D.21且321且x321且xx 例 4、解方程: 得0432 x _,21xx 例 5、已知 ,则 的值为 。02yxy 变式:已知 ,且 ,则 的值为 。3220xyx 针对练习: 1、下列说法中:方程 的二根为 , ,则02qpx1x2 )(212xqpx . 486 )3(6522 aba 方程 可变形为)()(2 yxyx
6、07)13(x 正确的有( )A.1 个 B.2个 C.3个 0)713)(xx D.4个 2、以 与 为根的一元二次方程是() A B C D062x062x062yy 3、 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数: 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数: 4、若实数 x、y 满足 ,则 x+y的值为( )023yx A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程: 的解是 。12 6、已知 ,且 , ,求 的值。062yxx0yyx362 类型三、配方法 02acbxa 224acbx 在解方程中,多不用配方法;
7、但常利用配方思想求解代数式的值或极 值之类的问题。 典型例题: 例、已知 x、y 为实数,求代数式 的最小值。7422yx 针对练习: 1、已知 ,则 .0412xxx1 2、若 ,则 t的最大值为 ,最小值为 。93t 类型四、公式法 条件: 公式: ,04,02acba且 acbx24,2且 典型例题: 例、选择适当方法解下列方程: .6132x.863x0142x 0451 类型五、 “降次思想”的应用 求代数式的值; 解二元二次方程组。 典型例题: 例 1、已知 ,求代数式 的值。0232x123x 例 2、如果 ,那么代数式 的值。2x723 例 3、已知 是一元二次方程 的一根,求
8、 的值。a012x152 3a 考点四、根的判别式 acb42 根的判别式的作用: 定根的个数;求待定系数的值;应用于其它。 典型例题: 例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根,则 k的取值范围是 x012xk 。 例 2、关于 x的方程 有实数根,则 m的取值范围是( )2m A. B. C. D.10且m011 例 3、已知关于 x的方程 2kx (1)求证:无论 k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰 ABC的一边长为 1,另两边长 恰好是方程的两个根,求 ABC的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式,试求 的值.2)6(92mxm 例 5、 为何值时,方程组m.3,
9、y 有两个不同的实数解?有两个相同的实数解? 针对练习: 1、当 k 时,关于 x的二次三项式 是完全平方式。92kx 2、当 取何值时,多项式 是一个完全平方式?这个完全平方式是什么?432 3、已知方程 有两个不相等的实数根,则 m的值是 .022mx 4、 为何值时,方程组 (1)有两组相等的实数解,并求此解;k.04 ,2yk (2)有两组不相等的实数解;(3 )没有实数解. 5、当 取何值时,方程 的根与 均为有理数?04232 kmxx (2012 山东德州中考,15,4,)若关于 x 的方程 有实数解,那么实数 a()axa 的取值范围是_ (2012 湖北襄阳,12,3 分)如
10、果关于 x 的一元二次方程 kx2 x10 有两个不k 相等的实数根,那么 k 的取值范围是 Ak Bk 且 k0 C k D k 且 k0121212 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题: 例 1、关于 x的方程 有两个实数根,则 m为 ,只有0321mx 一个根,则 m为 。 例 2、不解方程,判断关于 x的方程 根的情况。322k 例 3、如果关于 x的方程 及方程 均有实数根,问这两方程02k0x 是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及 k的值;若没有,请说明理由。 考点六、应用解答题 “碰面”问题;“复利率”问题;“几何”问题;“最值”型问题;“图表” 类问题 典型例题:
11、 1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯 990次,问晚宴共有多少人出 席? 2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了 90张,那么这个小组共多少人? 3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投 放市场,根据计划,第一年投入资金 600万元,第二年比第一年减少 ,第三年比第二年31 减少 ,该产品第一年收入资金约 400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部21 收回,还要盈利 ,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?(结3 果精确到 0.1, )61.3 4、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品,据市场分析,若按每
12、千克 50元销 售,一个月能售出 500千克,销售单价每涨 1元,月销售量就减少 10千克,针对此回答: (1)当销售价定为每千克 55元时,计算月销售量和月销售利润。 (2)商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下,使得月销售利润达到 8000元, 销售单价应定为多少? 5、将一条长 20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能, 请说明理由。 (3)两个正方形的面积之和最小为多少? 6、 A、 B
13、两地间的路程为 36千米.甲从 A地,乙从 B地同时出发相向而行,两人相遇后, 甲再走 2小时 30分到达 B地,乙再走 1小时 36分到达 A地,求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 前提: 对于 而言,当满足 、 时,才能用02cbxa0a 韦达定理。 主要内容: 常用变形:2121, , ,211212()xxx122x221112()()4xxx , ,12121|42112 等2121212()xxx 应用: 整体代入求值。 典型例题: 例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根,则这个直角0782x 三角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D.36 例 2、解方程
14、组: .2,10)(;24,10)(yxxy 例 3、已知关于 x的方程 有两个不相等的实数根 , (1)求k 2,x k的取值范围;(2 )是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出 k的 值;若不存在,请说明理由。 例 4、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为 1)时,小明因看 错常数项,而得到解为 8和 2,小红因看错了一次项系数,而得到解为 -9和-1。你知道原 来的方程是什么吗?其正确解应该是多少? 例 5、已知 , , ,求 ba01a012bba 变式:若 , ,则 的值为 。22 例 6、已知 是方程 的两个根,那么 .,x34 针对练习 1
15、已知 , ,求 的值。2、已知472a72b)(aba 是方程 的两实数根,求 的值。21,x092x 63231xx 3.(湖北中考题)设 ,且 ,则421,0ab0a =_。 523ab 4. ( 四川中考题)如果方程 x2pxq0 的两个根是 x1,x 2,那么 x1x 2p,x 1x2q请根据以上结论,解决下列问题: (1)已知关于 x 的方程 x2mx n0 (n0) ,求出一个一元二次方程,使它的两根别 是已知方程两根的倒数;(2)已知 a、b 满足 a215a 50,b 215b50,求 ab 的值;(3)已知 a、b、c 均为实数,且 abc 0,abc 16,求正数 c 的最
16、小值ba 1.当 k 为何值时,关于 x 的方程 有实数根0212xkk 2.已知方程 是关于 x 的一元二次方程,求 a,b 的值02abxba 3 设 和 都是关于 x 的一元二次方程,01xa 0843bx 求: 的值。2012.ab 4 解下列方程: (1) (2)052x 0216132x (3) (4)5xx 02x 5 已知方程 求证:不论 m 为何值,次方程均有两个不相等的mxx2142 实根。 6 已知三个关于 x 的一元二次方程 02cbxa 02acxb 恰有一个公共实数根,求 的值。02bacx ab22 7 已知 试求 的值。012a0124b2012ab 8 关于
17、x 的方程 和方程 只有一个相同的实根,02)1(2xk 0)1(2kx 求 k 的值及公共根。 9 已知 a.b.c 分别是三角形 ABC 的三边长。当 m0 时,关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实根,试判断三角形 ABC 的形状。0222 axmxbmc 10 已知方程 与方程 的公共根和方程 与652x02x 0243x 方程 的公共根相同,求 m,n 的值。01n 11 m,n 是方程 的两个根,且 求 a 的012x1276314722 nam 值。 12 甲,乙两同学分别同时解同一个一元二次方程,甲把以此项系数看错了解的两根为-3 和 5 。乙把常数项看错了得两根为 和 ,
18、求原一元二次方程。62 13 已知关于 x 的方程 013)2(22mx (1)求证无论 m 为何值,方程总有两个不相等的实根 (2)设方程的两根为 , 求 m 的值。21,21 14 要使关于 x 的一元二次方程 的两根的平方和最小,013)2(22 mxx 求 m 的值。 15 已知函数 y= 和 y=kx+1(x0)2 (1)若这两个函数都经过(1,a)求 a 和 k 的值 (2)当 k 取何值时,这两个函数图像总有公共点 16 某商店销售一批名牌衬衫,平均每天可以销售 20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售, 增加利润,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,调查发现如果每件降价 1
19、元则每天 可以多销售 2 件,若商场平均每天盈利 1200 元,则每件应该降价多少元? 17 为实现国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从 2010 年起,市政府开始投资,以后逐年增长,2011 年投资了 3 亿元人民币。预计 2012 年底三年累计共投资 9.5 亿元人民币建设廉租房,若在这两年内投资的增长率相同,求 市政府投资的年增长率? 18 某商家从厂家以每件 21 元价格购进一批商品,该商家可自行定价。若每件商品售价 a 元,则可卖出(350-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的 20%。商 店计划要赚 400 元,需要卖出多少件商品?
20、每件商品售价多少? 一元二次方程培优训练 1.已知方程 3ax2-bx-1=0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则 a= , b= . 2关于 的方程 是一元二次方程,则 ;x03)(1xmm 3.设 是一个直角三角形两条直角边的长,且 ,则这个直角ba, 12)(22ba 三角形的斜边长为 ; 4. 当 时,代数式 的值为 0_x12x 5. 已知: ,则关于 的二次方程 的解是 1m04)5()1(2xmx ; 6 方程 的解是 ;x2)3( 413x 7.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有一个根为 1,则 a+b+c= ;若有一个根为-1,则 b 与 a、c 之
21、间的关系为 ;若有一个根为零,则 c= . 8、 则 xy= 234690xy 9、写出以 4,-5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 10、如果 是一个完全平方公式,则 。412xmx m 11、已知两个数的差等于 4,积等于 45,则这两个数为 和 。 12、当 时,关于 的方程 为一元二次方程。_0212x 13写出一个一元二次方程,使它的一个根为 2 14当 x= 时,代数式 的 值 相 等的 值 与 代 数 式 342x 15、方程 的根是 。032 16、用配方法解方程 ,则 ,所以62x_62x 。_,21x 17.要使关于 x 的一元二次方程 的两根的平方和最小,01
22、3)2(22mxx 求 m 的值。 7、下列方程是一元二次方程的是( ) A、 B、 C、 D、12yx21x 02x 8、关于 的一元二次方程 有实数根,则( )02kx A、 0 B、 0 C、 0 D、 0k kk 9、将方程 的形式,指出 分别是( )nmx223化 为 nm, A、 B、 C、 D、1和 31和 41和 41和 10、方程 的解是 ;0)2(x 11、当 y= 时,y 2-2y 的值为 3; 12、已知方程 x2+kx+3=0 的一个根是 - 1,则 k= _, 另一根为 _; 13、写出以 4,5 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 _; 14、某校去年投资
23、2 万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为 8 万元,若该校这两 年购买实验器材的投资的年平均增长率为 x,则可列方程_; 15、设 是一个直角三角形两条直角边的长,且 ,则这个直ba, 12)(22ba 角三角形的斜边长为 ; 三部分 1.方程不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x2=8 (a0) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3057x 2、若关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0,则 a 的值是 2211aa ( ) A、 1 B、 -1 C 、 1 或-1 D、 3、把方程 化成 的形式,则 m、n 的值是( )2830x2xmn
24、 A、4,13 B、-4,19 C、-4,13 D、4,19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程 的两个根,则此三角形的第三2180x 边是( ) 27 27 、 6或 8 、 10或 、 或 、 5. 关于 的方程 是一元二次方程的条件是-( )x0)(2baxa A B C 且 D 或 1a1a2 6 等腰三角形的两边的长是方程 的两个根,则此三角形周长为 92 A. 27 B. 33 C. 27 和 33 D. 以上都不对 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送 1035 张照片, 如果全班有 x 名同学,根据题意,列出方程为 ( ) Ax(x1)
25、1035 Bx(x1)10352Cx(x1)1035 D2x(x1)1035 8. 一元二次方程 2x(x3)5(x3)的根为 ( ) Ax Bx3 Cx 13,x 2 Dx 52 52 52 9.已知 ,则 等于( ) 062y: A. B. C. D. 1或 或 或 3或 9.使分式 的值等于零的 x 是 ( ) 2561x A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 10 方程 x2-4x+3=0 的解是 ( ) A.x=1 或 x=3 B.x=1 和 x=3 C.x=-1 或 x=-3 D.无实数根 11.关于 x 的方程 x2-k2-16=0 和 x2-3k+12=0 有相同的实数
26、根, k 的值是 ( ) A.-7 B.-7 或 4 C.-4 D.4 12、请判别下列哪个方程是一元二次方程( ) A、 B、 C、 D、12yx052x832x268x 13、请检验下列各数哪个为方程 的解( )86 A、 B、 C、 D、5 14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题,其中答对的是( ) A、若 ; B、 ;2,42x则 2,632x则若 C、 ;10k且kx则的 一 个 根 是 D、 的值为零,则 。232x若 分 式 2x 15、 ,则 ( )416bx如 果 的 值 为b A、 B、 C、 D、488 16、将方程 的形式,指出 分别是( )nmx2203化 为
27、 nm, A、 B、 C、 D、1和 1和41和 41和 17、已知一元二次方程 ,若方程有解,则必须( )02x A、 B、 C、 D、0n同 号mn的 整 数 倍是 mn异 号n 18、若 ( )的 值 为则的 解为 方 程 1522 a且xa A、 B、 C、 D、16916 19、某超市一月份的营业额为 200 万元,三月份的营业额为 288 万元,如果每月比上月 增长的百分数相同,则平均每月的增长率为( ) A、 B、 C、 D、%015%2025 三、解一元二次方程 (1) x (2x - 7) = 2x (2)x 2 -2x +4 =0 (3) (4) 2y 2 +7y-3=0
28、2213y (5) (6)0x 9)(y (7) (8)42 3657x (9) (10) 7 2 (11) (12) 2213y 04 (13) (14) 054x xx3 (15) (16) 4)2()(2 4)2(1)( 18、试证明关于 的方程 无论 取何值,该方程都是一元x 012)08(2 axaa 二次方程; 19、有一边为 3 的等腰三角形,它的两边长是方程 的两根,求这个三角形240xk 的周长. 20、已知 ,求 的值。)0(4322yxyyx 21已知关于 x 的方程 01)(22axa (1)当 a 为何值时,方程是一元一次方程; (2)当 a 为何值时,方程是一元二次方程; (3)当该方程有两个实根,其中一根为 0 时,求 a 的值 22如图,在ABC 中, B=90 度,AB=6cm ,BC =12cm, 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动,如果点 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发,几秒钟后, PBQ 的面积等于 8cm2 PA B Q C 12cm 6cm