1、和倍问题 【例题 1】 学校有科技书和故事书共 480 本，科技书的本数是故事书的 3 倍。两种书各有多 少本？ 【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分 析： 由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么 科技 书的本数就是这样的 3 份，两种书的总本数就是这样的 13=4 份。把 480 本书平均分成 4 份，1 份 是故事书的本数，3 份是科技书的本数。 480（13）=120（本） 1203=360（本）. 练习 1： 1. 用锡和铝制成的合金是 720 千克，其中铝的重量是锡的 5 倍。铝和锡各用了多少千克？ 2. 甲、乙两数的和是 112.甲数除以乙数的商是 6，甲、乙两数各是多少
2、？ 3. 一块长方形黑板的周长是 96 分米，长是宽的 3 倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？ 【例题 2】果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200 棵，其中梨树的棵数是苹果树的 3 倍，桃树的 棵数是苹果树的 4 倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？ 【思路导航】如果把苹果树的棵数看作 1 份，三种树的总棵数是这样的 1+3+4=8 份。所以，苹 果树有 12008=150（棵），梨树有 1503=450（棵），桃树有 1504=600（棵）. 练习 2： 1. 李大伯养鸡、鸭、鹅共 960 只，养鸡的只数是鹅的 3 倍，养鸭的只数是鹅的 4 倍。鸡、鸭、 鹅各养了多少只？ 2. 甲、乙
3、、丙三数之和是 360，已知甲是乙的 3 倍，丙是乙的 2 倍。求甲、乙、丙各是多少。 3. 商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共 560 支，圆珠笔的支数是钢笔的 3 倍，铅笔的支数与圆珠笔的 支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？ 【例题 3】有三个书橱共放了 330 本书，第二个书橱里的书是第一个的 2 倍，第三个书橱里的 书是第二个的 4 倍。每个书橱里各放了多少本书？ 【思路导航】把第一个书橱里的本数看作 1 份，那么第二个书橱里的本数是这样的 2 份，第三 个就是这样的 24=8 份，三个书橱里的总本数就是这样的 1+2+8=11 份。所以，第一个书橱里放了 33011=30（本），第二
4、个书橱里放了 302=60（本），第三个书橱里放了 604=240（本）。 练习 3： 1甲、乙、丙三个数之和是 400，已知甲是乙的 3 倍，丙是甲的 4 倍。求甲、乙、丙各是多少。 2三块钢板共重 621 千克，第一块的重量是第二块的 3 倍，第二块的重量是第三块的 2 倍。三 块钢板各重多少千克？ 3甲、乙、丙三个修路队共修路 1200 米，甲队修的米数是乙队的 2 倍，乙队修的数数是丙队 的 3 倍。三个队各修了多少米？ 【例题 4】少先队员种柳树和杨树共 216 棵，杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵，两种树各种了 多少棵？ 【思路导航】如果杨树少种 20 棵，那么柳树和杨树的总
5、棵数是 21620=196（棵），这里杨树 的棵数恰好是柳树的 3 倍。所以，柳树的棵数是 196（13）=49（棵），杨树的棵数是 21649=167（棵）。 练习 4：1.粮站有大米和面粉共 6300 千克，大米的重量比面粉的 4 倍还多 300 千克，大米和面 粉各有多少千克？ 2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得 168 分，小华的得分比小明的 2 倍少 42 分。两人各 得多少分？ 3.学校购买了 720 本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的 3 倍多 8 本，中 年级分得的比低年级的 2 倍多 4 本。高、中、低年级各分得图书多少本？ 【例题 5】三个筑路队共筑
6、路 1360 米，甲队筑的米数是乙队的 2 倍，乙队比丙队多 240 米。三 个队各筑多少米？ 【思路导航】把乙队的米数看作 1 份，甲队筑的米数是这样的 2 份。假设丙队多筑 240 米，那 么三个队共筑了 1360240=1600 米，正好是乙队的 211=4 倍。所以，乙队筑了 16004=400 米， 甲队筑了 4002=800 米，丙队筑了 400240=160 米。 练习 5：1.三个植树队共植树 1900 棵，甲队植树的棵数是乙队的 2 倍，乙队比丙队少植 300 棵。 三个队各植树多少棵？ 2. 三个数的和是 1540，甲数是丙数的 7 倍，乙数比甲数多 40。三个数各是多少？
7、 3. 城东小学共有篮球、足球和排球共 95 个，其中足球比排球少 5 个，排球的个数是篮球个数 的 2 倍。篮球、足球、排球各有多少个？ 差倍问题 例 1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的 3 倍，比踢踺子的多 36 人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 分析与解答：如果把踢踺子的人数看作 1 份，那么跳绳的人数是这样的 3 份。36 人是这样的 31=2 份。这样，把 36 人平均分成 2 份，1 份就是踢踺子的人数：362=18 人，跳绳的有 183=54 人。 练 习 一 1，城南小学三年级的人数是一年级人数的 2 倍，三年级的人数比一年级多 130 人。三年
8、级和一 年级各有多少人？ 2，一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的 4 倍，这种钢笔比圆珠笔贵 12 元。这种钢笔和圆珠笔的单 价各是多少元？ 3，农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少 6 公顷，第一块的面积是第二块的 3 倍。 两块试验田各是多少公顷？ 例 2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多 3900 千克，面粉的千克数比大米的 2 倍 还多 100 千克。仓库有大米和面粉各多少千克？ 分析与解答：如果面粉减少 100 千克，那么面粉的千克数就是大米的 2 倍，3900100=3800 千 克，就是大米的 21=1 倍。所以，大米有 38001=3800 千克，面粉有 3800
9、3900=7700 千克。 练 习 二 1，三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的 3 倍多 2 人，已知做游戏的比打球的 多 38 人，打球和做游戏的各有多少人？ 2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多 41 人，今年的人数比去年的 3 倍少 35 人。今年 有多少人参加？ 3，果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多 1600 棵，苹果树的棵数比桃树的 3 倍 多 100 棵。苹果树和桃树各种了多少棵？ 例 3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多 7 只，排球比篮球多 11 只，足 球的只数是篮球的 3 倍。足球、排球和篮球各买了多少只？ 分析与解答：由
10、题意可知，足球比篮球多买了 7+11=18 只，它是篮球的 31=2 倍。所以，买篮 球 182=9 只，买排球 9+11=20 只，买足球 20+7=27 只。 练 习 三 1，玩具厂二月份比一月份多生产玩具 2000 个，三月份比二月份多生产 3000 个，三月份生产的 玩具个数是一月份的 2 倍。每个月各生产多少个？ 2，某农具厂第三季度比第二季度多生产 2800 套轴承，第一季度比第二季度少生产 1200 套。第 三季度生产的是第一季度的 3 倍。求每季度各生产多少？ 3，三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折 12 架，小强比小亮少折 8 架，小晶折的是小强的 3 倍。三个人各折纸飞机
11、多少架？ 例 4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的 3 倍，卖出红糖 380 千克，白糖 110 千 克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？ 分析与解答：由“红糖卖出 380 千克，白糖卖出 110 千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来 红糖比白糖多 380110=270 千克，它是白糖的 31=2 倍。所以，白糖原有 2702=135 千克，红糖 原有 1353=405 千克。 练 习 四 1甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的 3 倍，从甲仓库运走 720 千克，从乙仓库运走 120 千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少
12、千克？ 2有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的 2 倍。如果第一筐中再放入 48 个，第二筐 中再放入 18 个，那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个？ 3甲桶的酒是乙桶的 4 倍，如果从甲桶中取出 15 千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量相等。原 来两桶酒各有多少千克？ 例 5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出 2 本，从乙书架取出 60 本后，乙 书架的本数是甲书架的 3 倍。原来两个书架各有图书多少本？ 分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取 240 本，从乙书架取出 60 本”可 知乙书架余下的书比甲书架多 24060=180 本，它是甲书架
13、余下的 2 倍，所以甲书架余下 1802=90 本。甲书架原有 90240=330 本。 练 习 五 1，两筐同样的苹果，甲筐卖出 8 千克，乙筐卖出 20 千克以后，甲筐剩下的是乙筐的 3 倍。两 筐苹果原来各有多少千克？ 2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出 60 元，乙存入 20 元，乙的存款是甲的 3 倍。两人原来 各有存款多少元？ 3，甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出 120 本放到乙书架，乙书架的本数是 甲书架的 4 倍。原来两个书架各有图书多少本？ 和差问题 例 1：三、四年级同学共植树 128 棵，四年级比三年级多植树 20 棵，求三、四年级各植树多少 棵？ 分
14、析与解答：假如把三、四年级植的 128 棵加上 20 棵，得到的和就是四年级植树的 2 倍，所以， 四年级植树的棵数是（128+20）2=74 棵，三年级植树的棵数是 7420=54 棵。 这道题还可以这样解答：假如从 128 棵中减去 20 棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的 2 倍， 由出，先求出三年级植树的棵数（12820）2=54 棵，再求出四年级植树的棵数：5420=74 棵。 练 习 一 1，两堆石子共有 800 吨，第一堆比第二堆多 200 吨。两堆各有多少吨？ 2，用锡和铝混合制成 600 千克的合金，铝的重量比锡多 400 千克。锡和铝各是多少千克？ 3，甲、乙两人年龄的和
15、是 35 岁，甲比乙小 5 岁。甲、乙两人各多少岁？ 例 2：两筐梨子共有 120 个，如果从第一筐中拿 10 个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。 两筐原来各有多少个梨？ 分析与解答：根据题意，第一筐减少 10 个，第二筐增加 10 个后，则两筐梨子个数相等，可知 原来第一筐比第二筐多 102=20 个。假如从 120 个中减去 20 个，那么得到的差就是第二筐梨子个 数的 2 倍，所以，第二筐原来有（12020）2=50 个，第一筐原来有 5020=70 个。 练 习 二 1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生 108 人，从三（1）班转 3 人到三（2）班，则两班 人数同样多。两
16、个班原来各有学生多少人？ 2，某汽车公司两个车队共有汽车 80 辆，如果从第一车队调 10 辆到第二车队，两个车队的汽车 辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆？ 3，甲、乙两笨共有水果 60 千克，如果从甲箱中取出 5 千克放到乙箱中，则两箱水果一样重。 两箱原来各有水果多少千克？ 例 3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是 38 岁，3 年前，小勇比妈妈小 26 岁。今年妈妈和小勇各 多少岁？ 分析与解答：3 年前，小勇比妈妈小 26 岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小 26 岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）2=32 岁，小勇（3826）2=6 岁。 练 习 三 1
17、，今年小刚和小强俩人的年龄和是 21 岁，1 年前，小刚比小强小 3 岁。今年小刚和小强各多 少岁？ 2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是 23 岁，4 年后，黄茜将比胡敏大 3 岁。黄茜和胡敏今年各 多少岁？ 3，两年前，胡炜比陆飞大 10 岁；3 年后，两人的年龄和将是 42 岁。求胡炜和陆飞今年各多少 岁。 例 4：甲乙两个仓库共有大米 800 袋，如果从甲仓库中取出 25 袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙 仓库还多 8 袋。两个仓库原来各有多少袋大米？ 分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出 25 袋放到乙仓库中，则甲 仓库比乙仓库还多 8 袋”可知甲仓库原来比乙仓库多
18、2528=58 袋。由此可求出甲仓库原来有 （80058）2=429 袋，乙仓库原来有 800429=371 袋。 练 习 四 1甲、乙两箱洗衣粉共有 90 袋，如果从甲箱中取出 4 袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多 6 袋。 两箱原来各有多少袋？ 2甲、乙两筐香蕉共重 60 千克，从甲筐中取 5 千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多 2 千克。 两筐原来各有多少千克香蕉？ 3两笼鸡蛋共 19 只，若甲笼再放入 4 只，乙笼中取出 2 只，这时乙笼比甲笼还多 1 只。甲、 乙两笼原来各有鸡蛋多少只？ 例 5：把长 108 厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多 12 厘米，长和宽各是多少厘米？ 分析与
19、解答：根据题意可知围成的长方形的周长是 108 厘米，因此，这个长方形长与宽的和是 1082=54 厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）2=33 厘米，宽为 5433=21 厘米。 练 习 五 1，把长 84 厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少 6 厘米。长和宽各是多少厘米？ 2，赵叔叔沿长和宽相差 30 米的游泳池跑 6 圈，做下水前的准备活动，共跑 1080 米。游泳池的 长和宽各是多少米？ 3，刘晓每天早晨沿长和宽相差 40 米的操场跑步，每天跑 6 圈，共跑 2400 米。这个操场的面积 是多少平方米？ 较复杂的和差倍问题 例 1：两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 1
20、2 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克？ 分析与解答：由“两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克 数是甲箱的 3 倍”可求出现在甲箱中有茶叶 96（13）=24 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶 2412=36 千克，乙箱原来有茶叶 9636=60 千克。 练 习 一 1，书架的上、下两层共有书 180 本，如果从上层取下 15 本放入下层，那么下层的本数正好是 上层的 2 倍。两层原来各有书多少本？ 2，甲、乙两人共储蓄 2000 元，甲取出 160 元，乙又存入 240 元，这时甲储蓄的钱数比乙的 2 倍少 20 元
21、。甲、乙两人原来各储蓄多少元？ 3，某畜牧场共有绵羊和山羊 3561 只，后来卖了 60 只绵羊，又买来山羊 100 只，现在绵羊的只 数比山羊的 2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只？ 例 2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做 5 道，丙做的是甲的 2 倍，比乙多做 20 道。他们一共做了多少道数学题？ 分析与解答：甲比乙多 5 道，丙比乙多 20 道，丙做的是甲的 2 倍，因此，205=15 道是丙的 一半，也就是甲做的道数。丙做了 152=30 道，乙做了 155=10 道。他们共做了：（205） （12）（205）5=55 道。 练 习 二 1，某厂一季度创产值比三季度
22、多 2 万元，二季度的产值是一季度产值的 2 倍，比三季度产值多 42 万元。三个季度共创产值多少万元？ 2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做 12 个，丙做的比甲的 2 倍少 20 个，比乙做的 多 38 个。这批零件共有多少个？ 3，果园里的苹果树是桃树的 3 倍，管理员每天能给 25 棵苹果树和 15 棵桃树洒农药。几天后， 当桃树喷完农药时，苹果树还有 140 棵没有喷药。果园里共有多少棵树？ 例 3：某工厂一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第三 车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？ 分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确
23、定的标准不同，解法也就不同。如果以第二 车间的人数为标准，第一车间减少 10 人，第三车间增加 15 人，那么 2801015=285 人是第二车 间人数的 3 倍，由此可以求出第二车间有 2853=95 人，第一车间有 9510=105 人，第三车间有 9515=80 人。 练 习 三 1，一个三层书架共放书 168 本，上层比中层多 12 本，下层比中层少 6 本。三层各放书多少本？ 2，一个三层柜台共放皮鞋 120 双，第一层比第二层多放 4 双，第二层比第三层多 7 双，三层各 多皮鞋多少双？ 3，四个数的和是 152，第一个数比第二个数多 16，比第三个数多 20，比第四个数少 12
24、。第一 个数和第四个数是多少？ 例 4：两个数相除，商是 4，被除数、除数、商的和是 124。被除数和除数各是多少？ 分析与解答：从 124 里去掉商，是 1244=120，它是除数的 14=5 倍，除数是 1205=24，被 除数是 244=94。 练 习 四 1，在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是 123。已知商是 3，被除数和除数各是多少？ 2，两个数相除，商是 5，余数是 7，被除数、除数、商、余数的和是 187，求被除数。 3，两个数相除，商是 17，余数是 8，被除数、除数、商和余数的和是 501，求被除数和除数是 多少。 例 5：甲的存款是乙的 4 倍，如果甲取出 110
25、元，乙存入 110 元，那么乙的存款是甲的 3 倍。 甲、乙原来各有存款多少元？ 分析与解答：由“乙存入 110 元，甲取出 110 元”，可知乙存入 110 元后相当于甲存款数的 3 倍，取出 1103=330 元；而由甲的存款是乙的 4 倍，可知甲原有存款的 3 倍相当于乙原有存款的 43=12 倍，乙现在存入 110 元后相当于甲原有的 12 倍，取 1103=330 元，所以，330110=440 元，相当于乙原有的 121=11 倍。所以，乙原有存款 44011=40 元，甲原有存款 404=160 元。 练 习 五 1，甲的存款是乙的 5 倍，如果甲取出 60 元，乙存入 60 元，那么乙的存款是甲的 2 倍。甲、乙 原来各有存款多少元？ 2，刘叔叔的存款是李叔叔的 6 倍，如果刘叔叔取出 1100 元，李叔叔存入 1100 元，那么刘叔叔 的存款是李叔叔的 2 倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？ 3，有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小 筐的 4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？
