1、四年级奥数之最值问题 知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小 问题” 。 “最大 ”、“ 最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常 会出现求最值问题，解决办法有： 一、枚举法 例 1 一把钥匙只能开一把锁，现在有 4 把钥匙 4 把锁。但不知哪把钥匙开 哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？ （北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题） 分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了 3 把还未成功，则第 4 把不用 试了，它一定能打开这把锁，因此需要 3 次。同样的道理开第二把锁最多试 2 次，开第三把锁最多试 1 次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试
2、的次数 为：321=6（次）。 二、综合法 例 2x3=84A（x、A 均为自然数）。A 的最小值是_。（1997 年南通 市数学通讯赛试题） 分析与解根据题意，84A 开立方的结果应为自然数，于是我们可以把 84 分解质因数，得 84=2237，因此 x3=2237A，其中 A 的质因数至少含 有一个 2、两个 3、两个 7，才能满足上述要求。 即 A 的最小值为（23377= ）882。 三、分析法 例 3 一个三位数除以 43，商是 a，余数是 b，（a、b 均为自然数）， ab 的最大值是多少？ （广州市五年级数学竞赛试题） 分析与解若要求 a b 的最大值，我们只要保证在符合题意之下
3、， a、b 尽 可能大。由乘除法关系得 43ab=一个三位数 因为 b 是余数，它必须比除数小，即 b43b 的最大值可取 42。 根据上面式子，考虑到 a 不能超过 23。（因为 24431000，并不是一 个三位数） 当 a=23 时，4323 10=999，此时 b 最大值为 10。 当 a=22 时，4322 42=988，此时 b 最大值为 42。 显然，当 a=22，b=42 时，ab 的值最大，最值为 22+42=64。 四、公式法 例 4 两个自然数的和为 18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？ （广州市小学数学竞赛试题） 我们经常说的一句话就是“和一定，差小积大，差大积
4、小“那么到底应该如 何准确理解并应用它解决实际问题呢？ ABC 和一定，指的是 A 与 B 的和是不变的，为 C。 差小积大，差指的是 A 和 B 的差距，A 和 B 差距越小，乘积越大； 差大积小，理解方法同上，A 和 B 差距越大，乘积越小。 所以，当 a=b=9 时，这两个自然数的积最大。为 91。 五、图表法 例 5 某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有 9 个停车站。如果这辆公 共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每 一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少 应有座位多少个？ （北京市“迎春杯” 数学竞赛试题） 分析与解根据
5、题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列 表如下： 从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此 时人数为 （10987 6 ）- （1 234）=30 （人） 所以这辆汽车至少应有座位 30 个。 最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种 常见的解题方法。 巩固练习: 1a、b 是 1、2、3、99、100 中的两个不同的数，求（a+b）（a-b）的 最大值 2有 40 枚棋子分别放入 8 个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的 一个盒子里，最多能有多少棋子？ 3一把钥匙只能开一把锁，现有 10 把钥匙和 10 把锁，最多要试验多
6、少次就能 配好全部的钥匙和锁？ 4将 5、6、7、8、9、0 这 6 个数字填入下面算式中，使乘积最大 5把 12 分解为两个自然数的和，使它们的积最大，求这个最大值 6100 名村民代表选举村委会主任，有三位候选人甲、乙、丙，每人只能选他 们中的一个人不能弃权，前 80 票中，甲得到 38 票，乙得到 32 票，丙得到 10 票，规定谁的票最多谁当选，甲若要当选，最少还需要多少张票？ 7数字和等于 23 的最小偶数是多少？ 8从十位数 7677782980 中划去 5 个数字，使剩下的 5 个数字（先后顺序不改 变）组成的五位数最小这个最小的五位数是 9下面是一个乘法等式问：当乘积最大时，所
7、填的四个数字的和是多少？ 5= 10现有 10 对钥匙和锁混放在一起，不知道哪把钥匙配哪把锁至多要试开多 少次，可把它们全部配成对 11一个五位数与 9 的和是没有重复数字的最小五位数，则原来五位数的个位 数字是什么？ 12如果各位数字都是 1 的某个整数能被 33333 整除，那么该整数中 1 的个数 最少有多少个？ 13将 1，2，3，4，5，6，7，8 这八个数字填入下面算式的八个“”内（每 个数字只能用一次），使得数最小，其最小得数是_. - 14有 9 颗钢珠，其中 8 颗一样重，另有一颗比这 8 颗略轻，用一架天平最少 称几次，可以找到那颗较轻的钢珠？ 15用 2、3、4、5、6、
8、7 这 6 个数字组成两个不同的三位数，要使这两个三位 数的乘积最大，则这两个三位数是多少？ 16现有一批树苗，如果每排 20 棵，最后余下 5 棵；如果每排 7 棵，最后剩下 2 棵，这批树苗最少有多少棵？ 17袋子里装 18 个大小相同的彩色木球，其中红球 3 个，黄球 5 个，绿球 10 个，现在一次从中任意取出 N 个，使这 N 个彩球中，保证至少有 5 个同色，请 问：N 的最小值是多少？ 18在多位数 464748495051 中划去 6 个数字，使剩下的数字（先后顺序不变） 组成的六位数最大这个最大的六位数是多少？ 19一个自然数 N 各位数字之和是 300，要使 N 最小，N 应当是几位数？它的首 位数应当是几？ 20四年级有学生若干名，若 7 人一行最后余 3 人；若 11 人一行最后余 5 人四年级最少有学生多少人？ 21有 A、B、C 共 3 人，从地点 P 到地点 Q 的距离为 3 千米，每个人可以每小 时 3 千米的速度步行在地点 P 有两辆自行车，如果使用自行车，速度可达到 每小时 15 千米，但每辆自行车只能一个人骑问怎样才能在最短的时间内使三 人都到达地点 Q？ 22、用 60 米长的铁板围成一个长方形鸡窝，问这个鸡窝的面积最大是多少？ 23、用 60 米长的铁板围成一个长方形鸡窝，现在要借助一个墙角，问这个鸡窝 的面积最大是多少？
