1、第 1 页 1原子的基本状况 1.1 解：根据卢瑟福散射公式： 20 02 244KMvctgbbZeZe 得到： 米 2 192150 152619079(.60)3.704(48.5(7.8)ZectgctgbK 式中 是 粒子的功能。21Mv 1.2 已知散射角为 的 粒子与散射核的最短距离为 ， 20 211()()4sinmZerv 试问上题 粒子与散射的金原子核之间的最短距离 多大？mr 解：将 1.1 题中各量代入 的表达式，得：mr 2in0211()()4sinZeMv 米 1929647(.0)110().81si75143.2 1.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向
2、金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子 核可能达到的最 解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为 。当入射粒子的动能全部转化为180 两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。 根据上面的分析可得： ，故有： 220min14pZeMvKr 2min04pZerK 米 1929 1367(.)0.401 由上式看出： 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核minr 第 2 页 代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为 米。13.40 1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细 粒子束射到单位面积上质量为 的银 22/105.米公 斤 箔上， 粒 解：设靶厚度为 。非垂直入射时引起
3、 粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的t 厚度 ，而是 ，如图 1-1 所示。t 60sin/t 因为散射到 与 之间 立体d 角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为： (1)dnNtd 而 为： （2）sin)(414220dMvze 把（2）式代入（1）式，得： （3）2sin)(41420dvzeNtnd 式中立体角元 00 2,/6i/,/ ttL N 为原子密度。 为单位面上的原子数， ，其中 是单位面积式Nt 10 )/(/NAmNtgg 上的质量； 是银原子的质量； 是银原子的原子量； 是阿佛加德罗常数。AgmAg 将各量代入（3）式，得： 2sin)()41(2420
4、dMvzeNndAg 由此，得：Z=47 第二章 原子的能级和辐射 2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 60 t, t 20 60 图 1.1 第 3 页 解：电子在第一玻尔轨道上即年 n=1。根据量子化条件，2hnmvrp 可得：频率 212112maa 赫 兹1508.6 速度： 米/秒./hv 加速度： 22122 0469秒米vrw 2.3 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基 跃迁时，会出现那些波长的光谱线？ 解：把氢原子有基态激发到你 n=2,3,4等能级上去所需要的能量是： 其中 电子伏特)1(2nhc
5、REH6.13HhcR 电子伏特.06.31 电子伏特1)(22 电子伏特8.4.3E 其中 小于 12.5 电子伏特， 大于 12.5 电子伏特。可见，具有 12.5 电子伏特能量21和 3E 的电子不足以把基态氢原子激发到 的能级上去，所以只能出现 的能级间的跃迁。4n 3n 跃迁时可能发出的光谱线的波长为： ARRARRHHHHHH102598)3(43)21(1656/5)(32221 第 4 页 91,411HLiHe 2.5 试问二次电离的锂离子 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可i 能使处于基态的一次电离的氦粒子 的电子电离掉？e 解： 由第一激发态向基态跃迁时发出的
6、光子的能量为：iL 的电离能量为：eHLiHeHeLiHeLiee MmRhvhcRc/162714)(4 由于 ，ieLieM/, 所 以 从而有 ，所以能将 的电子电离掉。Heihv 2.9 原子序数 Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：Li 解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的 价电子由高的 p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以 离子电离成 离子时，有LiLi 电 子 伏 特35.)591.0()591.0( 221 hcRcRhcE 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此 时，电离能 为：i Lii 3E 。电 子 伏
7、特4.121223 hcRZhcE 设 的电离能为 。而 需要的总能量是 E=203.44 电子伏特，所以有Li2ELi电 子 伏 特7.5312 2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？ 答：设原子的磁矩为 ，磁场沿 Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为 ，于 Z 第 5 页 是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为 ，其中 是磁场沿 Z 方向的梯度。ZBF 对均匀磁场， ，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁0ZB 场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场， 原子在磁场中除做上述运动外，0 还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。
8、2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的 梯度为 特310ZB 解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线； 在 区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域 后向外射出时粒子的速度为 ，出射方2L 1Lv 向与入射方向间的夹角为 。 与速度间的关系为：vtg 粒子经过磁场 出射时偏离入射方向的距离 S 为：1L （1）ZvBmS2)( 将上式中用已知量表示出来变可以求出 Z212211 /,vLZBmdStgLvvvLtZfatZ 把 S 代入（ 1）式中，得： 21212vLZvLZd 整理，得： )(212dBmZ 由此得： 特焦
9、 耳 /093.Z 第三章 量子力学初步 第 6 页 3.1 波长为 的 X 光光子的动量和能量各为多少？A1 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为： 12410 34106.6. 秒米千 克hp 能量为： /cvE 。焦 耳151083496./106. 3.2 经过 10000 伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长 用上述电压加速的? 质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： 对于电子：meVh2/ 库 仑公 斤 ， 193106.0.9em 把上述二量及 h 的值代入波长的表示式，可得： AA125.0.125. 对于质子， ，代入波长的表示式，得：库 仑
10、公 斤 ， 19706.6. em A319273482.0.106.2 3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来 的电子德AV25.1 布罗意波长与加速电压的关系式应改为： AVV)10489.(25.16 其中 V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长： ph/ 对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能 K 与其动量 p 之间有如下关系：2202cpKm 而被电压 V 加速的电子的动能为： eV 第 7 页 2002/)(ceVmpc 因此有： 20012/ cehp 一般情况下，等式右边根式中 一项的值都是很小的。所以，可以将上式的/mV 根式作泰
11、勒展开。只取前两项，得： )10489.(2)41(2 6000 VehcmeVh 由于上式中 ，其中 V 以伏特为单位，代回原式得：A5./0A)10489.(2.16 由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意 波长变短。 第四章 碱金属原子 4.1 已知 原子光谱主线系最长波长 ，辅线系系限波长 。求锂Li A670A3519 原子第一激发电势和电离电势。 解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电 子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为 ，电离电势为 ，则有：1VV 第 8 页 伏 特 。伏 特 375.)1(
12、850.1ehcVehcV 4.2 原子的基态 3S。已知其共振线波长为 5893 ，漫线系第一条的波长为 8193Na A ，基线系第一条的波长为 18459 ，主线系的系限波长为 2413 。试求AA 3S、3P、3D、4F 各谱项的项值。 解：将上述波长依次记为 AAAApfdppfd 2413,18459,8193,5893, maxmaxmax 即 容易看出： 16max34a16max3 085.127.04.1.米米 米米fDFdpPSTTv 4.3 K 原子共振线波长 7665 ，主线系的系限波长为 2858 。已知 K 原子的基态AA 4S。试求 4S、4P 谱项的量子数修正
13、项 值各为多少？ps, 解：由题意知： Pspp vT /1,285,764max 由 ，得：24)(sRTSSkRs4/4 设 ,则有Kmax41,9.PPT 第 9 页 与上类似 764.1/44PTRp 4.4 原子的基态项 2S。当把 原子激发到 3P 态后，问当 3P 激发态向低能级跃迁Li Li 时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？ 答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中 n 相同而 l 不同的能级 有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数 n 有关，而且与角量子数 l 有 关，可以记为 。理论计算和实验结果都表明 l 越小，能量越低于相应的氢原子),(l
14、nE 的能量。当从 3P 激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则： ，可能产生四条光谱，1l 分别由以下能级跃迁产生： 。SPSP23;2;3; 第五章 多电子原子 5.1 原子的两个电子处在 2p3d 电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的eH 符号表示之。已知电子间是 LS 耦合。 解：因为 ，21,112sl,3;,0,;2121LSllls，或 所以可以有如下 12 个组态： 4,3213,212,031,3,2,FSLDPSL 5.2 已知 原子的两个电子被分别激发到 2p 和 3d 轨道，器所构成的原子态为 ，eH D3 第 10 页 问这两电子的轨道角动量 之间的夹角，自旋角
15、动量 之间的夹角分别为多少？21llp与 21sp与 解：（1）已知原子态为 ，电子组态为 2p3dD32,1,2lSL 因此， 21212122114603/)(coscos6)()(L lllLLlllLll ppPlph （2） 12123(1)2()SspshPh 而 21212123703/)(coscosS ssSS ppP 5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是 4s4s。当其中有一个被 激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到 5s 态；（2）它被激发到 4p 态。试求出 LS 耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）
16、 情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？ 解：（1）组态为 4s5s 时 ，21,0121sl 第 11 页 130,;10,SJSL三 重 态时 单 重 态时 ， 根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的 5 种跃迁：0123301045;,SPP 所以有 5 条光谱线。 （2）外层两个电子组态为 4s4p 时： ，21,0121sl1 32,10,;2,10LSJPSJP时 ， 单 重 态 时 三 重 态 根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁， ，因此只有一条光谱线。014SP 5.4 试以两个价电子 为例说明,不论是
17、LS 耦合还是 jj 耦合都给出同样数321ll和 目的可能状态. 证明:(1)LS 耦合 LJS;0,1234,5时， 5 个 L 值分别得出 5 个 J 值,即 5 个单重态;1;1时 代入一个 L 值便有一个三重态个 L 值共有乘等于个原子态：6,543,4,32,132,0;HGFDP 因此，LS 耦合时共有个可能的状态 （）jj 耦合： 第 12 页 2121,., 257;35;jjjJsllj 或或或 将每个 合成 J 得：21j、 1,2342530,2,342731,5,6511 JjjJjj， 合 成和 ， 合 成和 ， 合 成和 ， 合 成和 共个状态： 1,2340,1
18、234,52,3451,2345,6 )(;)(;)7()7( 所以，对于相同的组态无论是 LS 耦合还是 jj 耦合，都会给出同样数目的可能状态 第六章 磁场中的原子 6.1 已知钒原子的基态是 。 （1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？2/34F （2）求基态钒原子的有效磁矩。 解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角 动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态 之角动量量子数 ，角动量在磁2/34F2/3J 场方向的分量的个数为 ，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分123J 裂为 4 束。 （2） JJPmeg2hPJ15)( 按 LS 耦
19、合： 5216)1(2)()( JSLJgBBJhme746.05125 第 13 页 6.3 漫线系的一条谱线 在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相Li )23(/1/2PD 应的能级跃迁图。 解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。 能级：2/3D,231,jSl 54)1(2)(1,32 jsljgM 能级：2/1P,Sl321gLv)06,30,6( 所以：在弱磁场中由 跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。2/12/PD 2D3/2 2P1/2 无磁场 有磁场 -3/2 -1/2 M 3/2 106/31/2 1/2 -1/2 6.5 氦原子光谱中波长为 及 的两条谱)213(1.6
20、78PpsDdsA )213(1.706503PpsSsA 线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞 曼效应？哪个不是？为什么？ 第 14 页 解：（1） 。1,02,0,2221 gMJSLD谱 项 ： 11,0gJSP谱 项 ： 。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以 的光谱线分裂v)1,( A1.678 成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为 L，是正常塞曼效应。 （2）对 2,01,1,0213 gMJSLS能 级 ： , 1103P，能 级 ：对 ，所以 的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的Lv)2,(A.7065 波数差均为 2
21、L，所以不是正常塞曼效应。 6.7 跃迁的精细结构为两条，波长分别为 5895.93 埃和 5889.96SPNa3原 子 从 埃。试求出原能级 在磁场中分裂后的最低能级与 分裂后的最高能级相并合时所2/ 2/1P 需要的磁感应强度。 解：对 ;34,21,231,2/3 gMjslP能 级 ： 磁场引起的附加能量为：;,2/1jl能 级 ： BmheMgE4 设 对应的能量分别为 ，跃迁 产生的谱线波长分,2/1/2/3SP012,E,2/1/2/12/3SP 别为 ；那么， 。 能级在磁场中发生分裂， 的附,A9.58,96.58 ,2/1/32P 加磁能分别记为 ；现在寻求 时的 B。12,E12BmehgME4)(212 由此得： chc)()( 211 即： ceg4)(2112 因此，有： )1(21MemcB 其中 ，将它们及各量代入上式得：2,31gM 第 15 页 B=15.8 特斯拉。
