1、第十一章 机械振动 11.2 简谐运动的描述 【教学目标】 1掌握用振幅、周期和频率来描述简谐运动的方法。 2理解振幅、周期和频率的物理意义。 3明确相位、初相和相位差的概念。 4知道简谐运动的表达式，明确各量表示的物理意义。 重点：振幅、周期和频率的物理意义。理解振动物件的固有周期和固有频率与振幅无关。 难点：理解振动物体的固有周期和固有频率与振幅无关。相位的物理意义。 【自主预习】 1.振幅：振动物体离开平衡位置的_距离。振幅的_表示的是做振动的物 体运动范围的大小。 定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅，用 A 表示，在国际单 位制中的单位是米(m)。 物理意义：振幅是表
2、示振动强弱的物理量，振幅越大，表示振动越强。 2简谐运动是一种_运动，一个完整的振动过程称为一次_。 3周期：做简谐运动的物体完成_所需要的时间，用_表示。 频率：单位时间内完成全振动的_，用_表示。 周期与频率的关系是_。 在国际单位制中，周期的单位是_，频率的单位是_，简称 _，符号是_，1 Hz1_。 物理意义：周期和频率都是表示振动快慢的物理量 4简谐运动的表达式： x_ _。其中 _。 做简谐运动的物体位移 x 随时间 t 变化的表达式： x Asin(t ) (1)式中 x 表示振动质点相对平衡位置的位移。 (2)式中 A 表示简谐运动的振幅。 (3) 式中 是简谐运动的圆频率，他
3、也表示简谐运动的快慢 (4)式中 表示 t0 时简谐运动质点所处的位置，称为初相位，或初相；( t ) 代表了做简谐运动的质点在 t 时刻处在一个运动周期中的某个状态，所以代表简谐运动的 相位。 (5)相位差：即某一时刻的相位之差，两个具有相同圆频率( )的简谐运动，设其初相 分别为 1和 2，当 2 1时，其相位差 ( t 2)( t 1) 2 1。 此时我们常说 2 的相位比 1 超前 ，或者说 1 的相位比 2 的相位落后 。 【典型例题】 【例 1】如图 1122 所示，弹簧振子在 BC 间振动， O 为平衡位置， BO OC5 cm，若 振子从 B 到 C 的运动时间是 1 s，则下
4、列说法正确的是 ( ) A振子从 B 经 O 到 C 完成一次全振动 B振动周期是 1 s，振幅是 10 cm C经过两次全振动，振子通过的路程是 20 cm D从 B 开始经过 3 s，振子通过的路程是 30 cm 选修 3-4 【思维点悟】一次全振动过程中振子要两次经过同一位置(最大位移处除外)，且路程为 4A，经过 n 次全振动，路程应为 4nA。 【例 2】物体 A 做简谐运动的振动位移，x A3sin m，物体 B 做简谐运动的振动( 100t 2) 位移，x B5sin m。比较 A、B 的运动 ( )( 100t 6) A振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m
5、B周期是标量，A、B 周期相等为 100 s CA 振动的频率 fA等于 B 振动的频率 fB DA 的相位始终超前 B 的相位 3 【例 3】 两个简谐运动分别为 x14asin(4bt )和 x22asin(4bt )，求它们的振幅 12 32 之比，各自的频率，以及它们的相位差。 【例 4】一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距 10 cm 的 A、 B 两点，历时 0.5 s(如图 1124)。过 B 点后再经过 t0.5 s 质点以大小相等、方向相反的速度再次 通过 B 点，则质点振动的周期是 ( ) A0.5 s B1.0 s C2.0 s D4.0 s 【课后练习】 1关
6、于简谐运动的频率，下列说法正确的是( ) A频率越高，振动质点运动的速度越大 B频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多 C频率是 50 Hz 时，1 s 内振动物体速度方向改变 100 次 D弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关 2有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 x 后释放让它振动，第二 次把弹簧压缩 2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( ) A1 ：1 1 ：1 B1 ：1 1 ：2 C1 ：4 1 ：4 D1 ：2 1 ：2 3如图 22 所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为 O，把振子拉到 A 点， OA1
7、 cm，然后释放振子，经过 0.2 s 振子第 1 次到达 O 点， 如果把振子拉到 A点，OA 2 cm，则释放振子后，振 C D O B 子第 1 次到达 O 点所需的时间为 ( ) A0.2 s B0.4 s C0.1 s D0.3 s 4一个弹簧振子做简谐运动，振幅为 A，若在 t 时间内振子通过的路程为 x，则下列关 系中不一定正确的是(包括肯定错误的 )( ) A若 t2T，则 x8A B若 t ，则 x2A T2 C若 t ，则 x2A T2 D若 t ，则 xA T4 5某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 xAsin t，则质点( ) 4 A第 1 s 末与第 3 s
8、 末的位移相同 B第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同 C第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同 D第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同 6某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则 ( ) A当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期 B当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D以上三种说法都不对 7如图所示，弹簧振子以 O 为平衡位置在 B、C 间做简谐运动，则 ( ) A从 B O C 为一次全振动 B从 O B O C 为一次全振动 C从 C O B O C 为一次全振
9、动 D从 D C D O B 为一次全振动 8在上题中的弹簧振子，若 BC=5 cm，则下列说法中正确的是（ ) A振幅是 5 cm B振幅是 2.5 cm C经 3 个全振动时振子通过的路程是 30 cm D不论从哪个位置开始振动，经两个全振动，振子的位移都是零 9下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是 ( ) A振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处 B周期和频率的乘积是个常数 C振幅增大，周期也必然增大，而频率减小 D弹簧振子的频率只由弹簧的劲度系数决定 10一弹簧振子的振动周期为 0. 20 s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过 1.78 s 时， 振子的运动情况是 (
10、 ) A正在向右做减速运动 B正在向右做加速运动 C正在向左做减速运动 D正在向左做加速运动 11一个做简谐运动的物体，频率为 25 Hz，那么它从一侧最大位移的中点 D，振动到 另一侧最大位移的中点 C 所用的最短时间，下面说法中正确的是 ( ) A等于 0.01 s B小于 0.01 s C大于 0.01 s D小于 0.02 s 大于 0.01 s 12质点沿直线以 O 为平衡位置做简谐运动， A、B 两点分别为正最大位移处与负最大 位移处的点，A、B 相距 10 cm，质点从 A 到 B 的时间为 0.1 s，从质点到 O 点开始计时， 经 0.5 s，则下述说法中正确的是 ( ) A
11、振幅为 10 cm B振幅为 20 cm C通过路程 50 cm D质点位移为 50 cm 13一物体沿 x 轴做简谐运动，振幅为 8 cm，频率为 0.5 Hz，在 t0 时，位移是 4 cm，且向 x 轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程。 14一质点在平衡位置 O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经 0.13 s 质点第一次通过 M 点，再经 0.1 s 第二次通过 M 点，则质点振动周期的可能值为多大？ 例题答案： 1. 【答案】D 【解析】振子从 B O C 仅完成了半次全振动，所以周期 T21 s2 s，振幅 A BO5 cm。振子在一次全振动中通过的路程为 4
12、A20 cm，所以两次全振动中通过 的路程为 40 cm,3 s 的时间为 1.5T，所以振子通过的路程为 30 cm。 2. 【答案】C、D 【解析】振幅是标量，A、B 的振动范围分别是 6 m、10 m，但振幅分别为 3 m、5 m，A 错；A、B 的周期 T s s6.2810 2 s， B 错；因为 TAT B，故 fAf B，C 2 2100 对； AO BO ，D 对，故选 C、D。 3 3. 解析：振幅之比 。它们的频率相同，都是 f 2b。它们的相位 A1A2 4a2a 21 2 4b2 差 2 1 ，两振动为反相。 4. 【答案】C 【解析】根据题意，由振动的对称性可知：AB
13、 的中点(设为 O)为平衡位置，A、B 两 点对称分布于 O 点两侧，如图 1125。质点从平衡位置 O 向右运动到 B 的时间应为 tOB 0.5 s 0.25 s。质点从 B 向右到达右方极端位置(设为 D)的时间 tBD 0.5 s0.25 12 12 s。所以，质点从 O 到 D 的时间： tOD T0.25 s0.25 s0.5 s 14 所以 T2 s。 课后练习： 1. 解析：简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描写物体运动的快慢用速度， 而速度是变化的，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。振动 的越快和运动的越快意义是不同的，故 A 错误；简谐运动的物
14、体在一个周期内速度的方向 改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多， 故 B、C 正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统 的固有量：质量 m 和弹簧的劲度系数 k 决定，故 D 错误。 2. 解析：弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振 幅之比为 1 2。而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为 1 1。 答案：B 3. 解析：简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振 子第 1 次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的 ，它们相等。 14 答案：A 4. 解析： 若
15、t ，质点通过的路程必为 2A，选项 C 错；若 t ，则质点通过的路 T2 T4 程可能大于 A，可能等于 A，也可能小于 A，故选项 D 不一定正确。 答案：C、D 5. 解析：根据 xAsin t 可求得该质点振动周期为 T8 s，则该质点振动图象如图所 4 示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第 1 s 末和第 3 s 末的位移相 同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项 A 正确、B 错误；第 3 s 末和第 5 s 末的位移 方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项 C 错误，D 正确。 答案：A、D 6.D 7.C 8.BCD 9.B 10B 11.B
16、 12.C 13. 解析：简谐运动振动方程的一般表达式为 xAsin(t)。 根据题给条件有：A0.08 m，2f。所以 x0.08sin(t) m。将 t0 时 x0.04 m 代入得 0.040.08sin，解得初相 或 。因为 t0 时，速度方向沿 x 轴 6 56 负方向，即位移在减小，所以取 。即所求的振动方向为 x0.08sin( t )m。 56 56 答案：x0.08sin(t ) m 56 14. 解析：质点振动周期共存在两种可能性。设质点在 AA范围内运动。 (1)如图甲所示，由 OMA 历时 0.13 s0.05 s0.18 s，则周期 T140.18 s0.72 s。(2)如图乙所示，由 OA M 历时 t10.13 s，由 MAM 历时 t20.1 s，设由 OM 或由 M O 需时为 t，则 0.13t2t 0.1，故 t0.01 s，所以周期 Tt 1t 2t0.24 s。 答案：0.72 s 或 0.24 s
