1、高中数学总复习 球和立体几何中的创新问题 【知识要点】 1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。 2截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有 关问题。 3球的表面积、体积公式：S=4R 2，V= 34R3 4. 球中的切接问题：可以正方体，长方体，正四面体为例做推导。 *5球面距离：球面上两点的大圆劣弧长，是球面上两点间的最短距离 *6地球仪中的经纬度：纬度为线面角，经度为二面角 【实战训练】 【球的问题】 1. 64 个直径都为 的球，记它们的体积之和为 ，表面积之和为 ；一个直径为 的球，记其体积4a甲V甲Sa
2、为 ，表面积为 ，则（ C ）乙V乙S （A） （B） 乙甲乙甲 且 乙甲乙甲 且 （C） （D） 乙甲乙甲 且 乙甲乙甲 且 SV 2.球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ C ）倍。 （A） （ B）2 （C） （D）4 2 2 3在球面上有四个点 P,A,B,C，且满足 PA=PB=PC= ，PA,PB,PC 两两垂直，则球的表面积为a _；体积为_ （ ）23, 4自球面上一点 P 作球的两两垂直的三条弦 PA、PB、PC，球的半径为 R，则 （ 22PCBA A ） （A） （B）3R （C ）2R （D）2R222 5. 两球的表面积之差为 ，它们的大圆周长之和为
3、 ，则这两球的直径之差为（ D ）481 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 6半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点，且满足 ，则0,0ABAB 的最大值为（ 为三角形的面积）_32ABCDABSSS 7与棱长为 的正方体各条棱都相切的球的直径为_a 2a 8正四面体的内切球半径与其外接球半径的比为_ 1:3 9球的外切正四面体的高是球的直径的_倍2 10半径为 R 的球的内接正四面体的高为 _ 4R 11正四面体的棱长为 1，球 O 与正四面体的各棱均相切，且 O 在正四面体的内部，则球 O 的表面积为 _ 2 12将半径都为 1 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正
4、四面体的高的最小值为（ C ） A B C D3626326434326 13在一个大空心球的内部装有四个半径为 1 的实心球，那么这个大球的表面积至少是（ A ）A B C D2()21()5 14三个半径为 R 的小球两两相切放在水平桌面上，又一个半径为 r 的小球同时与这三个小球相切，且 和桌面也相切，则 R：r 为（ D ） A B C D3:2:6:13: 17已知球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4，则球的半径 等于_；球的表面积等于_；球的体积等于_ （ ）36,5427 18正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 ，
5、且它的五个顶点都在同一球面上，则此球的半6 径为_ 32 19在北纬 60o 圈上有 A，B 两地，它们经度相差 180o，则 A，B 两地沿纬度圈的弧长与 A，B 两地的 球面距离之比是_ 3：2 20设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 45o，东经 120o，乙地位于南纬 75o，东经 120o，则甲、乙两地 的球面距离为( D ) A B C D365R 21球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆的周长为 ，164 那么这个球的半径为_ 23 22已知球 O 的半径为 1，A,B,C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 ，则球心 O 到平面2 高中
6、数学总复习 ABC 距离为_ 3 23半径为 1 的球面上有 A,B,C 三点，已知 A 和 B，A 和 C 之间的球面距离均为 ，B 和 C 之间的球2 面距离为 ，则 A,B,C 三点的截面到球心的距离是 _ 3 17 24.如图，在斜三棱柱 中，1CAB ，aBA11 , 侧面 与底面 ABC 所成的二面角为 ，C20 E、F 分别是棱 的中点B1、 （）求 与底面 ABC 所成的角A1 （）证明 平面 FC1 （）求经过 四点的球的体积。B、1 （）解：过 A1 作 A1H平面 ABC，垂足为 H. 连结 AH，并延长交 BC 于 G，连结 EG，于是 A 1AH 为 A1A 与底面
7、ABC 所成的角. A 1AB=A 1AC， AG 为BAC 的平分线. 又AB=AC， AGBC，且 G 为 BC 的中点 因此，由三垂线定理，A 1ABC. A 1A/B1B，且 EG/B1B， EGBC 于是 AGE 为二面角 ABCE 的平面角，即 AGE=120 由于四边形 A1AGE 为平行四边形，得A 1AG=60， 所以，A 1A 与底面 ABC 所成的角为 60， （）证明：设 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点，连结 PF. 在平行四边形 AGEA1 中，因 F 为 A1A 的中点，故 A1E/FP. 而 FP 平面 B1FC，A 1E/平面 B1F
8、C，所以 A1E/平面 B1FC. （）解：连结 A1C，在A 1AC 和A 1AB 中，由于 AC=AB，A 1AC=A 1AB， A1A=A1A，则A 1ACA 1AB，故 A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a. 又A 1H平面 ABC， H 为ABC 的外心. 设所求球的球心为 O，则 OA 1H，且球心 O 与 A1A 中点的连线 OFA 1A. 在 Rt A1FO 中， .30cos2 1s11 aHAFO 故所求球的半径 ，球的体积 .aR3 33274)(4aRV 【创新问题】 1.若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. 26
9、 B. 3 C. 3 D. 23 答案 C 2. （ 2008 海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的 最大值为（ ） A 2 B 23 C 4 D 25 答案 C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 ,mnk，由题意得227mnk ， 261n1a ， 1b，所以 22()()6ab28b ， 2 2()816ab4 当且仅当 时取等号。 3.（2008 海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直
10、底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 3，底面周长为 3，那么这个球的体积为_ 答案 3 【解析】正六边形周长为，得边长为 12，故其主对角线为，从而球的直径21R n m k 高中数学总复习 z y x R A D B C P 1R 球的体积 43V. 4. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 5. 在正四棱柱 1ABCD中，顶点 1B到对角线 1D和到平面 1ABC的距离分别为 h和 d， 则下列命题中正确的是（ C ） A若侧棱的长小于底面的边长，则 hd的取值范围为（
11、0，1） B若侧棱的长小于底面的边长，则 的取值范围为 23(,) C若侧棱的长大于底面的边长，则 hd的取值范围为 (,) D若侧棱的长大于底面的边长，则 的取值范围为 23(,) 6.如图，在直三棱柱 1ABC中，底面为直角三角形，9062ACB， P是 1BC上一动点， 则 1P的最小值为 解：连结 ，沿 1将 1CB 展开与 1A 在同一个平面内， 如图所示，连 A，则 的长度就是所求的最小值 通过计算可得 190，又 145故 135C， 由余弦定理可求得 52C 7.如图，在长方形 ABD中， ， B， E为 D的中点， F为线段 EC（端点除外）上一 动点现将 F沿 折起，使平面
12、 A平面 在平面 AB内过点 D作 KAB，K 为垂足设 t，则 的取值范围是 答案： 1,2 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时， 1t，随着 F 点到 C 点 时，因 ,CBADKCB平面 A，即有 CBD，对于 2,3BD， 又 1,2，因此有 ，则有 12t，因此 t的取值范围是 8. 如图，已知等腰直角三角形 R，其中 =90， 2R 点 A、D 分别是 B、 C的中点，现将 A沿着边 折起到 P位置，使 A ，连结 PB、 C （1）求证： ； （2）求二面角 的平面角的余弦值 （1）证明 点 A、D 分别是 R、 的中点， BC21,/. P
13、=90. . , ABC, 平面 . P平面 , . （2）解 建立如图所示的空间直角坐标系 xyz 则 D（1，0，0） ， C（2，1，0） ， P（0，0，1）. =（1，1，0） ， D=（1，0，1）, 设平面 P的法向量为 n=（x，y，z） ，则： A C P B 1A 1C 1B 图 A C P B 1 1 图 高中数学总复习0zxDPnyC ， 令 1，得 1,， =（1，1，1）. 显然， A是平面 CD的一个法向量， PA=（ ,01） cos= 31 二面角 PCD的平面角的余弦值是 3. 9. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三
14、角形不共面的概 率为 （ ） A B C D36785376851921835 【答案】A 解析：此问题可以分解成五个小问题： （）由正方体的八个顶点可以组成 个三角形；386c （）正方体八个顶点中四点共面有 12 个平面； （）在上述 12 个平面中每个四边形中共面的三角形有 个；24c （）从 56 个三角形中任取两个三角形共面的概率 ；35618p （）从 56 个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得 故选 A18367;5P 10.如图，正方体 中，点 在侧面 及其边界上运动，并且总保持1DCBP1BC ，则动点 的轨迹是（ A ）1BDAP A线段 B线
15、段 1C C线段 的中点与 的中点连成的线段1 D线段 的中点与 的中点连成的线段B 分析：由三垂线定理知：线段 与 、 都垂直，则过点 A 且垂直于 的平面为 ，因1BDAC1BDC1A 此 ，因此答案应选 A .CA1面面 P 11.四棱锥 中， ，底面 ABCD 为梯形， ，满P平 面 4,8,P 足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（ B ） A. 圆 B. 不完整的圆 C. 抛物线 D. 抛物线的一部分 12.已知正方体 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线 的距离等1DCBA 1DA 于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（ B
16、） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 简析：如图 4，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系。设 P（x,y） ，作 ADE 于 E、 于 F，连结 EF，易知1DPx|F22 又作 于 N，则 。CP|1y|P| 依题意 ，|F 即 ，|1y|x2 化简得 02 故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B。 【学会用模型化观点解决立体几何问题】 【一】长方体模型 长方体 中 是长方体的对角线，它有几个结论：1ABCD1 ABCDP c ba D 1 C1 B1A1 D C BA 高中数学总复习 体对角线长是： 221BDabc 体的对角线与一个端点的
17、三条棱所成的角分别为 ，则,222coscos1 考虑四面体 是对棱长分别相等的四面体，即 ，1CA111,ABDCABC 对棱长分别是 .222,abca 例：某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是 ，求四面体的体积.,bc 分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为 的长方体中，,xyz 如图，由 2222,.axybzc 把 看作三个元，解这个三元方程组得：,xyz 这样 都可以用这个四面体的对棱长来表达. 2222,.abcybaz,xyz 四面的体积 长方体的体积 4 个三棱锥的体积 所以 .2222214()()()63xyzVabcabc 四面体中异面对棱长分别为 的四
18、面体的体积的算法嵌入法.这种方法叫做嵌入法， “嵌入”的意,bc 思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较 好求的.这就是长方体模型的一个利用. 例:如图，三棱锥 中， ，PABCPBCPA90 在 内， ，求 的度数.MABC60,45PMBPC 分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的 三个面是吻合的，这样 PM 是这个长方体的 对角线.根据 ，222coscoscos1MPBCMPA 可得 ，从而 .如果在图中随便连 MC，14C60 解MPC 那恐怕不是好办法. 这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比
19、较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去， 而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以 PM 为对角线的长方体嵌到三棱锥 是完全可能的.PABC 【二】直角四面体模型 在三棱锥 中， ，且 . PABC,PBCPA,abc 以 P 为公共点的三个面两两垂直； ABC 是锐角三角形 证明：设 ABC 中,abc . 22222()()()cos 0ABCabcba 所以 为锐角，同理 也为锐角., P 在底面 ABC 的射影是ABC 的垂心 三棱锥 的高ABC22abch 设直线 AH 交 BC 于 D 点，由于 H 点一定在ABC 内部，所以 D 点一定在 BC 上，连结 PD. z yx D 1 C1
20、 B1A1 D C BA P C B A M P C B A M P C B A c ba H P C B A c ba DH P C B A c ba 高中数学总复习 在PAD 中， 222()bcaabcPH 这个结果也可以这样说：如果在三棱锥 中，在底面上作 于 D，连结 PD，PABCABC 则 .或者说：作 则 .这将来对二面角的平面角有好的影响.PDC,D连 结 D 体积： ;它的外接球直径是 .16Vabc22abc 例：直二面角 中，ABCD 是边长为 2 的正方形（见图）AEBE，F 为 CE 上的点，BF 面ABE ACE，求 D 到面 ACE 的距离 . 分析：这是一道高
21、考中的大题.因为 DAB E 是直二面角，BC面 ABE，当然面 ABCD面 ABE，又 因为 ABCD 是正方形，BC 要垂直于面 ABE. 在 ABE 中，AE 就是面内的一条线，而 BE 就是 BF 在该面内的射影，而 AE 是垂直于 BF，这是因 为 BF 垂直面 ACE 的，所以 AE 是垂直于面 ACE 的.所以 AE 垂直于 BF，又有 AEBE，所以 ABE 是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束ABE 的形 状. 补充图形，在正方体 看问题.在这里看直二面角的局部图形.1ABCD 问题就转化为：求 D 到面 ACE 的距离，就是求 O 点到面
22、 AB1C 的距离. 因为 O，B 到面 ACB1 的距离相等，所以只须求 B 到面 ACB1 的距离即可， 考虑三棱锥 BACB 1，它是模型 2. 342,CAF 所以，D 到面 ACE 的距离为 .3 【三】正四面体模型 正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广 泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图，正四面体 ，E、F 分别是对棱ABCD BC、AD 的中点， AED 是它的对称面，若正四面体的棱长为 1，通过解AED ，可得它的对棱距离 .高 ，内切球半径 ，外接球的半径 ，表面积为 ，2EF63AG642AGr364
23、GR3 体积为 ，相邻面所成的角的平面角为 ，侧棱与底面成的角为1 1arcos3ED .3arcosADE 【四】直四面体模型 如图 3，四面体 ABCD ，AB面 BCD，CD面 BCA， 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形， 不妨称为直四面体，主要性质： （1）它的四个面都是直角三角形； （2） ；coscsosADCBDC （3）以 BD、BC 和 AC 为棱的二面角都是直二面角，以 AB、BC 为棱的二面角的平面角，分别是 与 ；B （4）以 AD 为棱的二面角为 ，则 ；cosAB （5）对棱 AB 与 CD 垂直，且 BC 是它们的公垂线； （6）对棱 AD 与 BC 为异面
24、直线，它们夹角为 ，则 ，等等.cosCAD 例：如图 6，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （1）求证：AE平面 BCE； （2）求二面角 BACE 的大小； （3）求点 D 到平面 ACE 的距离 . 分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体 AEBC 是一个双垂四面体，若二面角 BACE 的平 面角为 ，则 ，由条件可以计算出 ABCB=2,AE= ， ，cosCABE 26C O D 1 C 1B1A1 FED CBA 图 3 D C B A 图6 F E D C BA 高中数学总复习 .3arcos 值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜 线长的比，点 D 到平面 ACE 的距离等于 B 点到平面 ACE 的距离，也就是线段 BF 的长为 23.6EBC
