1、安培力与磁电式仪表 思想方法提炼 带电粒子在某种场(重力场、电场、磁场或复合场 )中的运动问题，本质还是物体的动 力学问题 电场力、磁场力、重力的性质和特点：匀强场中重力和电场力均为恒力，可能做功； 洛伦兹力总不做功；电场力和磁场力都与电荷正负、场的方向有关，磁场力还受粒子的速 度影响，反过来影响粒子的速度变化. 一、安培力 1.安培力：通电导线在磁场中受到的作用力叫安培力. 【说明】磁场对通电导线中定向移动的电荷有力的作用，磁场对这些定向移动电荷作 用力的宏观表现即为安培力. 2.安培力的计算公式：F=BILsin ；通电导线与磁场方向垂直时，即 = 900，此时安培 力有最大值；通电导线与
2、磁场方向平行时，即 =00，此时安培力有最小值，F min=0N；0 90时，安培力 F 介于 0 和最大值之间. 3.安培力公式的适用条件； 一般只适用于匀强磁场；导线垂直于磁场； L 为导线的有效长度，即导线两端点所连直线的长度，相应的电流方向沿 L 由始端 流向末端； 如图所示， 几种有效长度； 安培力的作用点为磁场中通电导体的几何中心； 根据力的相互作用原理，如果是磁体对通电导体有力的作用，则通电导体对磁体有 反作用力. 【说明】安培力的计算只限于导线与 B 垂直和平行的两种情况. 二、左手定则 1.通电导线所受的安培力方向和磁场 B 的方向、电流方向之间的关系，可以用左手定 则来判定
3、. 2.用左手定则判定安培力方向的方法：伸开左手，使拇指跟其余的四指垂直且与手掌 都在同一平面内，让磁感线垂直穿入手心，并使四指指向电流方向，这时手掌所在平面跟 磁感线和导线所在平面垂直，大拇指所指的方向就是通电导线所受安培力的方向. 3.安培力 F 的方向既与磁场方向垂直，又与通电导线方向垂直，即 F 总是垂直于磁场 与导线所决定的平面.但 B 与 I 的方向不一定垂直. 4.安培力 F、磁感应强度 B、电流 I 三者的关系 已知 I、B 的方向，可惟一确定 F 的方向； 已知 F、B 的方向，且导线的位置确定时，可惟一确定 I 的方向； 已知 F、I 的方向时，磁感应强度 B 的方向不能惟
4、一确定. 三、洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力. 1.洛伦兹力的公式：F=qvBsin； 2.当带电粒子的运动方向与磁场方向互相平行时，F=0； 3.当带电粒子的运动方向与磁场方向互相垂直时，F=qvB; 4.只有运动电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中受到的磁场 对电荷的作用力一定为 0； 四、洛伦兹力的方向 1.运动电荷在磁场中受力方向可用左手定则来判定； 2.洛伦兹力 f 的方向既垂直于磁场 B 的方向，又垂直于运动电荷的速度 v 的方向，即 f 总是垂直于 B 和 v 所在的平面 . 3.使用左手定则判定洛伦兹力方向时，若粒子带正电时，四个手指的指向与正电荷的运 动方
5、向相同.若粒子带负电时，四个手指的指向与负电荷的运动方向相反. 4.安培力的本质是磁场对运动电荷的作用力的宏观表现. 五、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分三种情况：一是匀速直线运动；二是 匀速圆周运动；三是螺旋运动.从运动形式可分为：匀速直线运动和变加速曲线运动. 2.如果不计重力的带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，带电粒子做匀速直线运动， 是因为带电粒子在磁场中不受洛伦兹力的作用. 3.如果不计重力的带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时，带电粒子做匀速圆周运动， 是因为带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力始终与带电粒子的运动方向垂直，只改变其运动 方向，不改
6、变其速度大小. 4.不计重力的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径 r=mv/Bq;其运动周期 T=2m/Bq(与速度大小无关). 5.不计重力的带电粒子垂直进入匀强电场和垂直进入匀强磁场时都做曲线运动，但有 区别：带电粒子垂直进入匀强电场，在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动) ；垂直进入 匀强磁场，则做变加速曲线运动(匀速圆周运动) 6.带电粒子在匀强磁场中做不完整圆周运动的解题思路： (1)用几何知识确定圆心并求半径. 因为 F 方向指向圆心，根据 F 一定垂直 v，画出粒子运动轨迹中任意两点(大多是射入 点和出射点)的 F 或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半
7、径与弦长的 关系. (2)确定轨迹所对的圆心角，求运动时间. 先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于 360(或 2)计算出圆心角 的大小，再由公式 t=T/3600(或 T/2 )可求出运动时间. 六、带电粒子在复合场中运动的基本分析 1.这里所说的复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场.带电粒 子在这些复合场中运动时，必须同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用或其中某两种力 的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要. 2.当带电粒子在复合场中所受的合外力为 0 时，粒子将做匀速直线运动或静止. 3.当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将
8、做变速直线运动. 4.当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动. 5.当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则粒子将做变加速运动， 这类问题一般只能用能量关系处理. 七、电场力和洛伦兹力的比较 1.在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、 且速度与磁场方向不平行的电荷有洛伦兹力的作用. 2.电场力的大小 F=Eq,与电荷的运动的速度无关；而洛伦兹力的大小 f=Bqvsina，与电 荷运动的速度大小和方向均有关. 3.电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛伦兹力的方向始终既和磁场垂直， 又和速度方向垂直. 4.电场既可以改变电荷
9、运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛伦兹力只 能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小. 5.电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛伦兹力不能对电荷做功，不能改变 电荷的动能. 6.匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛伦 兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧. 八、对于重力的考虑 重力考虑与否分三种情况.(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交 待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而 对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等不做特殊交待时就应当考虑其重力.(2) 在题目
10、中有明确交待的是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单.(3)是直接看 不出是否要考虑重力，但在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果，先进行定性确定 再是否要考虑重力. 九、动力学理论： (1)粒子所受的合力和初速度决定粒子的运动轨迹及运动性质； (2)匀变速直线运动公式、运动的合成和分解、匀速圆周运动的运动学公式； (3)牛顿运动定律、动量定理和动量守恒定律； (4)动能定理、能量守恒定律. 十、在生产、生活、科研中的应用：如显像管、回旋加速器、速度选择器、正负电子对 撞机、质谱仪、电磁流量计、磁流体发电机、霍尔效应等等. 正因为这类问题涉及知识面大、能力要求高，而成为近几年高考的热
11、点问题，题型有 选择、填空、作图等，更多的是作为压轴题的说理、计算题.分析此类问题的一般方法为： 首先从粒子的开始运动状态受力分析着手，由合力和初速度判断粒子的运动轨迹和运动性 质，注意速度和洛伦兹力相互影响这一特点，将整个运动过程和各个阶段都分析清楚，然 后再结合题设条件，边界条件等，选取粒子的运动过程，选用有关动力学理论公式求解 常见的问题类型及解法. 【例 1】 如图，在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度 ，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度 B10T。现有一个质量 m210 -6kg、带电量 q210 -6C 的微粒，在这个电 场和磁场叠加的空间作匀速直线运动。假
12、如在这个微粒经过某条电场线时突 然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移 过了多大距离。 （取 10m S2） 【解析】 题中带电微粒在叠加场中作匀速直线运动，意味着微粒受到的重 力、电场力和磁场力平衡。进一步的分析可知：洛仑兹力 f 与重力、电场 力的合力 F 等值反向，微粒运动速度 V 与 f 垂直，如图 2。当撤去磁场后， 带电微粒作匀变速曲线运动，可将此曲线运动分解为水平方向和竖直方向 两个匀变速直线运动来处理，如图 3。由图 2 可知： 又： 解之得： 由图 3 可知，微粒回到同一条电场线的 时间 则微粒在电场线方向移过距离 【解题回顾】本题的关键有两点：
13、(1)根据平衡条件结合各力特点画出三力关系；(2)将匀变速曲线运动分解 【例 2】如图所示，质量为 m，电量为 q 的带正电 的微粒以初速度 v0 垂直射入相互垂直的匀强电场和 匀强磁场中，刚好沿直线射出该场区，若同一微粒 以初速度 v0/2 垂直射入该场区，则微粒沿图示的 曲线从 P 点以 2v0 速度离开场区，求微粒在场区中 的横向(垂直于 v0 方向)位移，已知磁场的磁感应强度大小为 B. 【解析】速度为 v0 时粒子受重力、电场力和磁场力，三力在竖直方向平衡；速度为 v0/2 时， 磁场力变小，三力不平衡，微粒应做变加速度的曲线运动. 当微粒的速度为 v0 时，做水平匀速直线运动，有:
14、 qE=mg+qv 0B ； 当微粒的速度为 v0/2 时，它做曲线运动，但洛伦兹力对运动的电荷不做功，只有重力和 电场力做功，设微粒横向位移为 s，由动能定理 (qE-mg)s=1/2m(2v0)2-1/2m(v0/2)2 . 将式代入式得 qv0BS=15mv02/8， 所以 s=15mv0/(8qB). 【解题回顾】由于洛伦兹力的特点往往会使微粒的运动很复杂，但这类只涉及初、末状态 参量而不涉及中间状态性质的问题常用动量、能量观点分析求解 【例 3】在 xOy 平面内有许多电子 (质量为 m，电量为 e)从 坐标原点 O 不断地以相同大小的速度 v0 沿不同的方向射入 第一象限，如图所示
15、，现加一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度 为 B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于 x 轴 向 x 轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积. 【分析】电子在磁场中运动轨迹是圆弧，且不同方向射出 的电子的圆形轨迹的半径相同(r=mv 0/Be).假如磁场区域 足够大，画出所有可能的轨迹如图所示， 其中圆 O1 和圆 O2 为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆，若 要使电子飞出磁场平行于 x 轴，这些圆的最高点应是区域的下边界， 可由几何知识证明，此下边界为一段圆弧将这些圆心连线(图中虚线 O1O2)向上平移一段长 度为 r=mv0/eB 的距离即图中的
16、弧 ocb 就是这些圆的最高点的连线，应是磁场区域的下边界.； 圆 O2 的 y 轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求 图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积 S= 【解题回顾】数学方法与物理知识相结合是解决物理 问题的一种有效途径.本题还可以用下述方法求出下边界. 设 P(x,y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度 与 x 轴夹角为 ，则由图可知：x=rsin, y=r-rcos 得: x 2+(y-r)2=r2 所以磁场区域的下边界也是半径为 r， 圆心为(0,r) 的圆弧 【例 4】如图所示，在 x 轴上方有垂直于 xy 平面向 里的匀强磁场，磁感应强度为
17、 B；在 x 轴下方有沿 y 轴 负方向的匀强电场，场强为 E.一质量为 m，电量为-q 的 粒子从坐标原点 O 沿着 y 轴正方向射出 射出之后， 第三次到达 x 轴时，它与点 O 的距离为 L.求此粒子 射出的速度 v 和在此过程中运动的总路程 s(重力不计). 【解析】由粒子在磁场中和电场中受力情况与粒子的速度可以判断粒子从 O 点开始在磁场 中匀速率运动半个圆周后进入电场，做先减速后反向加速的匀变直线运动，再进入磁场， 匀速率运动半个圆周后又进入电场， 如此重复下去. 粒子运动路线如图 3-11 所示，有 L=4R 粒子初速度为 v，则有 qvB=mv2/R ， 由、可得 v=qBL/
18、4m . 设粒子进入电场做减速运动的最大路程为 L， 加速度为 a, 则有 v2=2aL ， qE=ma, 粒子运动的总路程 s=2R+2L. 由、式， 得:s=L/2+qB 2L2/(16mE). 【解题回顾】把复杂的过程分解为几个简单的 202)1(evr 过程，按顺序逐个求解，或将每个过程所满足的规律公式写出，结合关联条件组成方程， 再解方程组，这就是解决复杂过程的一般方法 另外，还可通过开始 n 个过程的分析找出 一般规律，推测后来的过程，或对整个过程总体求解将此题中的电场和磁场的空间分布和 时间进程重组，便可理解回旋加速器原理，并可用后一种方法求解. 【例 5】电磁流量计广泛应用于测
19、量可导电流体(如污水)在管中的流量(在单位时间内通过 管内横载面的流体的体积) 为了简化，假设流量计是如图 3-12 所示的横载面为长方形的 一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为 图中的 a、b、c ，流量计的两端与输送液体的管道 相连接(图中虚线) 图中流量计的上、下两面是金属 材料，前、后两面是绝缘材料，现将流量计所在处加 磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后 两面，当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下表面分别与一串接了电阻 R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值，已知流体的电阻率，不计电流表的内阻，则 可求得流量为多大? 【解析】导电流体从管中流过时，其
20、中的阴阳离子会受磁场力作用而向管的上下表面偏转， 上、下表面带电后一方面使阴阳离子又受电场力阻碍它们继续偏转，直到电场力与磁场力 平衡；另一方面对外接电阻来说，上、下表面相当于电源，使电阻中的电流满足闭合电路 欧姆定律. 设导电流体的流动速度 v，由于导电流体中正、负离子在磁场中的偏转，在上、下两板上 积聚电荷，在两极之间形成电场，当电场力 qE 与洛伦兹力 qvB 平衡时，E=Bv ，两金属板 上的电动势 E=Bcv，内阻 r=c/ab，与 R 串联的电路中电流 :I=Bcv/(R+r), v=I(R+ c/ab)/Bc； 流体流量:Q=vbc=I(bR+c/a)/B 【解题回顾】因为电磁流
21、量计是一根管道，内部没有任何阻碍流体流动的结构，所以可以 用来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量 它还具有测量范围宽、反应快、易与其他自动控 制装置配套等优点 可见，科技是第一生产力. 本题是闭合电路欧姆定律与带电粒子在电磁场中运动知识的综合运用 这种带电粒子 的运动模型也称为霍尔效应，在许多仪器设备中被应用.如速度选择器、磁流体发电机等等. 【例 6】如图所示，匀强磁场磁感应强度为 B，方向垂直 xOy 平面向外.某一时刻有一质子 从点(L 0，0) 处沿 y 轴负向进入磁场；同一时刻一 粒子从点 (-L0，0)进入磁场，速度方向 在 xOy 平面内.设质子质量为 m，电量为 e，不计质子与 粒
22、子间相互作用. (1)如果质子能够经过坐标原点 O，则它的速度多大? (2)如果 粒子第一次到达原点时能够与质子相遇， 求 粒子的速度. 【解析】带电粒子在磁场中的圆周运动的解题关键 是其圆心和半径，在题目中如能够先求出这两个 量，则解题过程就会变得简洁，余下的工作就是 利用半径公式和周期公式处理问题. (1)质子能够过原点，则质子运动的轨迹半径 为 R=L0/2，再由 r=mv/Bq,且 q=e 即可得： v=eBL0/2m；此题中还有一概念，圆心位置一定在垂直于速度的直线上，所以质子的轨 迹圆心一定在 x 轴上； (2)上一问是有关圆周运动的半径问题，而这一问则是侧重于圆周运动的周期问题了
23、， 两个粒子在原点相遇，则它们运动的时间一定相同，即 t=T H/2，且 粒子运动到原点的 轨迹为一段圆弧，设所对应的圆心角为 ，则 有 t =2m/2Be，可得 =/2, 则 粒子的轨迹半径 R=L0/2=4mv/B2e, 答案为 v= eBL0/(4m)，与 x 轴正方向的夹角为 /4，右向上； 事实上 粒子也有可能运动 3T/4 时到达原点且与质子相遇，则此时质子则是第二次 到原点，这种情况下速度大小的答案是相同的，但 粒子的初速度方向与 x 轴的正方向的 夹角为 3/4，左向上； 【解题回顾】类似问题的重点已经不是磁场力的问题了，侧重的是数学知识与物理概 念的结合，此处的关键所在是利用
24、圆周运动的线速度与轨迹半径垂直的方向关系、弦长和 弧长与圆的半径的数值关系、圆心角与圆弧的几何关系来确定圆弧的圆心位置和半径数值、 周期与运动时间.当然 r=mv/Bq、T=2m/Bq 两公式在这里起到一种联系作用 . 【例 7】如图所示，在光滑的绝缘水平桌面上， 有直径相同的两个金属小球 a 和 b，质量分别 为 ma=2m,mb=m，b 球带正电荷 2q，静止在 磁感应强度为 B 的匀强磁场中；不带电小球 a 以速度 v0 进入磁场，与 b 球发生正碰，若碰后 b 球对桌面压力恰好为 0，求 a 球对桌面的 压力是多大? 【解析】本题相关的物理知识有接触起电、动量守恒、洛伦兹力，受力平衡与
25、受力分析， 而最为关键的是碰撞过程，所有状态和过程都是以此为转折点，物理量的选择和确定亦是 以此作为切入点和出发点； 碰后 b 球的电量为 q、a 球的电量也为 q，设 b 球的速度为 vb，a 球的速度为 va；以 b 为研究对象则有 Bqvb=mbg;可得 vb=mg/Bq; 以碰撞过程为研究对象，有动量守恒， 即 mav0=mava+mbvb,将已知量代入可得 va=v0-mg/(2Bq);本表达式中 va 已经包含在其中， 分析 a 碰后的受力，则有 N+Bqva=2mg，得 N=(5/2)mg-Bqv0； 【解题回顾】本题考查的重点是洛伦兹力与动量问题的结合，实际上也可以问碰撞过程中
26、 产生内能的大小，就将能量问题结合进来了. 【例 8】. 如图所示，在 xOy 平面上，a 点坐标为（0，L），平面内一 边界通过 a 点和坐标原点 O 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面 向里，有一电子（质量为 m，电量为 e）从 a 点以初速度 v0平行 x 轴 正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好从 x 轴正方向上的 b 点 （图中未标出），射出磁场区域，此时速率方向与 x 轴正方向的夹角 为 60，求： （1）磁场的磁感应强度； y a v0 O x （2）磁场区域的圆心 O1 的坐标； （3）电子在磁场中的运动时间。 【解析】电子在匀强磁场中作匀速圆周运动，从 a 点射入 b 点
27、射出磁场区域，故所求 圆形磁场区域区有 a 点、O 点、b 点，电子的运动轨迹如图中虚线所示，其对应的圆心在 O2 点，令 R2，作角 a260，如图所示： RLmvBe60sin 代入 由上式得 BeL2， 电子在磁场中飞行的时间； tTBeLv60312320 由于O 1 的圆周角 aOb9，所以 ab 直线段为圆形磁场区域的直径，则aRL12 ，故磁场区域圆心 O1 的坐标， xaL162sin y1602cos ，即 1坐标 32L， 【解题回顾】本题关键为入射方向与出射方向成一定角度（题中为 600），从几何关 系认识到带电粒子回旋的圆弧为 1/6 圆的周长，再通过几何关系确定 1/
28、6 圆弧的圆，半径 是 Oa2或 b2，进而可确定圆形区域的圆心坐标。 【例 9】 如图所示，在图中第 I 象限的区域里有平行于 y 轴的匀强电场ENC014./ ，在第 IV 象限区域内有垂直于 Oxy 平面的匀强磁场 B。 带电粒子 A，质量为 mkg1120.，电量 qC140.，从 y 轴上 A 点以平行于 x 轴的速度 vs154/射入电场中，已 知 O02，求： （1）粒子 A 到达 x 轴的位置和速度大小 与方向； （2）在粒子 A 射入电场的同时，质量、 电量与 A 相等的粒子 B，从 y 轴上的某点 B 以平行于 x 轴的速度 v2射入匀强磁场中， A、B 两个粒子恰好在 x
29、 轴上迎面正碰（不计重力，也不考虑两个粒子间的库仑力）试确 定 B 点的位置和匀强磁场的磁感强度。 【解析】粒子 A 带正电荷，进入电场后在电场力作用下沿 y 轴相反方向上获得加速度， aEqmmss10210210442/./ 设 A、B 在 x 轴上 P 点相碰，则 A 在电场中运动时间可由 OAat12 求解： tOass20412107.(). 由此可知 P 点位置： vt m801572(). 粒子 A 到达 P 点的速度， at st1 2 54./ vt与 x 轴夹角： 45 （2）由（1）所获结论，可知 B 在匀强磁场中作匀速圆周运动的时间也是ts07. ，轨迹半径 ROPm2
30、8102 OBm 102 粒子 B 在磁场中转过角度为 34 ，运动时间为 38T 382qt qt01. 【例 10】 如图 4，质量为 1g 的小环带 410-4C 的正电，套在长直的绝 缘杆上，两者间的动摩擦因数 0.2。将杆放入都是水平的互相垂直的匀强 电场和匀强磁场中，杆所在平面与磁场垂直，杆与电场的夹角为 37。若 E10NC，B0.5T，小环从静止起动。求： (1)当小环加速度最大时，环 的速度和加速度；(2)当小环的速度最大时，环的速度和加速度。 【解析】 (1)小环从静止起动后，环受力如图 5，随着速度的增大，垂直 杆方向的洛仑兹力便增大，于是环上侧与杆间的正压力减小，摩擦力
31、减小， 加速度增大。当环的速度为时，正压力为零，摩擦力消失，此时环有最 大加速度 am。 在平行于杆的方向上有：mgsin37qE cos37ma m 解得：a m2.8mS 2 在垂直于杆的方向上有： BqVmgcos37qEsin37 解得：V52m/S （2）在上述状态之后，环的速度继续增大导致洛仑兹力继续增大，致使小 环下侧与杆之 间出现挤压力 N，如图 6。于是摩擦力 f 又产生，杆的加速度 a 减小。V BqV N f a，以上过程的结果，a 减小到零，此时环有最 大速度 Vm。 在平行杆方向有： mgsin37 Eqcos37f 在垂直杆方向有 BqV mmgcos37qEsin
32、37N 又 fN 解之：V m122m/S 此时：a0 【例 11】如图 7，在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场， 电场的方向竖直向下。一带电体 a 带负电，电量为 q1，恰能静止于此空间的 c 点，另一带电体 b 也带负电，电量为 q2，正在过 a 点的竖直平面内作半径 为 r 的匀速圆周运动，结果 a、b 在 c 处碰撞并粘合在一起，试分析 a、b 粘 合一起后的运动性质。 【解析】：设 a、b 的质量分别为 m1 和 m2，b 的速度为 V。a 静止，则 有 q1Em 1g b 在竖直平面内作匀速圆周运动，则隐含着 Eq2m 2g，此时 对 a 和 b 碰撞并粘合过程有 m2V0（m 1m 2）V a、b 合在一起后，总电量为 q1q 2，总质量为 m1m 2，仍满足 (q1q 2)E(m 1m 2)g。因此它们以速率 V在竖直平面内作匀速圆周运动，故有 解得：
