1、- 1 - 目 录 第一讲 奇妙的幻方 3 练习卷.9 第二讲 可能性的大小（游戏与对策） 10 练习卷 12 第三讲 图形的面积（一）13 第四讲 认识分数17 练习卷21 第五讲 行程中的相遇（相遇问题）22 练习卷26 第六讲 公因数与公倍数27 综合演练 . 31 - 2 - 第一 讲 幻方 （第一课时） 【知识概述】 在一个 nn 的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、 竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇 数幻方和偶数幻方。 （n 是 几就 表 示 为 几 阶 幻 方） 。本讲， 我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例 1 在一个 33 的
2、表格内，填入 1-9 九个数， （不能重复，不能 遗漏） ，使得 3 个横列、3 个竖列和 2 个斜列所加之和都相等。可以 怎样填？【和为 15】 【思路分析】 这样的 33 幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四 为 肩 ，六、八 为 足， 左七右三， 戴九履一，五为中央。 【 注：戴指头，履指脚。 】 试试 填一填吧！ - 3 - 幻方 （第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写 33 的幻方，其实在幻方的知识世界 里，像 33、55、77像这样幻方，称之 为奇数幻方， 这一讲我们将来 学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个 55 的方格中，填入 1-25 这 25 个数字，
3、使 5 个横列、5 个竖列、 2 个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下 边放，双出占位写下方。 2 9 1 8 5 7 4 6 10 - 4 - 10 3 11 2 9 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方 （第三 课时 ） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写 七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方，本讲，我们继续试着填写七阶幻方 和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧
4、！ 一 居 首 行 正 中 央，依 次 斜 向 右 上 方，右 出 框 时 左 边 写，上 出 框 时 下 边 放，双 出 占 位 写下 方。 把 1-49 这 49 个 数 字 填 入下 面 方格 内，使得所有的横、竖、 斜列所加之和都相等。 把 1-81 这 81 个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜 列所加之和都相等。 1 4 3 2 - 5 - 幻方 （第四 课时 ） 上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下 面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。 例题讲学 将 1-16 这 16 个数填入下面这个 44 的方格内，使得所有的横、竖、 斜列所加之和都相等。 【
5、思路点拨】 首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要求 是：调换（数与数间的调换）先把 1-16 这 16 个数按顺序填好。如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。 2 15，3 14,5 12,8 9，最后形成新的方格。 - 6 - 幻方 （第五 课时 ） 知识概述 对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二 阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与
6、技巧： 偶 阶 幻 方 分 两 类 : 双 偶 数 :四 阶 幻 方 ， 八 阶 幻 方 、 十 二 阶 幻 方 ,4K 阶 幻 方 ， （ K 表 示 一 个 非 零 自 然 数 ） 可 用 ,方 法 很 简 单 : 1) 把 自 然 数 依 次 排 成 方 阵 2) 把 幻 方 划 成 44 的 小 区 ,每 个 小 区 划 对 角 线 , 3) 把 这 些 对 角 线 所 划 到 的 数 ,保 持 不 动 , 4) 把 没 划 到 的 数 ,按 幻 方 的 中 心 ,以 中 心 对 称 的 方 式 ,进 行 对 调 , 【 与 44 幻 方 的 方 法 一 样 】 5） 幻 方 完 成
7、! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 - 7 - 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 现在试着完成一下八阶幻方吧 你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？ 同步精练： 把 1-144 这 144 个数填入 1212 的方格内
8、，使其成为一个十二阶 幻方。 - 8 - 恭喜你顺利 完成了考验！ 练习 卷 按要求填写幻方： 1、 三阶幻方 2、 四阶幻方 3、 五阶幻方 4、 七阶幻方 - 9 - 5、 八阶幻方 6、 九阶幻方 第二 讲 可能性的大小 （游戏与对策） 例题讲学 例 1 有一堆棋子共 53 颗，甲、乙两人轮流从中拿走 1 颗或 2 颗棋子。规定谁拿走最 后 1 颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？ 【思路点拨】 由于甲、乙两人轮流从中拿走 1 颗或 2 颗棋子，即每次保证两人共拿走 1+2=3 颗，53 颗共要取 533=17（次）2（颗） ，即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那
9、2 颗。 这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是 3 就必胜无疑了。 关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的 先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。 技巧 - 10 - 同步精练 1、有 287 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取， 每人每次最多取 2 个，最少取 1 个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他 应该如何安排？ 2、有 388 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，每 人每次取 1 个、2 个、或 3 个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜， 他应该采取怎样的策略？ 3、有 197
10、 粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取 1 个，最多取 4 粒，不能不 取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的获胜，还 是后取的获胜？ 第二讲 可能性的大小（游戏与对策） 第二课时 例 2 有两堆火柴，一对 26 根，一堆 11 根。甲乙两人轮流从中拿走 1 根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢， 问甲如何取胜？ 【思路点拨】 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆的 火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数， 就能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先 取走多的那几根
11、就行了。 - 11 - 同步精练 1、有两个箱子分别装有 63、108 个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。 规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？ 2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这 堆石子一次拿走完） ，但每次至少拿 1 粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获 胜，问如何才能取胜？ 3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的，没人每次画一个，所画的 不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个，谁就获胜。 如何才能获胜？ 练 习 卷 1、有一枚骰子，六个面分别写着 1-6 六个数，两次 掷这枚骰子，
12、将两次朝上的 面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（ ）。 2、有 102 粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取 1 粒，最多取 4 粒，谁 取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？ 3、桌面上有 199 根火柴，甲、乙两人 轮流地取 1 根或 2 根，谁取到最后一根 火柴为胜， 问获胜的策略是什么？ - 12 - 4、王叔叔体重 75 千克，他从地里摘了 2 筐西瓜，每筐 35 千克，王叔叔回家 要经过一座小桥，小桥只能载重 100 千克，请你给他想个办法，让他和西瓜一次 安全地过河去。 5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起 来，你能做到
13、吗？ 第三 讲 图 形的面 积 （一） 第一课时 例题讲学 例 1 已知平行四边形的面积是 28 平方厘米，求阴影部分的面积。 5 厘米 【思路点拨】 4 厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是 28 平方厘米，它的底为 284=7（厘米） ，平行四边形的底减去 5 厘米就是三 角形的底，7-5=2（厘米） 。根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。 技巧 4 厘 米 - 13 - 5 厘米 6 求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积； 还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简 便的方法。 同步精练 1.下面的梯形中，阴影部分
14、的面积是 150 平方厘米，求梯形的面积。 2已知平行四边形的面积是 48 平方厘米，求阴影部分的面积。 3如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米） 9 第三 讲 图 形的面 积 （一） 第二课时 例题讲学 例 2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 （单位：厘米） C 46B E F AG 乙 甲 【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条 12 15 厘米 25 厘米 6 厘 米 - 14 - 边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。 仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长 GA 和 FC，它们会相交（设 交点为
15、 H） ，这样就得到长方形 GBFH（如下图） ，它的面积很容易求，而长方 形 GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（AGB、BFC 及AHC）的面 积都能直接求出。 H C 46B E F AG 乙 甲 同步精练 1、求右图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 4 3 4 3 2、求右图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 8 8 5 5 第三 讲 图 形的面 积 （一） - 15 - 第三课时 例题讲学 例 3 如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，求 CE 的长度。 4 厘米A D E F 乙 B C 甲4 厘 米 【思路点拨】 题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角
16、形的面积大 6 平 方厘米，即甲-乙=6（平方厘米） ，而甲和乙分别加上四边形 ABCF 后相减的结 果还是 6 平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米） （甲+四边形 ABCF）- （乙+四边形 ABCF）=6（平方厘米） 即：正方形 ABCD - ABE=6（平方厘米） 这就是说正方形 ABCD 的面积比三角形 ABE 的面积大 6 平方厘米。用正方形 的面积减去 6 就得到三角形 ABE 的面积，再用三角形的面积乘以 2 再除以 AB，就得到 BE 的长度，从而求出 CE 的长度。 同步精练 1、四边形 ABCD 是一个长为 10 厘米，宽 6 厘米的长方形，三角 形 ADE 的面积比三角形
17、 CEF 的面积大 10 平方厘米。求 CF 的长是多 少厘米？ - 16 - D A CE B F 2、正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求： （1）三角形 DEF 的面积。 （2）CF 的长。 C E A D FB 第四讲 认识分数 第一课时 知识概述 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示 ab= （b0） 。分ba 数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。 分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（0 除外） ，分数的 大小不变，这就是分数
18、的基本性质。 - 17 - 例题精学 例 1：分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？ 【思路点拨】 真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分 数。分母是 91 的真分数一共有 90 个，分别是 ， ， ,其分子是9123910 190 的自然数。在这其中有分子和分母有除 1 之外的相同质因数。要求最简 真分数，那么分子中凡是 91 的质因数的倍数都应去掉。而 91=713，在 190 的自然数中，7 的倍数有 131=12（个） ，13 的倍数有 71=6（个） ， 这样分子可取的数一共有 90（12+6）=72（个） 。 同步精练 1.分母是 51 的真
19、分数有多少个？最简真分数有多少个？ 2.分子、分母的乘积是 420 的最简真分数有多少个？ 3.分数 中的 a 是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a 最小是853a 多少？ 第四讲 认识分数 第二课时 例 2 把一个最简分数的分子加上 1，这个分数就等于 1. （1）如果把这个分数的分母加上 1，这个分数就等于 ，原分数是多少？98 （2）如果把这个分数的分母加上 2，这个分数就等于，原分数是多少？ 【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小 题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小 - 18 - 1.（1）分母加上 1，分子应比分母小
20、 2，现在 的分子比分母小 1，说明进行98 过约分了，未约分前的分子比分母小 2，说明是用 2 约分的，也就是说原分数 的分母加上 1 之后，再把分子分母同时除以 2 所得到的分数是 ，说明约分前98 是 ，这样原分数应是 。第（2）题请你自己思考。86176 同步精练 1. 一个最简分数的分子缩小 5 倍，分母扩大 9 倍后是 ，原分数是多少？27 2. 一个分数约分成最简分数是 ， 原分子、分母的和是 90，原分数是多少？73 第四讲 认识分数 第三课时 例 3 分数 的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是 ，求1367 92 减去的数。 【思路点拨】 一个分数的分子和分母同时
21、间去一个相同的数后，分子与分母 的差不变。原分数的 分子与分母的差是 13673=63，得到的新分数的分子与 - 19 - 分母的差也是 63.而新分数约分后变成 ，92=7，因此可知约去的数是2 637=9.新分数是 = ，这样就可以求出减去的数是多少了。9281 同步精练 1. 的分子、分母同时加上多少后就可以约分为 ？13 31 2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上 4，这 个分数约分后是 ，原来这个数是多少？32 3. 一个分数，分子加上 1 后，其值为 1，分子减去 1 后，其值为 ，求54 这个分数 第四讲 认识分数 第四课时 例 4 分数 的分子减去某数，而
22、分母同时加上这个数后，所得的新分数化简65 后为 ，求某数。13 - 20 - 【思路点拨】 分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的 和不变。原分数的分子、分母之和为 55+64=119，说明新分数的分子、分母之 和也是 119，而新分数约分后是 ，分子、分母的和是 4+13=17，因此可知约134 去的数是 11917=7。新分数为 。这样可以推算出这个原数了。9287 同步精练 1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为 ，求某数。31 2.有一个分数，分子加上 1 可约分为 ，分子减去 1 可约分为 ，求这3151 个数。 3.一个分数，如果分子加上 16，分母减去 166
23、，那么约分后是 ；如果43 分子加上 124，分母加上 340，那么约分后是 ，求原分数是多少？21 练 习 卷 1、填空题。 （1）一个最简分数的分子、分母之积是 30，这个最简分数是（ ） 。 - 21 - （2）一个最简真分数的分子、分母之和是 15，这个最简真分数是 （ ） 。 （3）分母是 85 的真分数共有（ ）个，分母是 85 的最简真分 数共有（ ）个。 （4）一个分数的分子、分母之和是 90，约分后是 ，求原来的分87 数是（ ） 。 （5）一个最简真分数，把它的分母扩大 5 倍，而分子缩小 4 倍， 化简后是 ，求这个最简真分数是（ ） 。21 2、分数 的分子分母同时加上
24、同一个自然数，新分数化简得 ，求21 这个自然数。 3、分数 的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为 ，169 32 求这个数。 4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上 3 后， 这个分数约分为 ，求原分数是多少？43 第五 讲 相遇 问题 相遇问题中数量之间的基本关系式： - 22 - 速度和相遇时间相遇路程 相遇路程速度和相遇时间 相遇路程相遇时间速度和 【例 1】：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千米的辆两地相向而行， 公共汽车每小时 40 千米，小轿车每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90 千米？ 【分析与解】 两车在相距 450 千米的
25、两地相向而行，距离逐渐缩短，在相 遇前某一时刻两车相距 90 千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。 需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增 大，到某一时刻，两车再一次相距 90 千米。 这时两车共行的路程为（450+90）千米。 所以：（450-90）（40+50）=4（小时） 或（450+90）（40+50）=6（小时） 答：两车在出发后 4 小时相距 90 千米，在出发后 6 再一次相距 90 千米。 同步精练 1.一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行。甲 每分钟走 66 米，乙每分钟走 59 米。经过几分钟才能相遇？ 2、两
26、地相距 1200 千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时 行 120 千米，乙每小时行 180 千米，多少小时后，两车相差 300 千米？ 【例 2】 甲乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 41 千米，乙车先出发 2 小时后，甲车才出发。甲车行几 - 23 - 小时后与乙车相遇？ 【分析与解】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小树，这段时 间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行 的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、 乙两车同时相对而行的时间。 乙车先
27、行的路程：412=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：770- 82=688（千米），甲 车行的 时间：688（45+41 ）=8（小时） 答：甲车行 8 小时后与乙车相遇。 解题技巧： 关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计 算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。 同步精练 小丽家距学校有 1500 米，中午 11:40 分放学回家时，小丽从学校以每分 钟 50 米的速度回家，走了 4 分钟后，爸爸骑自行车从家出发去接小丽，爸爸的 速度是每分钟 150 米，爸爸出发多长时间会接到小丽？ 某送 货员从 A 乡镇往 B 乡镇去送货，他以每小时 40 千米
28、的速度开摩托 车前往，走了 0.5 小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发 2 小时后接 到了送货员，已知接货人的速度是每小时 60 千米。问：A 、B 两个乡镇相距多少 千米？ 【例 3】 两地相距 900 米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟 走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从 - 24 - 出发到相遇共经过多少分钟？ 【分析与解】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后， 然后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题，把同向走的时间与相遇走的 时间相加就是共同经过的时间。 已到达目的地时间：900100=9（分钟） ，甲
29、 9 分钟走的路程： 809=720（米） ，甲距目标还有：900-720=180（米） ，相遇时间： 180（100+80）=1（分钟） ，共用的时间为：9+1=10（分钟） 。 同步精练 1、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米，哥 哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校 180 米处与妹 妹相遇，他们家离校多远？ 2、甲、乙二人同时从 A 地到 B 地，甲每分钟走 250 米，乙每分钟走 90 米。甲 到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 3.2 千米处与乙相遇，A、B 两地间的距 离是多少千米？ 【例 4】：甲乙两人同时从两地出
30、发，相向而行，距离是 100 千米，甲每小时 走 6 千米，乙每小时走 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时走 10 千米，这只狗 - 25 - 同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走， 直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？ 【分析与解】 要求狗一共走了多少千米，如果你认为求出狗与甲和乙相遇 了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。 问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就 是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有 停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。 甲乙二人相遇时间：100（
31、6+4）=10（小时） 狗走的路程为：1010=100（千米） 。 同步精练 甲乙两队学生从相隔 18 千米的两地同时出发，相向而行，一名学生骑 自行车以每小时 14 千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行 5 千 米，乙队每小时行 4 千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千米？ A、B 两地相距 400 千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时 行 35 千米，乙车每小时行 45 千米。一只鸽子以每小时 50 千米的速度和甲同 时出发，向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车飞来，遇到甲车又往回飞向乙车， 这样一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车正好相遇？ 练 习 卷 - 26 - 1、
32、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 860 米的两地出发，相向而行，汽车每 小时行 45 千米，摩托车每小时行 70 千米，6 小时后两车相距多少千米？ 2、小强和小明家相距 2400 米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走 50 米，小明每分钟走 70 米。求： （1）他们经过多长时间相遇？ （2）3 分钟时，他们还相距多少米？ （3）15 分钟时，他们相距多少米？ 3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时 56 千米，乙车每小时 48 千米，两辆车在离中点 32 千米处相遇，求东西两地间相距多少千米？ 4、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后， 又迅速返
33、回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地 400 米处，第二次相遇在距乙地 150 米处。问，甲、乙两地之间相距多少米？ - 27 - 第六讲 公因数和公倍数 - 28 - 第一课时 【知识概述】 我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一 个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数 a 和 b 的最大公因数记为（a，b） 。 几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公 倍数，一般地，把自然数 a 和 b 的最小公倍数记为a，b。 两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即： （a，b）a，b=ab 【例题 1】
34、 有两根彩带，分别长 45 厘米和 30 厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等 的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？ 【点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是 45 厘米和 30 厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是 45 和 30 的最大公因数。 （45,30）=15 答：每段短彩带最长是 15 厘米。 同步精练 1、 陆老师买了 36 个本子、24 支钢笔，分别平均将给五（4）班三好学生，结果正好全部 分完，问五（4）班最多共有多少名三好学生？ 2、把一张长 12 厘米、宽 20 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形，
35、 裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？ 、 第二课时 - 29 - 例 2 有一批地砖，每块长 45 厘米，宽 30 厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成 正方形地？ 【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍 数；又因为要用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边 长要尽可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。 45,30=90 （9045）（9030）=23=6（块） 答：至少要 6 块才能铺成正方形地。 同步精练 1、有一批强化地板，长 150 厘米，宽 20 厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方 形地？ 2、一
36、路和二路公交车早上 6 点同时从汽车站发车，一路车每 7 分钟发一辆车，二路车每 8 分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？ 3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有 72 个齿，乙齿轮有 28 个齿，其中某一对齿， 从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？ 第三课时 - 30 - 例 3 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 300，已知其中一个数是 75，求另一个数是多少？ 【点拨与解】 根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数 的乘积，可以直接求出另一个数来。 3001575=60 同步精练 1、两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，已知其
37、中一个数是 42，求另一个数是多少？ 2、已知两个自然数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数的最小 公倍数是多少？ 3、已知两个数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260，那么这两个数的 最大公因数是多少？ 第四课时 - 31 - 例 4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有 37 根电线杆，原来 每两根电线杆之间相距 50 米，现在要改为每两根之间相距 60 米，除两端不需 要移动外，中途还有多少根不必移动？ 【点拨与解】 从学校到少年宫的这段公路的总长是 50（37-1） =1800 米， （因为有 37-1=36 个间隔） 。从路的一端开始，是 50 和 60 的公倍数
38、 处的那根电线杆就不必移动。因为 50 和 60 的最小公倍数是 300，所以，从第 一根开始，每隔 300 米就有一根电线杆不必移动，1800300=6（根） ，就是有 6 根不必移动，去掉最后的那一根，所以，中途共有 5 根不必移动。 50,60=300 50（37-1）300=6（根） 6-1=5（根） 答：中途还有五根不必移动。 同步精练 1、插一排彩旗共 26 面。原来没两面之间的距离是 4 米，现在改为 5 米。除 起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？ 2、在长 288 米的河堤上，每隔 4 米栽了一棵树。现在要改为每隔 6 米栽一 棵树，可以不拔出来的树有多少棵？ 3、一行
39、小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是 90 米。原来每隔 2 米植一棵 树。由于小 树长大了，必须改为每隔 5 米植一棵树。如果两端不算，中间有几棵 不必移动？ 综 合 演 练 - 32 - 1、填写一个四阶幻方和一个七阶幻方 四阶幻方 七阶幻方 2、有 129 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每 人每次最多取 2 个，最少取 1 个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何 安排？ 3、求下图阴影部分的面积。 （单位：厘米） 12 12 9 9 4、分子、分母的乘积是 120 的最简真分数有多少个？ 5、分数 的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得 ，求12 21 这个自然数。 - 33 - 6、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上 3 后， 这个分数约分为 ，求原分数是多少？43 7、甲乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时 50 千米，乙车 每小时 42 千米，两辆车在离中点 12 千米处相遇，求 A、B 两地间相距多 少千米？ 8、两个数的最大公因数是 18，最小公倍数是 180，其中一个数是 54，另 一个数是多少？ 9、甲、乙两列火车从相距 470 千米的两城相向开出，甲车每小时行 38 千 米，乙车每小时行 40 千米。乙车先出发 2 小时后，甲车才出发。甲车行 几小时后与乙车相遇？
