1、小学奥数基础教程（四年级） - 1 - 小学奥数基础教程（四年级） 第 1 讲 速算与巧算（一） 第 2 讲 速算与巧算（二） 第 3 讲 高斯求和 第 4 讲 4，8，9 整除的数的特征 第 5 讲 弃九法 第 6 讲 数的整除性（二） 第 7 讲 找规律（一） 第 8 讲 找规律（二） 第 9 讲 数字谜（一） 第 10 讲 数字谜（二） 第 11 讲 归一问题与归总问题 第 12 讲 年龄问题 第 13 讲 鸡兔同笼问题与假设法 第 14 讲 盈亏问题与比较法（一） 第 15 讲 盈亏问题与比较法（二） 第 16 讲 数阵图（一） 第 17 讲 数阵图（二） 第 18 讲 数阵图（三）
2、第 19 将 乘法原理 第 20 讲 加法原理（一） 第 21 讲 加法原理（二） 第 22 讲 还原问题（一） 第 23 讲 还原问题（二） 第 24 讲 页码问题 第 25 讲 智取火柴 第 26 讲 逻辑问题（一） 第 27 讲 逻辑问题（二） 第 28 讲 最不利原则 第 29 讲 抽屉原理（一） 第 30 讲 抽屉原理（二） 小学奥数基础教程（四年级） - 2 - 第 1 讲 速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必 须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力 既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计 算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提 高分析、判断能力，促
3、进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算 与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基 准数法和乘法的补同与同补速算法。 例 1 四年级一班第一小组有 10 名同学，某次数学 测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这 10 名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这 10 个数直接相加， 但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察 这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差 不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”， 比如以“80”作基准，这 10 个数与 80 的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，
4、-5， 其中“-”号表示这个数比 80 小。于是得到 总和=8010（6-2-3311- 8009809。 实际计算时只需口算，将这些数与 80 的差逐 一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下： 通过口算，得到差数累加为 9，再加上 8010，就可口算出结果为 809。 例 1 所用的方法叫做加法的基准数法。这种 方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大 的情况。作为“基准”的数（如例 1 的 80）叫做 基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由 例 1 得到： 总和数=基准数加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差加数的个数。 在使用基准数法时，应选取与各数的差较小 的数作为基准数
5、，这样才容易计算累计差。同时 考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算 出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量如下（单位： 千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475 ，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为 450，则 累计差 =1230730232118112511 50， 平均每块产量=4505010455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为 455 千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已 经被同学们熟知，如 7749（七七四十九）。 对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了 1020
6、的平方，而 2199 的平方就不大熟悉了。 有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？ 这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所 谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数 的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十 数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过 例题来说明这一方法。 例 3 求 292和 822的值。 解：29 2=2929 （291）（29-1）12 30281 840+1 841。 82 28282 （822）（822）2 2 80844 6720+4 6724。 由上例看出，因为 29 比 30 少 1，所以给 29“补”1，这叫“补少”；因为 82 比 80 多 2，
7、所以从 82 中“移走”2，这叫“移多”。因为是 两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少” 后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给 一个 29 补 1，就要给另一个 29 减 1；给一个 82 减了 2，就要给另一个 82 加上 2。最后，还要加 上“移多补少”的数的平方。 由凑整补零法计算 352，得 353540305 2=1225。这与三年级学的 个位数是 5 的数的平方的速算方法结果相同。 这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也 适用于求三位数或更多位数的平方值。 例 4 求 9932和 20042的值。 解：993 2=993993 （9937）（993-7）+7 2 100
8、098649 98600049 小学奥数基础教程（四年级） - 3 - 986049。 2004 2=20042004 （2004-4）（2004+4）42 2000200816 401600016 4016016。 下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算 方法。 请看下面的算式： 6646，7388，1944。 这几道算式具有一个共同特点，两个因数都 是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另 一因数的十位数与个位数之和为 10。这类算式有 非常简便的速算方法。 例 5 8864？ 分析与解：由乘法分配律和结合律，得到 8864 （808）（604） （808）60（808）4 806086
9、080484 806080680484 80（6064）84 80（6010）84 8（61）100+84。 于是，我们得到下面的速算式： 由上式看出，积的末两位数是两个因数的个 位数之积，本例为 84；积中从百位起前面的数 是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位 与十位之和为 10 的因数”的十位数加 1 的乘积， 本例为 8（61）。 例 6 7791？ 解：由例 3 的解法得到 由上式看出，当两个因数的个位数之积是一 位数时，应在十位上补一个 0，本例为 7107。 用这种速算法只需口算就可以方便地解答出 这类两位数的乘法计算。 练习 1 1.求下面 10 个数的总和： 165，15
10、2，168，171，148，156，169，161，157 ，149。 2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出 12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）： 26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27 ，25。求这批麦苗的平均高度。 3.某车间有 9 个工人加工零件，他们加工零 件的个数分别为： 68，91，84，75，78，81，83，72，79。 他们共加工了多少个零件？ 4.计算： 131610+1117121512161312。 5.计算下列各题： （1）37 2； （2）53 2； （3）91 2； （4）68 2： （5）108 2； （6）397 2。 6.计
11、算下列各题： （1）7728；（2）6655； （3）3319；（4）8244； （5）3733；（6）4699。 练习 1 答案 1.1596。 2.26 厘米。 3.711 个。 4.147。 5.（1）1369； （2）2809； （3）8281； （4）4624； （5）11664； （6） 157609。 6.（1）2156； （2）3630； （3）627； （4）3608； （5）1221； （6）4554。 第 2 讲 速算与巧算（二） 上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方 法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算 法。 两个数之和等于 10，则称这两个数互补。在 整数乘法
12、运算中，常会遇到像 7278，2686 等 被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数 与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278 的 被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补， 这类式子我们称为“头相同、尾互补”型； 2686 的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数 字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同” 型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法， 分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。 例 1 （1）7674？ （2）3139？ 小学奥数基础教程（四年级） - 4 - 分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补” 类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 7674 （76）（70+4） （
13、706）70（76） 4707067070464 70（7064）64 70（7010）64 7（7+1）10064。 于是，我们得到下面的速算式： （2）与（1）类似可得到下面的速算式： 由例 1 看出，在“头相同、尾互补”的两个 两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位 数之积（不够两位时前面补 0，如 1909）， 积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十 位数与十位数加 1 的乘积。“同补”速算法简单 地说就是： 积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头 +1）”。 我们在三年级时学到的 1515，2525，9595 的速算，实际上就 是“同补”速算法。 例 2 （1）7838？ （2
14、）4363？ 分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类 型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到 7838 （708）（308） （708）30（708）8 7030+83070888 70308（3070）88 73100810088 （738）10088。 于是，我们得到下面的速算式： （2）与（1）类似可得到下面的速算式： 由例 2 看出，在“头互补、尾相同”的两个两位 数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之 积（不够两位时前面补 0，如 3309），积中 从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上 被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简 单地说就是： 积的末两位数是“尾尾”，前
15、面是“头头+尾” 。 例 1 和例 2 介绍了两位数乘以两位数的“同补” 或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于 两位时，情况会发生什么变化呢？ 我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是 10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称 互补。如 43 与 57 互补，99 与 1 互补，555 与 445 互补。 在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的 几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就 是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如 ， 因为被乘数与乘数的前两位数 相同，都是 70，后两位数互补，7723100，所 以是“同补”型。又如 ， 等都是“同补”型。 当被乘数与乘数前
16、面的几位数互补，后面的几位 数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即 “头互补，尾相同”型。例如， 等都是“补同”型。 在计算多位数的“同补”型乘法时，例 1 的 方法仍然适用。 例 3 （1）702708=？ （2）17081792？ 解：（1） （2） 小学奥数基础教程（四年级） - 5 - 计算多位数的“同补”型乘法时，将“头 （头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数 之积作为乘积的后几位。 注意：互补数如果是 n 位数，则应占乘积的后 2n 位，不足的位补“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果 “补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同， 那么例 2 的方法仍然适用（见例 4
17、）；如果“补” 与“同”的位数不相同，那么例 2 的方法不再适 用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论 了。 例 4 28657265？ 解： 练习 2 计算下列各题： 1.6862； 2.9397； 3.2787； 4.7939； 5.4262； 6.603607； 7.693607； 8.40856085。 第 3 讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上 学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 123499100？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小 高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得 又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 110029939849
18、525051。 1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数 的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）10025050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求 和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一 个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项 称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等 差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，100； （2）1，3，5，7，9，99；（3） 8，15，22，29，36，71。 其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，
19、末项为 99，公 差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公 式： 和=（首项+末项）项数2。 例 1 1231999？ 分析与解：这串加数 1，2，3，1999 是等差 数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999 个数。 由等差数列求和公式可得 原式=（11999）199921999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要 判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例 2 11121331？ 分析与解：这串加数 11，12，13，31 是等差 数列，首项是 11，末项是 31，共有 31- 11121
20、（项）。 原式=（11+31）212=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一 目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、 末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）公差+1， 末项=首项+公差（项数-1）。 例 3 371199？ 分析与解：3，7，11，99 是公差为 4 的等差 数列， 项数=（993）4125， 原式=（399）2521275。 例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。 解：末项=253（40-1）142， 和=（25142）4023340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式， 可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
21、例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（1）最大三 角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多 少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每 层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 小学奥数基础教程（四年级） - 6 - 由 上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层 的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （13515）12 （115）8212 768（厘米 2）。 2）火柴棍的数目为 369+24 （324）82=108（根）。 答：最大三角形的面积是 768 厘米 2，整个图形由 108 根火柴摆成。
22、例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次 从盒子里拿出一只球，将它变成 3 只球后放回盒 子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球 各变成 3 只球后放回盒子里第十次从盒子里 拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒 子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 分析与解：一只球变成 3 只球，实际上多了 2 只 球。第一次多了 2 只球，第二次多了 22 只 球第十次多了 210 只球。因此拿了十次后， 多了 2122210 2（1210） 255110（只）。 加上原有的 3 只球，盒子里共有球 1103113（只）。 综合列式为： （3-1）（1210）3 2（110）1023113
23、（只）。 练习 3 1.计算下列各题： （1）246200； （2）17192139； （3）58111450； （4）3101724101。 2.求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差 数列的和。 3.求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。 4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该 钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲 打多少次？ 5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的 数共有多少个？ 第四讲 4，8，9 整除的数的特征 我们在三年级已经学习了能被 2，3，5 整除的数 的特征，这一讲我们将讨论整除的性
24、质，并讲解 能被 4，8，9 整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整 除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整 除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么 这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。 例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么 2115 及 21-15 都能被 3 整除。 性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整 除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的 乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除， 且 9 与 7 互质，那么
25、 126 能被 9763 整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许 多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除 性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字 特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被 2 整 除。 （2）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那么 这个数就能被 5 整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。 （4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25） 整除，那么这个数就能被 4（或 25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或 1
26、25）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容， （4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除 的性质 1 知，整百的数都能被 4（或 25）整除。 因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数 的后两位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要 这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数 就能被 4（或 25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明 一般性的证明方法。 小学奥数基础教程（四年级） - 7 -
27、 837800307 81003107 8（991）3（91）7 89983937 （89939）（837）。 因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的 性质 1 和性质 2 知，（8x993x9）能被 9 整除。 再根据整除的性质 2，由（837）能被 9 整除， 就能判断 837 能被 9 整除。 利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数： （4）一个数除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。 （5）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。 （6）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之 和除以 9 的余数相同。 例 1 在下
28、面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。 解：能被 4 整除的数有 7756，3728，8064； 能被 8 整除的数有 3728，8064； 能被 9 整除的数有 234，8865，8064。 例 2 在四位数 562 中，被盖住的十位数分别等 于几时，这个四位数分别能被 9，8，4 整除？ 解：如果 562 能被 9 整除，那么 56213 应能被 9 整除，所以当十位数是 5，即四位数是 5652 时能被 9 整除； 如果 562 能被 8 整除，那么 62 应能被 8 整除，所以当十位数是 3 或
29、7，即四位数是 5632 或 5672 时能被 8 整除； 如果 562 能被 4 整除，那么2 应能被 4 整 除，所以当十位数是 1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652，5672，5692 时能被 4 整除。 到现在为止，我们已经学过能被 2，3，5，4，8，9 整除的数的特征。根据整除的 性质 3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。 例如，判断一个数能否被 6 整除，因为 623，2 与 3 互质，所以如果这个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么根据整除的性质 3，可判 定这个数能被 6 整除。同理，判断一个数能否被 12 整除，只需判断这个数能否同时被 3
30、和 4 整除； 判断一个数能否被 72 整除，只需判断这个数能否 同时被 8 和 9 整除；如此等等。 例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能 同时被 2，5，3 整除的数，并将这些数从小到大 进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被 2，5 整除，所以 个位数字为 0。根据三位数能被 3 整除的特征，数 字和 270 与 570 都能被 3 整除，因此所 求的这些数为 270，570，720，750。 例 4 五位数 能被 72 整除，问：A 与 B 各 代表什么数字？ 分析与解：已知 能被 72 整除。因为 7289，8 和 9 是互质数，所以 既能被 8 整除，又能被 9
31、 整除。根据能被 8 整除的数的特 征，要求 能被 8 整除，由此可确定 B6。 再根据能被 9 整除的数的特征， 的各位数 字之和为 A329BA3f296A20， 因为 lA9，所以 21A2029。在这个 范围内只有 27 能被 9 整除，所以 A7。 解答例 4 的关键是把 72 分解成 89，再分别根 据能被 8 和 9 整除的数的特征去讨论 B 和 A 所代 表的数字。在解题顺序上，应先确定 B 所代表的 数字，因为 B 代表的数字不受 A 的取值大小的影 响，一旦 B 代表的数字确定下来，A 所代表的数字 就容易确定了。 例 5 六位数 是 6 的倍数，这样的六位数 有多少个？
32、分析与解：因为 623，且 2 与 3 互质，所以这 个整数既能被 2 整除又能被 3 整除。由六位数能 被 2 整除，推知 A 可取 0，2，4，6，8 这五个值。 再由六位数能被 3 整除，推知 3ABABA33A2B 能被 3 整除，故 2B 能被 3 整除。B 可取 0，3，6，9 这 4 个值。由于 B 可以取 4 个值，A 可以取 5 个值，题目没有要求 AB，所以符合条 件的六位数共有 5420（个）。 例 6 要使六位数 能被 36 整除，而且所得 的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？ 分析与解：因为 3649，且 4 与 9 互质， 所以这个六位数应既能被 4 整除又能
33、被 9 整除。 六位数 能被 4 整除，就要 能被 4 整除， 因此 C 可取 1，3，5，7，9。 小学奥数基础教程（四年级） - 8 - 要使所得的商最小，就要使 这个六 位数尽可能小。因此首先是 A 尽量小，其次是 B 尽量小，最后是 C 尽量小。先试取 A=0。六位数 的各位数字之和为 12BC。它应能被 9 整除，因此 BC6 或 BC15。因为 B，C 应 尽量小，所以 BC6，而 C 只能取 1，3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应 取 B1，C5。 当 A=0，B=1，C5 时，六位数能被 36 整除， 而且所得商最小，为 150156364171。 练习 4 1653972
34、4 能被 4，8，9，24，36，72 中的 哪几个数整除？ 2个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有 多少个？ 3一些四位数，百位上的数字都是 3，十位 上的数字都是 6，并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是 多少？ 4五位数 能被 12 整除，求这个五位 数。 5有一个能被 24 整除的四位数23，这 个四位数最大是几？最小是几？ 6从 0，2，3，6，7 这五个数码中选出四个， 可以组成多少个可以被 8 整除的没有重复数字的 四位数？ 7在 123 的左右各添一个数码，使得到的五 位数能被 72 整除。 8学校买了 72 只小足球，发票上的总
35、价有 两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元， 你知道每只小足球多少钱吗？ 第 5 讲 弃九法 从第 4 讲知道，如果一个数的各个数位上的 数字之和能被 9 整除，那么这个数能被 9 整除； 如果一个数各个数位上的数字之和被 9 除余数是 几，那么这个数被 9 除的余数也一定是几。利用 这个性质可以迅速地判断一个数能否被 9 整除或 者求出被 9 除的余数是几。 例如，3645732 这个数，各个数位上的数字之 和为 364573230， 30 被 9 除余 3，所以 3645732 这个数不能被 9 整除，且被 9 除后余数为 3。 但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻 烦且易错。有没有
36、更简便的方法呢？ 因为我们只是判断这个式子被 9 除的余数， 所以凡是若干个数的和是 9 时，就把这些数划掉， 如 369，459，729，把这些数划掉后， 最多只剩下一个 3（如下图），所以这个数除以 9 的余数是 3。 这种将和为 9 或 9 的倍数的数字划掉，用剩 下的数字和求除以 9 的余数的方法，叫做弃九法。 一个数被 9 除的余数叫做这个数的九余数。 利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检 验四则运算的正确性。 例 1 求多位数 7645821369815436715 除以 9 的余 数。 分析与解：利用弃九法，将和为 9 的数依次划掉。 只剩下 7，6，1，5 四个数，这时口
37、算一下即 可。口算知，7，6，5 的和是 9 的倍数，又可划掉， 只剩下 1。所以这个多位数除以 9 余 1。 例 2 将自然数 1，2，3，依次无间隔地写下去 组成一个数 1234567891011213如果一直写到自 然数 100，那么所得的数除以 9 的余数是多少？ 分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦， 在使用弃九法时不能逐个划掉和为 9 或 9 的倍数 的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知 123945， 而 45 是 9 的倍数，所以每一组 1，2，3，9 都可以划掉。在 199 这九十九 个数中，个位数有十组 1，2，3，9，都可划 掉；十位数也有十组 1，2，3，9，
38、也都划掉。 这样在这个大数中，除了 0 以外，只剩下最后的 100 中的数字 1。所以这个数除以 9 余 1。 在上面的解法中，并没有计算出这个数各个 数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本 题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个 数位上的数字之和除以 9 的余数相同，所以题中 这个数各个数位上的数字之和，与 12100 除以 9 的余数相同。 小学奥数基础教程（四年级） - 9 - 利用高斯求和法，知此和是 5050。因为 5050 的数字和为 5050=10，利用弃九法，弃去一 个 9 余 1，故 5050 除以 9 余 1。因此题中的数除 以 9 余 1。 例 3 检验下面的加法
39、算式是否正确： 26384573521983674578512907225。 分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的 九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不 等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三 个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数 为 0；和的九余数为 1。因为 01，所以这个算式 不正确。 例 4 检验下面的减法算式是否正确： 7832145-21679535664192。 分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数 （若不够减，可在被减数的九余数上加 9，然后再 减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个 减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是 3，减数
40、的九余数是 6，由（9+3）-66 知，原题 等号左边的九余数是 6。等号右边的九余数也是 6。因为 66，所以这个减法运算可能正确。 值得注意的是，这里我们用的是“可能正确” 。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例 5）运 算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不 相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边 的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确， 因为九余数只有 0，1，2，8 九种情况，不同 的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运 算的正确性，只是一种粗略的检验。 例 5 检验下面的乘法算式是否正确： 468769537447156412。 分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的
41、数的 九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果 不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中， 被乘数的九余数是 4，乘数的九余数是 6，4624，24 的九余数是 6。乘积的九余数是 7。67，所以这个算式不正确。 说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除 数商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验 算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验 383801253=1517 的正确性，只需检验 1517253=383801 的正确性。 练习 5 1求下列各数除以 9 的余数： （1）7468251； （2）36298745； （3）2657348； （4）6678254193。 2求下列各式除以
42、 9 的余数： （1）6723582564； （2）97256-47823； （3）27836451； （4）3477+265841。 3用弃九法检验下列各题计算的正确性： （1）22822250616； （2）334336112224； （3）2337242862363748； （4）12345678983810105。 4有一个 2000 位的数 A 能被 9 整除，数 A 的各个数位上的数字之和是 B，数 B 的各个数位上 的数字之和是 C，数 C 的各个数位上的数字之和是 D。求 D。 第 6 讲 数的整除性（二） 这一讲主要讲能被 11 整除的数的特征。 一个数从右边数起，第 1，3
43、，5，位称为奇 数位，第 2，4，6，位称为偶数位。也就是说， 个位、百位、万位是奇数位，十位、千位、 十万位是偶数位。例如 9 位数 768325419 中， 奇数位与偶数位如下图所示： 能被 11 整除的数的特征：一个数的奇数位上的数 字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数） 如果能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除。 例 1 判断七位数 1839673 能否被 11 整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为 1363=13，偶数位上的数字之和为 897=24，因为 24-13=11 能被 11 整除，所以 1839673 能被 11 整除。 根据能被 11 整除的数的特征，也
44、能求出一个 数除以 11 的余数。 一个数除以 11 的余数，与它的奇数位上的数 字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以 11 的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数 位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和 上再增加 11 的整数倍，使其大于偶数位上的数字 之和。 例 2 求下列各数除以 11 的余数： （1）41873； （2）296738185。 分析与解：（1）（483）（17）11 =71107， 所以 41873 除以 11 的余数是 7。 （2）奇数位之和为 26315=17，偶数位之 和为 978832。因为 1732，所以应给 17 增加 11 的整数倍，使其大于 3
45、2。 （17+112）-327， 小学奥数基础教程（四年级） - 10 - 所以 296738185 除以 11 的余数是 7。 需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于 偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶 数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以 11， 所得余数与 11 的差即为所求。如上题（2）中， （32-17）1114，所求余数是 11-4=7。 例 3 求 除以 11 的余数。 分析与解：奇数位是 101 个 1，偶数位是 100 个 9。 （9100-1101）11 =79911=727， 11-7=4，所求余数是 4。 例 3 还有其它简捷解法，例如每个“19”奇 偶数位上
46、的数字相差 9-18， 奇 数位上的数字和与偶数位上的数字和相差 899=8911，能被 11 整除。所以例 3 相当于 求最后三位数 191 除以 11 的余数。 例 4 用 3，3，7，7 四个数码能排出哪些能被 11 整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个 3 和一个 7 即可。有 3377，3773，7337，7733。 例 5 用 19 九个数码组成能被 11 整除的没有重 复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是 987654321，由 （97531）-（8642）5 知，987654321 不能被 11 整除。为了保证这 个数尽可能大，我们尽量调整低
47、位数字，只要使 奇数位的数字和增加 3（偶数位的数字和自然就减 少 3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的 差就变为 532=11，这个数就能被 11 整除。调 整“4321”，只要 4 调到奇数位，1 调到偶数位， 奇数位就比原来增大 3，就可达到目的。此时， 4，3 在奇数位，2，1 在偶数位，后四位最大是 2413。所求数为 987652413。 例 6 六位数 能被 99 整除，求 A 和 B。 分析与解：由 99=911，且 9 与 11 互质，所以六 位数既能被 9 整除又能被 11 整除。因为六位数能 被 9 整除，所以 A+2+8+7+5+B 22+A+B 应能被 9 整除，由此推知 AB5 或 14。又 因为六位数能被 11 整除，所以 （A85）（27B） A-B4 应能被 11 整除，即 A-B+4=0 或 A-B+4=11。 化简得 B-A4 或 A-B7。 因为 A+B 与 A-B 同奇同偶，所以有 在（1）中，A5 与 A7 不能同时满足，所 以无解。 在（2）中，上、下两式相加，得 （BA
