1、高二 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 14 课时 课题 向量的数量积 【教学目标】 1、 理解向量夹角的定义，掌握向量数量积的概念； 2、掌握向量数量积的坐标表示； 3、能利用向量的数量积的有关知识求向量的模以及两个向量的夹角、向量的垂直和平行问题； 【教学重点】 向量的数量积 【教学难点】 会利用向量数量积的坐标表示求向量夹角、长度及垂直 问 题 【教学方法】讲练结合 【教学 过程 】 一、主要知识： 1向量的夹角：对于两个非零向量 ,ab，以 O 为起点，作 ,OA a OB b，那么 射线 ,OAOB的夹角 叫做向量 a 和 b 的夹角， 的取值范围是 。当 = 时，a 和 b
2、同向； 当 = 时， a 和 b 反向； 当 = 时， a 和 b 垂直，记作 ab 。 注意 ：讨论两个向量的夹角一定要 。 2.向量数量积： （ 1） cosa b a b 注意 ： ab 中的运算符号 “ ”不能省略不写，也不能写成 “” ab 的结果是一个数量 特别地， aa 记作 2a 如果 ,ab中有一个是 0 ，那么规定它们的数量积为 0。 （ 2）若 1 1 2 2, , ,a x y b x y，则 ab = 。即两个向量的数量积等于 。 3.向量的运算律： （ 1） 22 0a a a a ； （ 2） a b b a （ 3） a b a b a b （ 4） a b c
3、 a b a c 4.向量数量积的应用： （ 1）利用 求向量的模； （ 2）利用 求向量的夹角； （ 3）利用 解决垂直问题； （ 4）利用 处理平行问题 . 二、例题分析： 考点一、计算向量的数量积 例 1、 （ 1）已知 1, 2ab， a 与 b 夹角为 3 ，则 ab ； （ 2）已知 2 ,1 , 3, 4ab ， 求 ab ； 若 1, 9a c b c ，求 c 的坐标 . 巩固练习： （ 1）等边三角形 ABC ，边长为 2.求 ABAC ； A B B C B C C A C A A B . （ 2）已知 1, 2 , 2, 2ab ，求 a 与 b 夹角 . 考点二、向量
4、的数积 求长应用 例 2、 已知 2, 3ab， a 与 b 夹角为 60 ，求 2ab . 巩固练习： 已知 3, 1ab， a 与 b 夹角为 30 ， 2 , 3O D a b O C a b ，求 CD . 提高练习： 已知 6ab， 8ab，求 ab . 考点三、向量的数积 垂直和平行应用 例 3、 已知 2, 3.a b a b ，且 32a b ka b ，求实数 k 的值 . 巩固练习： 已知 3ab 与 75ab 垂直， 4ab 与 72ab 垂直，求 a 与 b 夹角 的值 . 例 4、 若 2 , 3 , 5 ,1a t t b t ，且 ab ，求实数 t 的值 . 巩
5、固练习： 若 3 4 ,a i j a b ，求 b 的单位向量 0b . 迁移练习： 已知 3 , 1 , 1 , 2 ,O A O B O C O B ， /BC OA ，又 OD OA OC，求 OD 的坐标 . 课堂测试： 1 已知 3, 4ab，且 a 与 b 的夹角为 3 ，则 2 _ _ _ _ _ _ _ _a b a b 。 2 已知 12, 9ab， 54 2ab ，则 a 与 b 的夹角为 _ 。 3 已知 1ab， 0ab 且 ab 与 ka b 垂直，则实数 _k 。 4 若向量 5,12a 与 4,6b ，则 ab 与 23ab 的夹角是 _ 。 5 已知向量 ,
6、2 , 3 , 5a x b ，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是_ 。 6 已知 a +b =2i 8j , a b = 8i +16j ， a b = 。 7 在 ABC 中，若 90C ， 4AC BC，则 BABC 。 8 已知向量 OA=（ 1， 2） 、 OB =（ 3， m） ，若 OA OB ，则 m= 。 9 若向量 ba 、 的夹角为 150 ， 4,3 ba ，则 ba 2 。 10 若向量 a ， b 满足 2a ， 1b ， 1 baa ，则向量 a ， b 的夹角的大小为 。 11若向量 ab， 的夹角为 60 ， 1 ba ，则 )( baa =
7、。 12 已知向量 OA= 1， 2、 OB =3， m，若 OA OB ，则 m= 13 若向量 ， 满足 | ，则 与 所成角的大小为 _。 14 已知点 A(1, 2),若向量 AB 与 a =（ 2,3） 同向 , AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 。 当堂巩固 1.设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半 轴交于 A、 B 两点，点 Q 与点 P关于 y轴对称， O为坐标原点，若 2BP PA ,且 1OQAB ,则 P点的轨迹方程是 ( ) A. 2233 1 ( 0 , 0 )2x y x y B. 2233 1 ( 0 , 0 )2x y x y
8、 C. 223 3 1 ( 0 , 0 )2 x y x y D. 223 3 1 ( 0 , 0 )2 x y x y 2.已知 ABC中，点 D在 BC边上，且 2CD DB ，若 CD rAB sAC,则 r+s的值 ( ) A. 23 B.0 C. 43 D.-3 3.定义 a b=|a|b|sin， 是向量 a和 b的夹角， |a|、 |b|分别为 a、 b的模，已知点 A(-3,2)、B(2,3),O 是坐标原点，则 OAOB 等于 ( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13 4.已知 a+b+c=0,且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量 a 与 b 的夹角是 _.
9、5.若 AB = 122ee , AC = 123ee , AD = 125ee ,且 B、 C、 D 三点共线 ,则实数 =_. 6.已知 e1、 e2 是夹角为 60的两个单位向量 ,则 a= 122ee 和 b= 1223ee 的夹角是_. 课后作业 1 平面向量 a ， b 中，已 知 a =4， -3， b =1，且 ba =5，则向量 b =_。 2 已知向量 a =cos,sin,向量 b = 3 , 1,则 |2a b |的最大值是 。 3 在平行四边形 ABCD中 ， BACDBC 等于 ( ) A BC B DA C AB D AC 4 已知 |a |=6 3 ， |b |
10、=1, a b = 9，则 a 与 b 的夹角是 ( ) A 150 B 120 C 60 D 30 5 a , b 是两个非零向量 ， (a +b )2=a 2+b 2是 a b 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 6 已知非零向量 a 、 b 满足 (3a b )a ， (4a b )b ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A6B3C 23D 567 已知两点 M（ 2， 0）、 N（ 2， 0），点 P 为坐标 平面内的动点，满足 | | | |M N M P M N N P 0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为 ( ) A xy
11、82 B xy 82 C xy 42 D xy 42 8 已知 | | 2| | 0ab,且关于 x 的方程 2 | | 0x a x a b 有实根 ,则 a 与 b 的夹角的取值范围是 ( ) A 0, 6 B , 3 C 2 , 33 D , 6 9 已知向量 a =(cos x23 ,sin x23 )， b =(cos x21 , sin x21 )，且 x 0,2，求 (1) a b 及 |a +b |； (2)若 f (x)=a b 2|a +b |的最小值为 32，求实数 的值 10 在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A（ 4， 3）为 OAB 的直角顶点 .已知 |AB|=2|OA|，且点 B 的纵坐标大于零 .求向量 AB 的坐标； 11 在直角坐标系 xOy 中，已知点 )22c o s2,1c o s2( xxP 和点 )1,cos( xQ ，其中,0 x . 若向量 OP 与 OQ 垂直，求 x 的值 .
