1、 第23届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案本卷共七题，满分160 分一、(23分) 有一竖直放置、两端封 闭的长玻璃管，管内为真空，管 内有一小球自某处自由下落(初速度为零)，落到玻璃管底部时与底 部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动.现用支架 固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置.每隔一相等的确定的 时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计.从 所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置.求小球开始 下落处离玻璃管底部距离(用H表示)的可能值以及与各H值相应的 照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值.二、(25分)如图1所示， 一根质量可以忽略的细杆，长为
2、2l ，两端和中心处分别固连着质量 为m的小球B、 D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上.桌面上另有 一质量为M的小球A，以一给定速度v沿垂直于杆 DB的方向与右端 小球B作弹 性碰撞.求刚碰后小球A 、B、C、D的速度，0并详细讨论以 后可能发生的运动情况. (图1) 三、(23分) 有一带活塞的气缸，如 图2所示，缸内盛有一定质量的气 体.缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和 叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热 容量都不计.轴穿过气缸处不漏气.-1- 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实 验测得，气体的压强p和体积V 遵从以
3、下的 过程方程式pV=k，其中 、k均为常量，1(其值已知). 可以由上式导出，在 此过程中外界对气体做的功为式中V 和V分别表示末态和初态的体 积.21如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度 做匀角速转动.已 知在这种过程中，气体的压强 的改变量 p和经过的时间 t遵从以下的关系式式中V为气体的体 积，L表示气体对叶片阻力的力矩的大小.上面并没有说气体是理想 气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温 度有关的知识，求出图3中气体原来所处的状态A与另一已知状态B 之间的内能之差(结果要用状态A、B的压强p、p和体积V、V 及常量 表示).ABAB四、(25分)图4所示的电路具
4、有把输入的交变电压变成 直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路.图中D和D 是理想的、点接触型二极管(不考虑二极管的电容)，C和C是1212理 想电容器，它们的电容都为C，初始时都不带电，G点接地.现在A 、G 间接上一交变电源，其电压u随时间t 变化的图线如图5所示.试分别 在图6和图7中准确地画出D 点的电压u和BAD点的电压u在t=0 到t=2 T时间间 隔内随 时间t 变化的图线，T为交 变电压u的周期.BA -2- 五、(25分) 磁悬浮列车 是一种高速运载工具.它具有两个重要系统. 一是悬浮系统，利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导转上悬 浮起来与轨道脱离接触.另一是
5、驱动系统，在沿轨道上安装的三相 绕组(线圈 )中，通上三相交流 电，产生随时间、空间作周期性变化的 磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得 牵引力.为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下 面的问题.设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和 空间位置x变化规律为B(x,t)=Bcos(t- kx)式中 B，k均为已知常量，坐标轴x与 轨道平行.在任一时刻t， 轨道00-3- 平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示.图8中Oxy平面代 表轨道平面，“”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“”表示磁 场的方向垂直Oxy平面指向 纸外.规定指向纸外时B
6、取正值.“”和“” 的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布.一与轨道平面平行的具有一 定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属 框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ 的长度为d，金属框 的电阻为R，不 计金属框的电感.1.试求在时刻t，当金属框的MN2. 边 位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方 向移动的速度为v.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系. (图 8)六、 (23分)有一种称 为直视分光镜的光 谱学仪器.所有光学元件 均放在一直长圆筒内.筒内有：三个焦距分别为f、f和f 的透镜L、L和 L，f=ff；观察屏P，它是一 块带有刻度的
7、玻璃123123123片；由三块 形状相同的等腰棱镜构成的分光元件(如图9所示)，棱镜分别用折 射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不 同，棱镜底面与圆筒轴平行.圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝， 它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面 .当有狭缝的一端对准 筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱. -4- 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线(波长为589.3nm，称 为D 线) 位于圆筒轴与观察屏相交处.制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻 璃，它对钠D线的折射率n=1.5170；另一种为火D 石玻璃，它对钠D线的折射率.1.试在图10中绘出圆筒内诸光学元件
8、 相对位置的示意图并说出各元件的作用.2.试论证三块棱镜各应由 何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值. 七、(16分) 串列静电加速器是加速 质子、重离子进行核物理基础研 究以及核技术应用研究的设备，图10是其构造示意图.S是产生负离 子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管6道，通过高压 装置H使其对地有5.0010V的高压.现将氢气通入离子源S，S 的作用 是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一 个电子电量的氢负离子.氢负离子(其初速度为0)在静电场的作用下 ，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮 气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离
9、子失去粘附在 它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子 的电子使它成为质子.已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒 子的速度.质子在电场的作用下由N 飞向串列静电加速器的终端靶 子T.试 在考 虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度v. (图 10)-19- 27电子电荷量q=1.6010C ，质子的静止质量m=1.67310kg.0-5- 第23届全国中学生物理竞赛复赛试题答案一、参考解答：解法一小 球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的 关系如图11所示.设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底 部的距离为h，小球开始下落处到玻璃管底部的A距
10、离为H.小球可以 在下落的过程中经过A 点，也可在上升的过程中经过A点.现在t表示 小球从最高点(即开始下落处) 落到玻璃管底部所需的时间(也就是 从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间)，t表示小球从最高 点下落至A点所需的 时间( 也就是从A 点上升至最高点所需的时间)， t12表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间(也就是从玻璃管 底部反跳后上升至A 点所需的时间). 显然，t+t=t.根据题意，在时间 间隔T 的起始 时刻和终了时刻上球都在A点.用n表示时间12间隔T内 (包括起始时刻和终了时刻) 小球位于A点的次数(n2).下面分两种 情况进行讨论： (图 11)1.A点不正好在
11、最高点或最低点.当n为奇数时有T=(n-1)t+(n- 1)t=(n- 1)tn=3,5,7,(1)12(2)在(1) 式中，根据题意 t可取0tt中的任意值， 而当n为偶数时有t=t-t1121T=nt+(n-2)t=nt+(n- 2)tn=2,4,6,(3)2112由(3)式得t=t(4) 12n=2,3,4,由(1)、(3)、(4) 式知， 不论n是奇数还是偶数，都有T=(n-1)t(5)-6- 因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为 n=2,3,4,(6) n=2,3,4,(7)当n为奇数时，t可取0tt 中的任意值，故有11 0tHn=3,5,7,(8)An可见与H 相应
12、的h 的可能值为0与H 之间的任 意值.nAn 当n为偶数时，由(6)式、(7)式求得H的可能值n n=2,4,6,(9)2.若A点正好在最高点或最低点.无论n是奇数还是偶数 都有T=2(n-1)tn=2,3,4,(10) n=2,3,4,(11) n=2,3,4,(12)或H=0解法二因为照相机每 经一时间间隔T拍摄一次 时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有 周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数.下面我们就研究小 球通过某个位置的周期性.设小球从最高点(开始下落处)落下至管 底所需时间为t，从最高点下落至相片上小球所在点(A点)所需时间 为t，从A点下落至管底所需
13、时间为t ，则t=t+t(1)1212-7- (小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间 相同，也是t、t和t)12从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经 过的时间2t后上升至 A点，再经过时间2t 21后又落到A点，此过程所 需总时间为2t+2t=2t.以后小球将重复这样 的运动.小球周期性重复 出12现在A点的周期是多少？分两种情况讨论：(1)tt，t 和t都不是小 球在A点重复出现的周期，周期是2t.1212(2)t=t，小球经过时间2t=t回 到A点，再经过时间2t=t又回到A 点，所以小球重复出 1221现在A点的 周期为t.下面就分别讨论 各种情况中H的可能值和
14、A点离管底的距 离h的可能值.(如果从小球在上升A过程中 经过A 点的时刻开始计时 ，结果一样，只是t和 t对调一下) 121.H的可能 值(1)较普遍的情况，tt. T与2t的比值应为一整数，t 的可能值应符合下式12 ，k=1,2,3,(2)由自由落体公式可知，与此相应的H 的数值为k k=1,2,3,(3)(2)t=t时 t的可能值应符合下式12 k=1,2,3,(4)故H的可能值为k k=1,2,3,(5)-8- 当k为偶数时，即k=2,4,6,时，(5)式与(3)式完全相同.可见由(3)式 求得的H的可能值包含了 tt的全部情况和t=t的一部分情况.当k为 奇数时，即k=1,3,5,
15、时，由(5)式得出1212 的H的可能值为k=1,3,5,(6)它们不在(3)式之内，故 (3)式和(6)式得 出的H合在一起是H的全部的可能值.2.与各 H值相应的h的可能值Aa 与H相应的h的可能值 kA由于在求得(3)式时未限定A点的位置，故h 的数值可取0和H之间 的任意值，即 Ak 0hHk=1,2,3,(7)Akb.与H(k 为奇数)相应的h的可能值kA 这些数值与A位于特定的位置，相对应，所以对于每一个H，对应 的k，是一个特定值，它们是 k=1,3,5,(8)二、参考解答：1.求刚碰撞后小球 A、B、C、D的速度设 刚碰撞后，小球A、B、C、D 的速度分别为 v、v、v、v，并
16、设它们的方 向都与v的ABCD0方向相同.由于小球C位于由B、C、D三球组成的系 统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度.因碰撞 前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有Mv=Mv+3mv(1)DAC碰 撞前后质点组的角动量守恒，有0=mlv+2mlv(2)CD-9- 这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针 方向的角动量为正.因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等， 有 (3)因 为杆是 刚性杆，小球 B和D相对于小球C的速度大小必相等，方 向应相反，所以有v-v=v- v(4)BCCD解(1)、 (2)、(3)、(4)式，可得两个解v=0(5) C 和(6)
17、 因为v 也是刚碰撞后由 B、C、D三小球组成的系统的质心的速 度，根据质心运动定律，碰撞C后这系统的 质心不可能静止不动，故 (5)式不合理，应舍去 .取(6) 式时可解得刚 碰撞后A 、B、D三球的速度 (7) (8) (9)2.讨论 碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B、C、D三小球组成的 系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以 (6)式的速度即沿v方向作匀速运 动.由(4)、(8)、(9)式可知，碰撞后，B 、D两0小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为 (10)-10- 方向为逆时针方向，由(7)式可知，碰后小球A的速度的大小和方向 与M、m的大小有关，下面就M、m 取
18、值不同而导致运动情形的不同 进行讨论：(i)v=0 ，即碰撞后小球A 停住，由(7)式可知发生这种运动 的条件是A5M-6m=0 即(11)(ii)v0，即碰撞后小球A 反方向运动，根据(7)式，发生这种运 动的条件是A (12)(iii)v0但vv，即碰撞后小球A 沿v方向作匀速直 线运动，但其 速度小于小球C的速AAC0度.由(7)式和(6)式，可知发生这种运动的 条件是5M-6m0和4M5M-6m 即mM 6m(13)(iv)vv，即碰撞后小球A仍沿v方向运动，且其速 度大于小球C的速度，发生这种运动AC0 的条件是M6m(14)(v)v=v ，即碰撞后小球A和小球C 以相同的速度一起沿
19、v方向运动，发生这 种运动的条AC0件是 M=6m(15)在这种情形下，由于小球B、D 绕小球 C作 圆 周运 动，当 细杆转过180时，小球D将从小球A的后面与小球 A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿v方向运动.根据质心 运动定理，0C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞.这 两次碰撞的时间间隔是-11- (16)从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程 (17)3.求第二次碰撞后，小球A、B、C、D 的速度刚要发生第二次碰 撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为v，小球D的速度为v， DB在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守 恒.设第二次
20、刚碰撞后小球A 、B、 C、D的速度分 别为、和，并假定它们的方向都与v的方向相同.注意 到(1) 、(2)、0(3)式可得 (18)0=mlv+2mlv(19)cB (20)由杆的刚性条件有 (21)(19)式的角 动量参考点 设在刚要发生第二次碰撞 时与D 球重合 的空间点.把(18)、(19)、(20)、(21)式与(1)、(2)、(3)、 (4)式对比，可以 看到它们除了小球B和D 互换之外是完全相同的.因此它们也有两个 解 =0(22) 和(23) 对于由 B、C、D三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其 质心的速度不可能保持不变，而(23)式是第二次碰撞未发生时质心 的速度，不合
21、理，应该舍去.取(22)式时，可解得-12- (24) (25) (26)(22)、(24)、(25)、(26)式表明第二次碰撞后，小球A以速度v作匀 速直线运动，即恢复D到第一次碰撞前的运 动，但已位于杆的前方， 细杆和小球B、 C、D则处于静止状态，即恢复到第 一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离，而且小球D和B 换了位置.三、参考解答：由pV=k，1(1)可知，当V增大时，p将随 之减小(当 V减小时，p将随之增大)，在p- V图上所对应的曲线 (过状态A)大致如图12所示，在曲线上取体积与 状态B的体 积相同的状态C. (图 12)现在 设想气体从状 态A出发，保持叶片不动，而
22、令活塞缓慢地 向右移动，使气体膨胀，由状态A到达状态C，在此过程中，外界对 气体做功 (2)用 U、U分别表示气体处于状态A 、C时 的内能，因 为是绝热过程， 所以内能的增量等于外AC界对气体做的功，即-13- (3)再 设想气体 处于状 态C 时，保持其体积不变，即保持活塞不动， 令叶片以角速度做匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功 ，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容量不计，活 塞又不动(即活塞不做功) ，所以此功完全用来增加气体的内能.因为 气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态 B.在 这过 程中叶片 转动的时间用 t表示，则在气体的状态从C到B
23、的过程中，叶片克服气体阻力做功W=Lt(4) 令U 表示气体处于状 态B 的内能，由 热力学第一定律得BU-U=L t(5)BC由题知 (6)由 (4)、(5)、(6)式得 (7)(7)式加(3)式，得 (8)利用pV=k 和V=V得CB (9)四、参考解答：答案：u如图13所示，u如图14所示.DB-14- 参考解法：二级管可以处在导通和截止两种不同的状态.不管D和D 处在什么状态，若在时刻t ，A点的12电压为u，D点的电压为u，B点 的电压为u，电容器C两极板间的电压为u，电容器C两ADB1C12 极板 间的电压为u，则有C2u=u-u(1)DAC1 u=u(2)BC2 (3) (4)式
24、中 q为 C与A点连接的极板上的电荷量，q为C与B点连接的极板 上的电荷量.1122若二极管D 截止， D导通，则称电路处在状态I.当电 路处在状态I时有12u=uu 0DED 若二极管 D和D都截止，则称电路处 在状态II. 当 电路处在状 态II 时有12-15- uuu0DED若二极管D导通，D截止，则称电路处在状态III.当电路处 在状态III 时 有12uuu=0DED电路处在不同状态时的等效电路如图15所 示. (图15)在t=0到t=2T 时间间隔内，u、u随时间t的 变化情况分析如下：DB1. 从t =0起，u从0开始增大，电路处在状态I，C、C与电源组成闭合回路.因C、 C的
25、A1212电容相等，初始时两电容器都不带电，故有 在u达到最大值即u=U时， 对应的时刻为，这时 u=u=U，也达到最大值.uA ADBA达到最大值后将要减小，由于 D的单向导电性，电容器C 、C都不 会放电，u和u保持不变，212C1C2 u将要小于U，即将要小于u，D将由导通变成截止，电路不再处于状态 I.所以从t=0到DB2时间间隔内，u、u随时间t变化的图线如图16、图17中区 域I内的直线所示.DB1 2.从起，因u小于u，D处在截止状态，电路从状 态I变为状态II.因为二极 管的反DB2向电阻为无限大，电容器C、C 都不会放电，两极板间的电 压都保持不变.当电路处在状态II时，12
26、D点的 电压-16- B点的 电压 随着u从最大值U逐渐变 小， u亦变小；当时，对应的时刻为，u=0.如 果ADD 到u小于U，则u将小于0，D 要从截止变成导通，电路不再处在状态II .所以在AD1时间间隔内， u、u随t 变化的图线 如图4和图5中区域II内 的直线所示.DB1 3.从起，u从U开始减小，D 导通，但uu，D 仍是截止的，电路从状态 II变A1DB2为状态III.当电路处在状态III时有u=0 ，D 在u减小的过程中，C两极板间的电压u=(u) 也随之改变，从而 维持u 为0.当u达到A1C1ADA 反向最大值即u=-U时，对应的时记得为，u=- U.若u从-U开始增大(
27、|- U|减小) ，因AC1AD的单向导电性，电容器C不会放电，u=- U保持不变，u=u-u0， D要从导通变成截11C1DAC11 止，电路不再处于状态III.所以在到时间间 隔内，u、u随t变化的图线 如图4和DB图5中区域III内的直线所示.1 4.从起，u从- U开始增大，D变为截止状态，u=u+U 从零开始增大，只要u仍A1DAD 小于u，D仍是截止的，电路从状态III变为状态II. 当电路处在状态II 时，C和C不会放电，B212电容器两极板间的电压保持不变，故有u=u +UDA u=UB-17- 当u增大至- U时，对应的时记得为，.若u再增大，u将要大于u，AADB 到时间间
28、隔内，u、D将要从截止变为导通，u=u，电路不再处于状态I I.所以在D2DBu随t变 化的图线如图16和图17中区域II中的直线所示. B2 5.从起，u要从- U增大，D变为导通状态，这时D 仍是截止的， 电路又进入状态A21I. 当电路处在状态I时， 电源与C、C构成闭合回路，而12u=uDB 当u变化时，q+q将随之变化，但由导通的二极管 D连接的C、C的两 块极板所带的总A12212 电荷量- q+q是恒定不变的.由于在时刻，u=-U，此时q=-CU，12C11 故有 由以上有关各式得 u、u随着u的增大而增大.当u达到最大值即u=U时，对应的时刻为，D BAAA .由于D单向导电，
29、u=u 只增不减，u从最大值减小时，u不变，u将要小 于2BC2AC1D ，而u=u保持为，因而uu，D 从导通变成截止，电路不再是状态I. 所 以在BC2DB2 到时间间隔内，u、u随t 变化的图线如图16和图17中I 中的直线所示. DB2 6.从起，u从U开始减小，D 变为截止状态，这时D 仍是截止的，电路 又进入状态A21 时刻的uII.当电路处在状 态II 时，C和C不会放电，电容器两极板间的 电压保持不变.由D12 和u的值可知此时.故有A-18- 当u减小至- U时，对应的时刻为，u=0，以后D将由截止变为导通，电路不再AD1 处在状态II.所以在到 时间内，u、u随t 变化的
30、图线如图16和图17中II 中的DB3直线所示. 7.从起，u从- U开始减小，D变为导通状态，但D 仍是截止的， 电路又进入状A12态 III，故有u=0D 在u减小的过程中，C两端的电压u也随之改变，开始阶段D保持导通 ，u=0.但当uA1C11DA 减小至- U时，对应的时刻为，u=U.因D单向导电，且uu，C右极板的正电 荷只C11DB1 增不减， u到达- U后要增大，u要大于0，D 要从导通变为截止，电路不再处于状态III. 所以在AD1 T到时间间隔内，u、u 随t 变化的图线如图4和图5中III内的直线所示. DB2 8.从起，u从- U开始增大，D变为截止状态，D 仍是截止的
31、， 电路又进入状态II. 当A 12 时刻的u和电路处于状态II时，C 和C不会放电，电容器两极板间的 电压保持不变.由D12u的值可知，此时u=-U.故有AC1 u=u+UDA u将随着u的增大而增大.当时，对应的时刻，与u相等.DAB 以后u要大于到t=2T时间间 隔， D要从截止 变为导通，电路不再是状 态II.所以在D2内，u、u随t 变化的图线如图 16和图17中II内的直线所 示.DB4总结以上讨论 ，各时段起止时刻及 u和u变化值如下表所示：D B-19- 12345678IIIIIIIIIIIIIIII时段11122324 02T 0Uu00D0000 UE0 五、参考解答：1
32、.题给的磁场B(x,t)随时间和空间的变化具有周期性 ，在某时刻t，磁场的空 间分布为B(x,t)=Bcos(t- kx)0在 t+t时刻，磁场的空间分布为 -20- 比较上面两式，不难看出，t 和t+t这两个时刻的磁场的空间分布规 律是相同的，只是t时 刻原位于处的磁场，经历t时间，在t+ t时刻，出现在x处.即整个磁 场的分布经时间间隔t沿x轴的正方向平移了一段距离 平移速度(1)平移速度 v为恒量.由此可见， 题给出的磁场B(x,t)=Bcos (at- kx)可 视为 一在空间按余弦规00律分布的非均匀磁场区域以速度v沿 x轴的正方向平移.如果金属框移动的速度小于磁场区域平移0的速 度
33、，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产 生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用.由题已知，在时刻 t，金属框移动的速度 为v，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐 标x+d处.设此时金属框的磁通为(规定由纸内到纸外为正)；经过 一很短的时间间隔t，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v t，金属框向 x方向移动了一段距离vt ，其 结果是：0MN边左侧穿 过面积为(v-v)lt的磁通 B(x,t)(v- v)lt移进了金属框， PQ边左侧穿过面积为00(v- v)lt的磁通B(x+d,t)(v- v)lt移出了金属框，故在t+t时刻，通过金属框的磁通为00=+B( x
34、,t)(v-v)lt-B(x+d,t)(v- v)lt00在 t时间间隔内，通过金属框的磁通增量 为=- =B(x,t)-B(x+d,t)l(v- v)t(2)0规定框内的感应电动势E(t)沿顺时针方向(沿回路MNPQM 方向)为正，由 电磁感应定律，可得 t时刻的感 应电动势 -21- 规定金属框内的感应电流t(t)沿顺时针方向(沿回路MNPQM方向)为 正，可得t时刻的感应电 流为 (4)磁 场对于上下两 边 NP和MQ 的安培力的大小相等，方向相反，二 者的合力为零.规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安 培力为(t)B(x,t)l；由于PQ 边和MN边的电流方向相反，磁场作用于
35、 金属框PQ边的安培力为- t(t)B(x+d,t)l，故金属框的安培力的合力 f(t)=(t)B(x,t)l- (t)B(x+d,t)l(5)由(1)、(2) 、(3)、(4)、(5)式及题给定的磁场分布规律， 得 (6) 利用三角学公式，得 (7) F称为安培力 f(t)的幅度.从(7)式可以看出，安培力 f(t)在F的幅度内随 时间变化，但其值00不会小于零，表示磁场作用于金属框的安培力 始终向右.2.讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系就是讨论F与 线框几何尺寸的关系.F与金属框DD长度l的平方成正比，与金属框 的宽度d有关： 当kd=2n，即n=0,1,2,(8)得F=0(9)D-2
36、2- 当kd=(2n+1)，即 n=0,1,2,(10)F达最大值D (11)当 d取其它 值时，F介于0与最大值F之间.DD(max) 六、参考答案1. 圆筒内光学元件的相对位置如图18所示.各元件的作用如下： 狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的 谱线就是狭缝的像.透 镜L：与狭 缝 的距离为f ，使由狭缝射来的光束 经L 后成为与圆筒轴平 行的平行光束.111分光棱镜：使由L射来的平行光束中频率不同的单 色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行1光束.透镜L：使各种单色 平行光束经L成像在它的焦平面上，形成狭缝的像(即光谱线). 22观 察屏P：位于 L焦平面上，光源的谱线即在此屏上.2
37、透镜L：与P的距离 f，是人眼 观察光谱线所用的放大镜( 目镜 ).332.已知钠黄光的谱线 位于P的中央， S的像位于 L的焦点上，由此可知， 对分光棱镜系统来 2说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左 右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱 镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路如图19所示，左-23- 半部的光路如是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该由轴平行， 分光元件中的光路图如图19所示，左半部的光路如图20.用t、r 、t、r 分别表示两次折射时的入射光和折射角，用n、n112212分别表示棱 镜对D线的折射率，由图20可以看出，在两棱镜界
38、面上发生折射时， tr ，表明n222n，即中间的棱镜应用折射率 较大的火石玻璃制成 ，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有1 n=n=1.5170，.1D 由几何关系可得(1)r+=(2)12由折射定律可得sini=nsinr(3)111nsinl= nsinr(4)1222从以上各式中消去 t、t、r和r得1212 (5) 解(5)式得 (6)以 n=1.5170，n=1.7200代入，得=123.6(7)12七、参考解答：-24- 带电粒子在静电场内从S到T 的运动过程中，经历了从S到N 和从N 到T的两次加速，粒子- 19带的电荷量q的大小均为1.6010C，若以U表示N与地之间的电压 ，则粒子从电场获得的能量E=2qU(1) 质子到达T处时的质量 (2)22式中 v为质子到达 T时的速度，质子在S 处的能量为mc，到达T 处时具有的能量为mc，0电子的质量与质子的质量相比可忽略不计 ，根据能量守恒有22mc=E+mc(3) 0 由(1) 、(2)、(3)式得7代入数据解得v=4.3410m/s(4)-25-
